例说二次函数问题的求解
山东刘继征
解答二次函数的综合试题的要领是，第一，明确题目和那些知识点相关；第二，建立已知和未知的有机联系．这类试题往往用到多个知识点，综合性强，并要求用到多种思想和方法，解答时应该仔细审题，理解命题人的意图，做到解答完整，思想突出，书写规范，逻辑严谨．下面给出几个例题，请大家参考．
例题1，如图，在RtABC中，ACB=90°，BC>AC，以斜边AB所在直线为x轴，以斜边AB上的高所在直线为y轴，建立直角坐标系，若OA2+OB2=17，且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根．（1）求C点的坐标；（2）以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E，求过A、B、E三点的抛物线的解析式，并画出此抛物线的草图；（3）在抛物线上是否存在点P，使ABP与ABC全等？若存在，求出符合条件的P点的坐标；若不存在，说明理由．
分析：（1）由于该题和一元二次方程的根有关，因此考虑用根与系数的关系，加之三角形AOC与三角形COB的相似，就可求出OC的长，则点C的坐标可得；（2）依据题意，首先得出点A、B的坐标，再由圆的对称性求出点E的坐标，设出过这三点的抛物线的解析式，代入就可以了；（3）应由△A的形状，根据圆的对称性，找出符合条件的点，进而求得其坐标．解：（1）∵线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根，
∴
又∵OA2+OB2=17，
∴（OA+OB）2-2·OA·OB=17．（3）
∴把（1）（2）代入（3），得m2-4(m-3)=17．
∴m2-4m-5=0．
解之，得m=-1或m=5．
又知OA+OB=m>0，
∴m=-1应舍去．
∴当m=5时，得方程x2-5x+4=0．
解之，得x=1或x=4．
∵BC>AC，
∴OB>OA．
∴OA=1，OB=4．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴OC2=OA·OB=1×4=4．
∴OC=2．
∴C（0，2）．
（2）∵OA=1，OB=4，C、E两点关于x轴对称，
∴A(-1，0)，B(4，0)，E(0，-2)．
设经过A、B、E三点的抛物线的解析式为y=Ax2+Bx+C，则
∴所求抛物线解析式为（3）存在．∵点E是抛物线与圆的交点，
∴Rt△ACB≌△AEB．
∴E（0，-2）符合条件．
∵圆心的坐标（，0）在抛物线的对称轴上，
∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称．
∴点E关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意．
∴可求得E′（3，-2）．
∴抛物线上存在点P符合题意，它们的坐标是（0，-2）和（3，-2）．
例题2某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万．该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=Ax2+Bx，若第1年的维修、保养费用为2万元，第2年为4万元．
（1）求y的解析式；
（2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？
分析：这是一道应用性的题目，首先要找到两对对应值，即年份和维修、保养费的对应值，列出方程组，求得A、B的值．（2）由题意找出收回投资的关系式，再由函数的性质求得相应得年份数值就可以了．
（1）由题意，x=1时，y=2；x=2时，y=2+4=6，分别代入y=Ax2+Bx，得A+B=2，
4A+2B=6，解得，A=1，B=1，
y=x2+x．
（2）设g＝33x-100-x2-x，则g=-x2+32x-100=-(x-16)2+156．由于当1≤x≤16时，g随x的增大而增大，故当x=4时，即第4年可收回投资．
例题3某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同的间距02米用5根立柱加固，拱高OC为06米．
(1)以O为原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线y=Ax2的解析式；
(2)计算一段栅栏所需立柱的总长度．（精确到01米）（浙江丽水2005年中考试题）
分析：（1）可利用已知的直角坐标系和相应得线段长度大小，得出相应点的坐标，设出解析式，带入求出解析式中的系数就可以了；（2）利用（1）中的解析式，由相应得横坐标x的值求出对应的y值就可以了．
解：（1）由已知：OC=06，AC=06，
得点A的坐标为（06，06），
代入y=Ax2，得A=，
∴抛物线的解析式为y=x2．
（2）点D1，D2的横坐标分别为02，04，
代入y=x2，得点D1，D2的纵坐标分别为：
y1=×022≈0.07，y2=×042≈0.27，
∴立柱C1D1=06－007=0.53，C2D2=06－027=0.33，
由于抛物线关于y轴对称，栅栏所需立柱的总长度为：
2（C1D1+C2D2）+OC=2（053+0.33）+06≈2.3米．
评注：二次函数的问题是初中阶段较为复杂的问题之一，但是它也不是没有规律可循，只要同学们认真审题，并结合相关的内容，找出题中的内在联系，如与一元二次方程的联系，和几何图形的结合等等，采取较为灵活的解题策略，运用数形的思想，是能够解好这类题目的．并且，随着新教材的大面积的实施，学数学用数学的题目在中考试题中的出现更为常见，望同学们能够通过上面的例题加以体会，理解．
O
E
B
G
x
C
y
E′
C
y
B
O
A
x
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