与圆有关的位置关系重难点研习
安徽李庆社
研习点1点与圆的位置关系
1.点与圆的位置关系
⑴如图,设⊙O的半径为r,
①若点A在⊙O内,则OA＜r;反过来,若OA＜r,则点A在⊙O内.②若点B在⊙O上,则OB=r;反过来,则OB=r,则点B在⊙O上.③若点C在⊙O外,则OC＞r;反过来,若OC＞r,则点C在⊙O外.
⑵其关系列表如下:
点与圆的位置关系 d与r的大小关系 点在圆内 d＜r 点在圆上 d＜r 点在圆外 d＜r 其中:r为圆的半径,d为点到圆心的距离.
[类比·扩展]
⑴点与圆的位置关系,与初一学习的点与角的位置关系一样,也有三种情况.
⑵如果一个几何图形是封闭图形,点与该封闭图形的位置关系一般都有三种情况:点在此封闭图形内;点在此封闭图形上;点在此封闭图形外.
⑶圆心只是用来确定圆的位置,圆心不是圆的一个部分,圆心在圆内.
2.我们知道:两点确定一条直线,那么至少需要多少个点可以确定一个圆呢?
[归纳·总结]
⑴过一点A可以画无数个圆,圆心是除点A外任意一点．
⑵过两点A、B可以画无数个圆,这些圆的圆心在AB的垂直平分线上．
⑶不在同一直线上的三个点确定一个圆．如上图示，过三点Ａ、Ｂ、Ｃ所作的圆Ｏ的圆心在线段ＡＢ、ＢＣ的垂直平分线的交点处。如果A、B、C三点在一条直线上,不能画出经过这三点的圆．因为AB、BC的垂直平分线互相平行,没有交点,所以过同一直线上的三点不能画圆
3.三角形与圆
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点,
[梳理·总结]
⑴任何一个三角形都有一个外接圆,而一个圆有无数个内接三角形.
⑵锐角三角形的外心在锐角三角形的内部;直角三角形的外心在斜边的中点;钝角三角形的外心在钝角三角形的外部.反之亦然.
⑶三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.
典例1:如图,已知⊙O的半径为r＝10,圆心O到直线l的距离OD＝6,在直线上有A、B、C三点,且AD＝6,BD＝8,CD＝5．问A、B、C三点对于⊙O的位置关系各是怎样?
【研析】只要计算出这些点到圆心的距离,看其是大于、等于还是小于圆的半径,就可以相应得出点在圆外、圆上、圆内的位置关系来．
解:连结OA,在Rt△AOD中,
＜10,即OA＜r,则点A在⊙O内;
同理,,即OB=r,则点B在⊙O上;
＞10,?即OC＞r,则点C在?⊙O外．
研习点2直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种:
⑴如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离.
⑵如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切,此时这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点.
⑶如果一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,此时这条直线叫做圆的割线,这两个公共点叫做交点.
2.直线与圆的位置关系的特征与识别
直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 图示 直线与圆的公共点个数 0 1 2 圆心到直线的距离d和半径r的关系 d＞r d=r d＜r 公共点名称 无 切点 交点 直线名称 无 切线 割线
典例2:在平面直角坐标系中,以A(1,2)为圆心的圆的半径满足下列条件时,分别求出其半径的取值范围:⑴与坐标轴只有唯一交点;⑵与坐标轴只有两个交点;⑶与坐标轴只有三个交点;⑷与坐标轴有四个交点.
【研析】因为点A到x轴的距离是2,到y轴的距离是1,所以与坐标轴只有唯一交点,就是与y轴相切而与x轴相离;与坐标轴只有两个交点,就是与y轴相交而与x轴相离;与坐标轴只有三个交点,就是与y轴相交而与x轴相切;与坐标轴有四个交点,就是与x轴、y轴都相交.
解:⑴r＝1;⑵1＜r＜2;⑶r＝2;⑷r＞2.
研习点3、切线
1.切线的判定和性质
切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径
注意:要识别直线是否为圆的切线,常用以下两种方法:
①到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。如果直线和圆的公共点没有确定，则过圆心，作已知直线的垂线段，再证这条垂线段等于半径，即“作垂线证半径”。
②经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。即已知直线与圆有一个公共点时，连结这点和圆心再证直线与这条半径垂直，简称：“连半径证垂直”；
切线的性质定理也有两个推论:
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
典例3:已知,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D＝90°,AB是⊙O的直径,且AB＝AD+BC,试说明:CD是⊙O的切线．
【研析】要说明一条直线是圆的切线,有两种方法,此题因为不知CD是否过⊙O上的点,所以要说明CD是⊙O的切线,只好说明圆心O到直线CD的距离等于⊙O的半径．
证明过O作OE⊥CD,垂足为E,则OE∥AD∥BC．
又AO＝BO,所以DE＝CE．所以OE是梯形ABCD的中位线,
所以．
又因为AB＝AD+BC,所以．
即圆心O到直线CD的距离OE等于⊙O的半径,所以CD是⊙O的切线．
2.切线长与切线长定理
圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．右图中PA、PB的长就是点P到⊙O的切线长．
由前面的知识可知,过圆上一点可以引一条直线与圆相切，所以有：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．
即:如上图,因为PA、PB是⊙O的切线,所以PA＝PB,∠APO＝∠BPO．
3．三角形与圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点．
三角形的外接圆与三角形的内切圆的区别与联系?现列表如下:
圆的名称 三角形的名称 圆心的确定 圆心的名称 圆心的性质 三角形的外接圆 圆内接三角形 三角形的三边中垂线的交点 外心 外心到三角形的三个顶点的距离相等 三角形的内切圆 圆外切三角形 三角形的三角平分线的交点 内心 内心到三角形的三条边的距离相等 （1）三角形的外接圆和三角形的内切圆是和三角形密切相关的两个圆,一般情况下,这两个圆
典例4:如图,⊙O是△ABC的内切圆,D、E、F为切点,AB＝12,BC＝14,CA＝18,求AE、BF、CD的长．
【研析】三角形的三边及内切圆构成了切线长定理的基本图形,此题可利用构造方程组来解几何题．
解设AE＝x,BF＝y,CD＝z．由切线长定理知,AE＝AD,BF＝BE,CD＝CF,
所以解得
答AE＝8,BF＝4,CF＝10．
研习点4圆与圆的位置关系
如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,如图(1)、(2)、(3)所示．其中(1)又叫做外离,(2)、(3)又叫做内含．(3)中两圆的圆心相同,这两个圆还可以叫做同心圆．
如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,如图(4)、(5)所示．其中(4)又叫做外切,(5)又叫做内切．
如果两个圆只有两个公共点,那么就说这两个圆相交,如图(6)所示．
如果设两圆的半径为、,两圆的圆心距为d,则圆与圆的位置关系与数量关系如下表
典例5:两圆半径是R和r(R＞r),圆心距是d,且R＋d-r2=2dR,则两圆的位置关系为()
A.相交B.内切C.外切D.内切或外切根据R＋d-r2=2dR这一已知条件,来推出圆心距d与两圆的半径R和r之间的大小关系,从而得出两圆的位置关系因为R2＋d2-r2=2dR所以R2-2dR＋d2=r2即(R-d)2=r2,r=±(R-d)所以d=R-r或d=R＋r,故选D
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