附录22不动点法求数列的通项公式二、常见题型一、有关概念1.不动点2.特征方程与特征值1.递推式形如
的数列2.递推式形如的数列3.递推式形如
的数列方程的根称为函数的不动点例1：函数的不动点是_____________
或注：函数的不动点，也可以理解成：故其根为解：因方程等价于或是其于直线交点的横坐
标1.不动点：2.特征方程与特征值称为的特征方程称
为的特征方程称为
的特征方程①②特征方程的根称为特征值方程的根称为函数的不动点1.不动点：一、有关概念二、常
见题型1.递推式形如的数列：一定可写成其中是的特征值
……特别的有：则是等比数列，是其特征值若数列满足：1.递推式形如
的数列例2.(2006年重庆)在数列中,若则该数列的通项公式_______析：因
的特征方程为即特征值为-3，故即解：因所以故是以4为首项,2为公比的等比数列故鸳鸯绣出凭君看不
把金针度与人……练习1.型①②课本P：33A组Ex4（1）析：特征方程为故特征值为
故析：特征方程为故特征值为？法1：法2：令n=1，立得？=…故……析：特征方程为故特征值为③令析：
故④则下同③……解：因故析：由⑤……析：特征方程为故特征值为故⑥得令则下同⑤……⑦课本P:
30例2解：因即谢宾斯基三角形波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出:能否找到一个图形,当它的面积无限减小时,它的周
长则无限增大故谢宾斯基“金字塔”⑧课本P:34B组Ex1数列的前五项:1,9,故即73，4681，58
5,？谢宾斯基“地毯”2.递推式形如的数列①当特征值是实数且不等时,为等比
数列②当特征值是实数且相等时,为等差数列③当特征值是复数时,个别数列具有周期性⑨(2012
年大纲版简化)练习2.型(Ⅱ)求数列满足：(Ⅰ)证明：析：(Ⅱ)因
的特征方程为即特征值为-1和3，故为等比数列即故(Ⅰ)易得为递增数列，……⑩（2006年全国Ⅱ）设
数列的前n项和为且方程有一根为求数列的通项公式解：依题意有将代入式得ⅰ.当n=1时，易得
ⅱ.当n≥2时,…………特征值为1特征方程为当特征值是实数且相等时,为等差数列解：依题意有将代
入式得ⅰ.当n=1时，易得ⅱ.当n≥2时,故是首项为-2,公差为-1的等差数列即…………所以综上将其代
入式得故11析：因的特征方程为其特征值为虚根，故为周期数列周期为3也，故①当特征值
是实数且不等时,一定有②当特征值是实数且相等时,③当特征值是复数时,个别数列具有周期性
3.递推式形如的数列一定有练习3.型12
课本P:69B组Ex6析：因的特征方程为故其特征值为-1和3，所以特值法求出当特征值是实数且不等时,一定有 |
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