动态图形中的相似问题
河北李华青
在动态几何中,探究三角形中的相似关系,并根据相似三角形的性质探求线段的数量关系,探求图形的周长或面积的变化规律是中考中的热点题型.解题时,需要对图形的变化情况仔细分析,从中发现所求元素与相关相似三角形之间内在联系,进而解决所解答的问题.
(08黄冈)已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边菜OPDC的面积是梯形COAB面积的？
（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（4）当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？若能，请求出此时动点P的坐标；若不能，请说明理由．”列关于t的一次方程求解；（3）由△OPD的面积为S，可知点P在OA、AB、BC上运动，所以要分三种情况求解；（4）先假设能找到这样一点Q，再利用相似三角形的性质推之，看是否成立.
解:（1）设直线BC的解析式为y=kx+b，根据题意，得解得
∴直线BC的表达式为
（2）如图，过点D作DE⊥OA于E，则DE为梯形COAB的中位线.
∵OC=4，AB=10，
∴DE=
∵OA=8，∴.
如图，P点在OA上，且四边形COPD的面积为56时，
∵
∴
∴即解得
（3）此函数为分段函数,当P点在OA上时,∵OP=t,DE=7,∴S=(0＜t＜8);
当P点在AB上时,∵AP=t-8,BP=18-t,
∴ S=56--=44-2t(8≤t＜18);
当P点在BD上时,∵DN=4,BN=10-NA=10-DE=10-7=3,
∴BD=5,∴DC=BD=5.CP=18+10-t=28-t.
设△COP的CO边上的高为h,则有,h=,
∴ S==(18≤t＜23).
综上:
(4)在OA上不能找到一点Q，使四边形CQPD为矩形.理由如下:
如图，过C作CM⊥AB于M，则有CM=OA=8，AM=OC=4.∴BM=6.
在Rt△BCM中，BC=.
∴CD=BD=BC=5.
假设四边形CQPD为矩形，则PQ=CD=5，且PQ∥CD.
∴∠B=∠APQ.
∵∠BDP=∠PAQ=90°，∴Rt△PAQ∽Rt△BDP，
∴.
设BP=x，则PA=10-x.
∴，即解得=5，=-5（不合题意，舍去），即PB=5.
∴PB=BD，这与△PBD是直角三角形相矛盾.
∴假设不成立，即在OA上不存在点Q，使四边形CQPD为矩形.
评注:这是一道综合性很强的动态相似问题.解决这类问题,要抓住两点:一是对动点运动到不同时刻的三角形的面积都要用含时间的关系式表示;二是善于利用相似三角形的性质进行数形结合.
http://www.mathschina.com彰显数学魅力！演绎网站传奇！
学数学用专页第2页共3页搜资源上网站
E
图1
N
|
|
