中考应用相似三角形求值问题例析
河北杨淑霞
相似三角形是相似形一章的重点内容，它的应用非常广泛．特别是利用相似三角形的判定与性质定理，可解决一些计算求值问题，本文以近几年中考试题为例分类解析如下，供同学们参考．
一、计算线段的长度
【例1】如图1，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°BP＝1CD＝则△ABC的边长为（）A.3B.4C.5D.6
解：∵△ABC是等边三角形
∴∠B＝∠C＝60°AB＝BC
∵∠APC＝∠B+∠BAP，（图1）
∠APC＝∠APD+∠CPD
∴∠B+∠BAP＝∠APD+∠CPD
又∵∠B＝∠APD＝60°∴∠BAP＝∠CPD∴△ABP∽△PCD
∴又BP＝1CD＝PC＝BC－BP＝AB－1
∴∴AB＝3即△ABC的边长为3.故答案选A.
【例2】小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度．如图2，水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA＝21米，当她与镜子的距离CE＝2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，已知她的眼睛距离地面高度DC＝1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？
（注意：根据光的反射定律，反射角等于入射角）
解：由已知条件可得，
∠BEA＝∠DEC
∠BAE＝∠DCE＝90°
∴△ABE∽△CDE∴
又AE＝21CE＝2.5DC＝1.6（图2）
∴∴AB＝（米）
答：教学大楼的高度AB是13.44米.
二、计算两条线段的比值
【例3】如图3，E、G、F、H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB＝2，BC＝3则EF∶GH等于（）A.2：3B.3：2
C.4：9D.无法确定
解：过点B作BN∥EF交DC于点N，过
点A作AM∥GH交BC于点M，AM、BN相（图3）
交于点R.又∵在矩形ABCD中AB∥DC，AD∥BC
∴四边形EBNF和四边形AMGH都是平行四边形
∴EF＝BN，GH＝AM∵EF⊥GHBN∥EF，AM∥GH
∴BN⊥AM∴∠ABR+∠BAR＝90°
∵在矩形ABCD中，∠ABC＝∠C＝90°
∴∠ABR+∠CBN＝90°∴∠BAR＝∠CBN
∴∴EF：GH＝3：2故答案应选B.
三、计算图形面积
【例4】如图4，有一块三角形土地，它的底边BC＝100米，高AH＝80米，某单位要沿着池边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在AB、AC上，若大楼的宽40米，求这个矩形的面积.
解：∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥BC∴△ADG∽△ABC
又∵BC＝100AH＝80MH＝GF＝40
∴∴DG＝50（图4）∴S矩形DEFG＝DG×GF＝50×40＝2000（平方米）
四、计算两个图形面积的比值
【例5】如图5，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S△四边形ANME等于（）A.1：5B.1：4
C.2：5D.2：7
解：连接AM，则S△ADM＝S△AME
∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC（图5）
∴DE＝BC又∵M是DE的中点，∴DM＝DE
∴DM＝BC∵DE∥BC∴△NDM∽△NBC∴
∴DN＝NB∴DN＝BD∵AD＝BD∴DN＝AD
∴∴∴S△DMN：S△四边形ANME＝1：5
故答案应选A.
五、计算角的度数
【例6】在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且＝BD·DC则∠BCA的度数为．
（图6－1）（图6－2）
解：∠BCA的大小有两种情况，①当∠BCA是锐角时如图6－1，
∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°
又∵即∴△ABD∽△CAD
∴∠B＝∠CAD＝25°∴∠BCA＝90°－25°＝65°
②当∠BCA为钝角时，同理可证得△ABD∽△CAD
∴∠B＝∠CAD＝25°
∴∠DCA＝∠CAD+∠D＝25°+90°＝115°故答案为65°或115°.
六、求两个量之间的关系式
【例7】如图7，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，若∠ADE=∠C且AB=5，AC=4，AD=x，AE=y，
则y与x的关系式是()A.B.C.D.
解：∵∠A=∠A∠ADE＝∠C
∴△ADE∽△ACB
∴∴∴
故答案应选C.（图7）
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