圆的中考题归类解析
江苏朱元生
圆是初中数学的重点内容之一,在初中数学体系中处于重要地位,在中考中占有较大的分值,是中考的重头戏.题型主要有选择、填空、解答和作图(包括阅读理解和开放探索等).还可与三角形、四边形、相似形、方程、函数等知识点相结合,构成内容丰富、构思新颖的综合性试题而成为中考的压轴题.从2008年各省市的中考试题中所反映出的考点精选几例,解析如下,供同学们参考:
考点1圆的认识
例1(2008辽宁沈阳)如图所示,是⊙O的一条弦，，垂足为，交⊙O于点，点在⊙O上．（1）若，求的度数；（2）若，，求的长．
分析由垂径定理可得弧AD=弧BD,根据等弧所对的圆周角与圆心角
之间的关系,可得∠DEB;由勾股定理可求得AC的长,根据垂径定理AC=BC,
从而可得AB.
解（1），∴弧AD=弧BD,
（2），，为直角三角形，
，，
由勾股定理可得,.
评注本例着重考查了垂径定理及等弧所对的圆周角与圆心角之间的关系和勾股定理.正确运用垂径定理是解题的关键.
考点2与圆有关的位置关系
例2(2008北京)已知：如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点，且．
（1）判断直线与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，，求的长．
分析连OD,证∠ODB=900,即OD⊥BD,得到直线BD与⊙O相切;
连DE,先求得cosA的值为,由∠CBD=∠A,则cos∠CBD=,
又BC=2,则易得BD的值.
解（1）直线与⊙O相切．
证明：如图，连结，．
，．
又，．
．直线与⊙O相切．
（2）如图，连结．是⊙O的直径，．
，
，，．，．
评注本例考查了切线的判定及直角三角形的边角关系.证得∠ODB=900及cos∠CBD=．,扇形弧长,底面圆周长
根据及求得R,r.
解（1）理由如下：
∵扇形的弧长，圆锥底面周长＝2πr，
根据圆锥底面圆周长应等于侧面扇形弧长,即,∴圆的半径r为4cm．
即AE=16cm,O1E=4cm,cm,
由于所给正方形纸片的对角线长为cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线AC长为(cm)，∵，∴方案一不可行．
（2）方案二可行．求解过程如下：
设圆锥底面圆的半径为rcm，圆锥的母线长为Rcm，则
，①．②
由①②，可得，．
故所求圆锥的母线长为cm，底面圆的半径为cm．，点在第一象限且为正三角形，的外接圆交轴的正半轴于点，过点的圆的切线交轴于点．
（1）求两点的坐标；
（2）求直线的函数解析式；
（3）设分别是线段上的两个动点，且平分四边
形的周长．试探究：的最大面积？
分析作BG⊥OA,由等边△OAB的边长为2,得OG=1,BG=,从而B(1,),则C(0,);
在Rt△OCD中,求得OD,先求得四边形ABCD的周长,设AE为t,则AF可用t的代数式表示,△AEF的面积是一个关于t的二次函数,根据二次函数的极值求得△AEF面积的最大值.
解（1），．作于，
为正三角形，，．．
连，，，则∠CAO=300,
．．
（2），是圆的直径，又是圆的切线，．
，．．
设直线的函数解析式为，
则，解得．直线的函数解析式为．
（3），，，，
四边形的周长．
设，的面积为，
则，
．
当时，．
点分别在线段上，
，解得．
满足，的最大面积为．
评注本例是一道以圆为背景,与等边三角形、四边形、坐标系、一次函数、二次函数等知识点相结合,构成的内容丰富、构思新颖的综合题.同时本例又是一道几何动态题.是近年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大，对学生获取信息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动.
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