如何确定相似三角形来证比例式或等积式
山东临清市屈昕陈亮
同学们在证三角形中线段的比例式或等积式时，常不知证哪两个三角形相似可得。通过我的教学体验可得到一基本方法：先找出与比例式线段有关的两个三角形，再证其相似。怎样找出与比例式或等积式有关的两个相似三角形呢？常见的规律是：在要证的比例式（等积式可转为比例式）中，把表示第一、三两项的线段端点的三个不同字母为一个三角形的三个顶点，而把表示第二、四两项线段端点的三个不同字母为另一个三角形的三个顶点，那么，这两个三角形就是要证的两个相似三角形。现举例说明如下。
一、当第一、三两项，第二、四两项中的两条线段上的三个不同字母能直接构成三角形时。
例1在中，AD、BE分别是边BC、CA上的高，如图1。
求证：。
分析：如图1，要证。
为此，只要证∽，即可。
证明：如图1，在和中，
∽。
二、当第一、三两项，第二、四两项中的两条线段上的三个（或四个）不同字母不能直接构成三角形时。
例2如图2，中，，垂足为D，F是AC的中点，FD交CB的延长线于E。求证：。
分析：如图2，要证成立，显然不能直接证两个三角形相似。
因而可交换两内项DE、BC，得，显然与不相似。
当出现以上情况时，应根据已知条件或图形性质，把比例中的某一比（或一线段）用它的等量来代替。如何将与中的线段比构成呢？
由，，可得∽。那么，吗？由已知条件可证∽。由此得。
证明：如图2，在和中，
∽。
在和中，
∽
。
例3如图3，在中，、。求证：。
分析：如图3，要证，即，写成比例式为：
。由易想到延长至D，
使，则。
因此，前比例式为：。由而知，要连接CD。
这时只要证∽。由、，得。因为可知，，由此得∽。
证明：如图3，延长BA至点D，使，则，
连接CD。
在和中，
∽
。
通过以上的例题分析与证明，进一步说明了在证线段的比例式或等积式时，怎样确定两个三角形相似的方法，但同学们是否从中获得了启迪，就让下面的练习来检验一下吧！
1、已知，图4，的边AC、BC上的中线BE、AF交于点G。求证：。
2、已知，图5，D，E是的边BC上的两点，且，。求证：。
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