航海问题及其解法
山东石少玉
在近几年的中考试题中,利用解直角三角形的知识解决有关航海的问题层出不穷,常见的类型主要有以下几种:
一、求距离
例1.台湾“华航”客机失事后,祖国大陆海上搜救中心立即通知位于A、B两处的上海救捞局所属专业救助轮“华意”轮、沪救12”轮前往出事地点协助搜救.接到通知后,“华意”轮测得出事地点C在A的南偏东60°,“沪救12”轮测得出事地点C在B的南偏东30°.已知B在A的正东方向,且相距100海里,分别求出两船到达出事地点C的距离.如图1.分析读懂题目,弄清与方位有关的词语,在△ABC中正确写出已知条件是解题的关键,依题意知△ABC是顶角为150°的等腰三角形,过点B作底边上的高,不难求出BC、AC的长.
解:作BD⊥AC,依题意知∠ABC=120°,∠BAC=30°,
∴BC=AB=100海里.在Rt△BDC中,∴∠C=30°,
∴DC=BC·Cos30°=50.
∴AC=100.
说明本题是三角函数的应用问题,其实质上是用解直角三角形的知识解斜三角形的问题,如何把斜三角形的问题转化为直角三角形的问题,只要弄清题意,理解关键字词的含义,把实际问题转化为数学问题,方能正确作出辅助线,构造直角三角形求解.
二、求速度
例2.甲、乙两船同时从港口O出发,甲船以161海里/小时的速度向东偏南32°方向航行,乙船向西偏南58°方向航行,航行了两小时,甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向.求乙船的速度v(精确到01海里/小时).(参考数据:sin32°=053,Cos32°=085,tAn32°=062,Cot32°=160)分析由题意知∠AOB=90°,要求乙船的速度,得先求OB的长.
解由题意可OA=16.1×2=322(海里),∠1=32°,∠2=58°.
∴∠AOB=180°-(∠1+∠2)=90°.
由B在A的正西方向,可得∠A=∠1=32°.
又∵在Rt△AOB中,tAnA=,
∴OB=OA·tAnA=322×0.62=19964.
∴v==19964÷2=9982≈10.0(海里/小时).
三、确定航行方向
例3.如图3,海中有一小岛P,在其距8海里范围内有暗礁,一轮船自西向东航行,它在A处时测得小岛P位于北偏东60°,且A、P之间的距离为16海里,若轮船继续向东方向航行,请计算轮船有无触礁的危险,如有危险,轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行,才能安全通过这一海域.解依题意画出航行图,如图3,由P向A的正东方向作垂线PB,垂足为B.
由∠PAB=30°,得PB=AP=8.
因为8<8,故有触礁的危险.
为了安全,应改变航行方向,并且保证P点到航向的距离不能小于暗礁的半径8,即这个距离至少等于8.
设安全航向为AD,做PC⊥AD于C,由题意,AP=16,PC=8,∴sin∠PAC=.
∴∠PAC=45°,从而知∠BAC=15°.
故轮船自A开始,至少应沿东偏南15°的方向航行,才能安全通过此海域.
四、确定航船是否进入危险区
例4.今年入夏以来,松花江哈尔滨段水位不断下降,达到历史最低水位.一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行,在A处测得航标C在北偏东60°的方向上.前进100米到达B处,又测得航标C在北偏东45°方向上(如图4).在以航标C为圆心,120米长为半径的圆形区域内有浅滩.如果这条船继续前进,是否有被浅滩阻碍的危险?(≈173).解如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D.在Rt△ADC中,AD=CD·Cot∠CAD=CD·Cot30°=CD.
在Rt△BDC中,AD=CD·Cot∠CBD=CD·Cot45°=CD.
∴AB=AD-BD=CD-CD=(-1)CD=100.
∴CD==50(+1)≈1365(米).
∵1365米>120米.∴若船继续前进没有被浅滩阻碍的危险.
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