《高中物理思维方法集解》随笔系列
“斜交分解法”在高中物理中的应用（续）
高级物理教师魏德田
除开前文所述而外，在高中物理中利用矢量的“斜交分解法”（以下称“斜分法”）解决问题的实例，可谓屡见不鲜。为了使初学者能理解和把握“斜分法”的应用，下面再着重从加速度的“斜交分解”角度，对几个典型问题展开进一步的分析和探讨。
[例题6]如图—13所示，小车从足够长的光滑斜面自由下滑。斜面的倾角为θ，小车上吊着质量为m的小球。
⑴试证明当小球与小车保持相对静止时，悬线垂直于斜面；
⑵悬线对小球的拉力多大？
[解析]⑴首先，由“运动分析”可知，当小球与小车保持相对静止时，二者具有相同的加速度a。当小车沿光滑斜面自由下滑时，由牛二定律可得小球的加速度
显然，其方向沿斜面向下。由于该加速度恰好等于小球的“下滑力”产生的加速度，因而悬线的拉力根本没有沿斜面的分量。因此，悬线必定垂直于斜面。
⑵然后，因小球只受重力G、拉力T作用，由力的独立性、加速度的“斜分法”，可知小球的加速度a可分解为竖直向下的重力加速度g和沿悬线向左上的拉力加速度a2，如图—14所示。
设悬线与竖直夹角为α，再由正弦定理、牛二定律、角度关系，可得
联立①②③④式，即可求出
[点拨]应用“斜分法”解决有关于加速度的物理问题，也千万不能忘记“解斜三角形”物理规律——即正弦定理、余弦定理、拉密公式等等。这应该是“斜分法”与“正分法”在处理物理问题上的主要区别之所在。
[例题7]如图—15所示，一个小球固定于小车支架上刚性细杆的顶端，且杆与水平方向的夹角为。当系统以加速度水平向右运动时，求沿杆的轴线方向小球受到的弹力有多大？
[解析]首先，分析可知当系统自左向右加速运动时，小球受重力、杆的弹力作用，其合力作为系统前进的动力。根据力的独立作用原理，各个力都能产生各自的加速度。
然后，把系统的加速度a分解为由重力、杆的弹力分别产生的加速度g、aN，依“斜分法”可知三者恰能组成一个平行四边形，如图—16（左）所示，
设加速度aN与水平方向成角，由正弦定理、勾股定理，可得
联立①②式，可
据牛二定律，可知杆对小球的弹力大小为
其方向与水平有60°夹角。显见，该弹力并不沿着杆的轴线方向。事实上，这种情况下杆所产生的弹力，是由杆的轴向的拉伸形变、横向的扭转形变等综合产生的。因而，我们可把弹力FN再向这两个方向做正交分解。从而求出
最后，已知，再把④⑤式结果代入以上两式可得
其中，FN1沿杆的轴线方向的支持力；FN2则为垂直于轴线方向的扭转弹力，如图—16（右）所示。
[点拨]此例首先应该明确一点，刚性杆所产生的弹力，不但有轴向的拉伸（或压缩）弹力，还有垂直于轴向的因杆的弯曲形变所导致的弹力。明确这一点，对解决有关刚性杆的力学问题是十分有意义的。
[例题8]把一物体以初速度v0沿与水平成θ角的方向向斜上方抛出，经过时间t,试求，⑴物体沿初速度方向的末速度、位移等的大小。⑵t时刻物体相对抛点的竖直高度h和水平距离x。
[解析]⑴通常，把斜抛运动作为水平的“匀速”和竖直的“匀减速”处理。现在改变思路，应用“斜分法”先把加速度g分解到左斜下（与初速度方向相反）的g1和水平向右g1等两个方向，均按做匀减速运动处理，亦可求出相同的结果，如图—17所示。从而
然后，设向斜上的末速度、位移分别为v1、s1,水平速度、位移分别为v2、s2。由平行四边形定则、运动学公式，可得
由①③⑤式，即可求出
