与抛物线有关的五个特殊点及其作用
广西罗权
一、与抛物线有关的五个特殊点的位置
我们知道二次函数在平面直角坐标系中的图象是一条抛物线．如图所示，当这抛物线与坐标轴轴相交时，设这个交点为C（0，c）,可见二次函数中的常数c表示着抛物线与坐标轴轴相交于正半轴或负半轴或原点的位置．当时，抛物线与坐标轴轴交于两点，设这两点坐标为A（0）和B（，0）且，，
那么有A（，0），B（，0），对称轴==，所以这对称轴与轴的交点坐标为E（，0）或（，0），而抛物线的顶点坐标为D（，）或（，）．
对于二次函数，当时，存在图中的A、B、C、D、E这五个点就是与抛物线有关的五个特殊点．
二、与抛物线有关的五个特殊点的作用．
ΔABD是等腰三角形，ED是等腰ΔABD的底边AB上的高、中线及顶角∠ADB的平分线，而OC是ΔABC中AB边上的高．
由于AB==，ED=，OC=，所以得到=AB?ED==，=AB?OC==．
当ED=AB，即=4时，ΔABD为等腰直角三角形．
当ED=AB，即=12时，ΔABD为等边三角形．
当知道抛物线与轴的两交点A（0）和B（，0），若另外再知道这个抛物线上的任意一点P（），就可把P点直接代入即可求出的值，这样便能得到这抛物线的解析式了．
当知道抛物线的顶点坐标D（），若另外再知道这个抛物线上的任意一点P（），就可把P点直接代入即可求出的值，这样便能得到这抛物线的解析式了．
当知道抛物线与轴的交点C（0，），则还须再知道这个抛物线上的另外的任意两个点和，然后把直接代入，再解这个联立的二元一次方程组即可求出的值，这样便能得到这抛物线的解析式了．
当知道抛物线与轴的两交点A（0）和B（，0）时，在这里其实也能得到对称轴为=，这时要是再知道顶点的纵坐标即是再知道D（，），则可把D点坐标直接代入中去即可求出的值，这样也能得到这抛物线的解析式．
三、与抛物线有关的五个特殊点在解中考题中的应用．
例1已知如图，抛物线经过点A（-1，0），B（0，-3），C（3，0）三点．①.求抛物线的解析式．②.若抛物线的顶点为D，求Sin∠BOD的值．
分析：这是2004年辽宁省的中考题．此题已经知道了抛物线与轴的两交点A和C，根据“作用5”有，又知道抛物线上的B点，因此就可以求出这个抛物线的解析式了．再由解析式找到顶点坐标D和对称轴DE．在RtΔOED中，利用勾股定理求到OD，这样就容易得到n∠BOD=sin∠EDO=的值．
解：①依题意可设该抛物线为，又因为这抛物线经过B（0，-3），所以得，故此抛物线的解析式为
②由可知D（1，-4），作DE⊥轴于E，则OE=1，ED=4，在RtΔOED中得OD=，所以Sin∠BOD=Sin∠EDO==
例2二次函数，它的图象与轴交于A（，0）和B（，0）两点，其中，与轴交于点C（0，）．
①若它的图象的顶点为P，点P的坐标为（2，-1），点C在轴的上方，且点C到轴的距离为3，求A、B、C三点的坐标．
②若都是整数，且，，≤6，ΔABC的面积为6，试写出一个满足条件的二次函数的解析式．
分析：这是2002年温州市中考题．在①中可知C（0，3），并且又知道顶点P（2，-1），所以就可以利用上面所说的“作用6”中的公式来求出此二次函数的解析式，然后再求解此解析式当时的一元二次方程就可以得到A和B的坐标．在②中由“作用2”中的面积公式=AB?OC=，得到12，依题意可取=3、4、6，那么有
=3=4=4=6=6=6
=1=2=1=3=2=1
=5=5=4=5=4=3
解：①由抛物线顶点P（2，-1）可设此抛物线为，又由于点C在轴的上方，且点C到轴的距离为3，可得C（0，3），而C点为抛物线与轴交点，因此可得，所以此抛物线的解析式为，当时有得，再由A、B点中有，所以得A（1，0），B（3，0），C（0，3）．
②由于AB=，OC=，且，都是整数，，，≤6，又由=AB?OC=得12，所以有，
或
或
或
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