相似三角形的性质及应用

相似三角形的性质及应用



前面我们主要学习了相似三角形的概念和识别，下面我们主要来探讨一下相似三角形的性质和应用．

相似三角形的性质

对应的边、角关系

相似三角形的对应边成比例，对应角相等．

如图1所示，若ABC∽A’B’C’，则,,,.



对应高的关系

相似三角形的对应高的比等于相似比（k）．

如图2所示，若ABC∽A’B’C’，AD、A’D’分别为对应边BC、B’C’上的高，则．



对应角的角平分线的关系

相似三角形的对应角的角平分线的比等于相似比（k）．

如图3所示，若ABC∽A’B’C’，BD、B’D’分别为对应角、的角平分线，则．



对应中线的关系

相似三角形的对应边上的中线的比等于相似比（k）．

如图4所示，若ABC∽A’B’C’，AD、A’D’分别为对应边BC、B’C’上的中线，则．



5.对应周长的关系

相似三角形的对应周长的比等于相似比（k）．

如图5所示，若ABC∽A’B’C’，则．



对应面积的关系

相似三角形的对应面积的比等于相似比的平方．

如图6所示，若ABC∽A’B’C’，则



相似三角形的应用

用相似三角形的性质来说明两个角相等或进行有关角的计算

根据题目条件，寻找出相似的三角形．再利用相似三角形对应角相等的性质来推出所求．

例1如图7所示，在中，点D、E分别在边AB、AC上，且.试说明：.



分析：由，,可得到∽.

所以有,.

故=-=-=A+C.

即=A+C.

用相似三角形的性质来说明线段成比例或求未知线段的长度

根据题目条件，寻找出相似的三角形．再利用相似三角形对应边、对应高、对应中线或对应角平分线成比例的性质推出所求．

例2已知ABC∽A’B’C’，且ABC的三边长之比为3：5：7，而A’B’C’的最大边长为15cm，求A’B’C’的周长．

分析：由ABC∽A’B’C’，可得出．

又因为ABC三边长的比为3：5：7，不妨设AB:AC:BC=3:5:7.

故A’B’:A’C’:B’C’=3:5:7.

又有B’C’=15cm，易求出A’B’=cm，A’C’＝cm．

故A’B’C’的周长为cm．

解决与相似三角形有关的实际问题

从实际问题中抽象出相似三角形的模型，充分揭示图形的本质特征，挖掘命题中的隐含条件，并运用相似三角形的性质来解答．

例3如图8所示，火焰AC通过纸板EF上的一个小孔O照射在屏幕上形成倒立的实像．像的长度BD＝2cm，OA＝60cm，OB＝20cm，求火焰AC的长．



分析：可选根据实际问题，找出相似的两个三角形，这里不难看出∽,则可根据相似三角形对应边成比例这一性质求解．

解：因为∽，

所以．

所以AC===6(cm)．

答：火焰AC的长为6cm．