⑵由于竖直位移只能由沿斜上的运动产生，水平位移则为两个运动在水平方向的代数和。考虑到⑥⑦两式，从而不难求出以下结果
此结果与应用“正分法”所得完全相同。
[点拨]由解题过程可见，利用“斜分法”处理各种抛体运动，虽然有时显得略微麻烦一些，但是它又毕竟是解决抛体运动的一种有效方法和正确途径。特别是解决斜下、上抛问题，不但能应用一题多解方式，激发学习兴趣，取得异途同归的教学效果，而且对培养临场应变能力，增强自信心，活化思维方法，克服思维定势等等都是有“百益而无一害”的。
[例题9]一圆锥摆的悬线长为l，小球质量为m，当小球在水平面内以角速度ω转动时，求悬线的拉力多大？
[解析]类似地，因小球只受重力、拉力作用，故小球做圆周运动的向心加速度a可“斜分”为重力加速度g和拉力加速度a2、，如图—18所示。然后，设悬线与竖直的夹角为θ，由正弦定理、向心加速度公式及线段关系，易知
联立①②③式，即可求出
[点拨]此例难度不大，但还是应该强调，从矢量运算角度看“圆锥摆”的实际加速度——即合加速度可认为由重力加速度、拉力加速度合成的，方向则时刻指向水平面内“轨迹圆”的圆心。
[例题10]一质量为m的小球固定在一根自然长度为l0、劲度为k的弹簧的一端，另一端悬挂于天花板上的O点。现使小球与悬点位于同一水平线上的A点,而弹簧恰能处于自由状态，然后由静止释放。当小球依动至B点时，下落高度为h，测得此时其长度为l。试求：小球在B点的瞬时加速度的大小。（设）
[解析]首先，分析可知小球参与自由落体运动和绕O点的转动等两个分运动。类似地，小球的加速度a可“斜分”为重力加速度g、弹簧的拉力加速度a2，如图—19所示。
已知，由胡克定律、牛二定律可得
然后，对矢量三角形，应用余弦定理可得
再联立式①②③式，即可解得
。
[点拨]此例把胡克定律、运动定律和“解斜三角形”的知识联系在一起，由自由落体、定轴可变半径的转动合成为实际运动，亦可谓力学综合题的一种题型。
[例题11]假如地球为质量分布均匀的正球体，其质量、自转的角速度、半径分别为M、、R，求地球表面纬度为60°处的重力加速度。（已知引力常量为G）
[解析]如图—20所示，MN表示地轴，O、O/分别表示地心、地面纬度60°P点的旋转中心，由万有引力、牛二定律可得引力加速度为
又，由向心力公式可得
显然，此加速度由万有引力垂直于地轴的一个分力产生。
根据矢量“斜分法”，可得重力加速度、向心加速度和引力加速度等的平行四边形（或三角形）。针对矢量三角形，由余弦定理可得
联立①②③式，即可求出
[点拨]若令则得在地表纬度60°处，重力加速度的大小可表示为
显然，故知.与实际情况恰能相吻合。
综上所述可知，若能恰当应用“斜分法”，分析和解决有关加速度的分解（或合成）一类问题，则对考生智力的开发，思维的锻炼和增强自信心以及提高考试成绩等方面，的确有其实用的价值和深远的影响。
魏老师天津高考物理拔高辅导 jingxuanjiaoxueziliao
1
魏老师高考物理冲刺/全程辅导 第 页版权所有@翻印必究
g
a
图—16
FN1
FN
FN2
mg
图—15
m
a
O
a
g
a2
θ
α
图—14
O
图—13
α
aN
O
图—17
x
y
θ
o
g
v0
g1
g2
a
a2
O
θ
g
l
图—18
α
图—19
A
aQ
a2
l0
l
g
O
h
O
O/
P
60°
g
a2
a
M
N
图—20
|
|
