求二次函数解析式的三种基本方法
四川倪先德
二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础．熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证．
二次函数的解析式有三种基本形式：
1、一般式：y=ax+bx+c(a≠0)．
2、顶点式：y=a(x－h)+k(a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h．
3、交点式：y=a(x－x)(x－x)(a≠0)，其中x,x是抛物线与x轴的交点的横坐标．
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：
1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式．
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式．
3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式．
探究问题，典例指津：
例1、已知二次函数的图象经过点和．求这个二次函数的解析式．
分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax+bx+c(a≠0)．
解：设这个二次函数的解析式为y=ax+bx+c(a≠0)
依题意得：解这个方程组得：
∴这个二次函数的解析式为y=2x+3x－4．
例2、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式．
分析：此题给出抛物线的顶点坐标为，最好抛开题目给出的，重新设顶点式y=a(x－h)+k(a≠0)，其中点(h,k)为顶点．
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x－4)－1(a≠0)
又抛物线与轴交于点．
∴a(0－4)－1=3∴a=
∴这个二次函数的解析式为y=(x－4)－1，即y=x－2x+3．
例3、如图，已知两点A（－8，0），（2，0），以AB为直径的半圆与y轴正半轴交于点C．求经过A、B、C三点的抛物线的解析式．
分析：A、B两点实际上是抛物线与x轴的交点，所以可设交点式y=a(x－x)(x－x)(a≠0)，其中x,x是抛物线与x轴的交点的横坐标．
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x－2)
又连结AC、BC，利用射影定理或相交弦定理的推论易得：
OC=AC·BC=8×2∴OC=4
即C(0,4)．
∴a(0+8)(0－2)=4∴a=
∴这个二次函数的解析式为y=(x+8)(x－2)，即y=x－x+4．
变式练习，创新发现
1、在图的方格纸上有A、B、C三点（每个小方格的边长为1个单位长度）．
（l）在给出的直角坐标系中分别写出点A、B、C的坐标；
（2）根据你得出的A、B、C三点的坐标，求图象经过这三点的二次函数
的解析式．
2、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式．
3、已知抛物线过A（－2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点．求这条抛物线的解析式．）
参考答案：
1、（1）A(2,3);B(4,1);C(8,9)．（2）y=x－4x+9．
2、y=(x－2)+1，即y=x－4x+5．
3、y=－(x+2)(x－1)，即y=－x－x+2．
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