电源电动势和内阻的测量方法
江西省都昌县第一中学李一新
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一、常用测量方法
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1．利用电流表和电压表来测量
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电路图：有两种连接方式，如图1所示电流表内接法和如图2所示的电流表外接法。
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原理：闭合电路欧姆定律，改变外电阻R，就能测得U、I的数据，利用两组数据代入公式可求得E、r的数值，但误差较大，通常利用多组数据作出U—I图象来求解。
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误差：利用如图1所示的电路测量时，E测＜E真，r测＜r真；利用如图2所示的电路测量时，E测=E真，r测＞r真。
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例1（2009年安徽卷）用如图3所示的电路，测定一节干电池的电动势和内阻。电池的内阻较小，为了防止在调节滑动变阻器时造成短路，电路中用一个定值电阻R0起保护作用。除电池、开关和导线外，可供使用的实验器材还有：
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a．电流表（量程0．6A．3A）；
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b．电压表（量程3V、15V）
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c．定值电阻（阻值1、额定功率5W）
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d．定值电阻（阻值10，额定功率10W）
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e．滑动变阻器（阻值范围0～10、额定电流2A）
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f．滑动变阻器（阻值范围0～100、额定电流1A）
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那么
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（1）要正确完成实验，电压表的量程应选择?????V，电流表的量程应选择??????A；R0应选择??????的定值电阻，R应选择阻值范围是?????????的滑动变阻器。
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（2）引起该实验系统误差的主要原因是????????????????????????????。
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解析：（1）由于电源是一节干电池（1．5V），所选量程为3V的电压表；估算电流时，考虑到干电池的内阻一般几左右，加上保护电阻，最大电流在0．5A左右，所以选量程为0．6A的电流表；由于电池内阻很小，所以保护电阻不宜太大，否则会使得电流表、电压表取值范围小，造成的误差大；滑动变阻器的最大阻值一般比电池内阻大几倍就好了，取0～10能很好地控制电路中的电流和电压，若取0～100会出现开始几乎不变最后突然变化的现象。
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（2）关于系统误差一般由测量工具和所造成测量方法造成的，一般具有倾向性，总是偏大或者偏小。本实验中由于电压表的分流作用造成电流表读数总是比测量值小，造成E测＜E真，r测＜r真。
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变式一：没有电压表，利用小量程的电流表和定值电阻改装成电压表。
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例2在测定一节干电池的电动势和内电阻的实验中，备有下列器材：干电池（电动势E约为1．5V，内电阻r约为1．0Ω）；电流表G（满偏电流3．0mA，内阻Rg=10Ω）；电流表A（量程0～0．6A，内阻约为0．5Ω）；滑动变阻器R（0～20Ω，10A）；滑动变阻器R‘（0～100Ω，1A）；定值电阻R3=990Ω；开关和导线若干。
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（1）为了能准确地进行测量，也为了操作方便，实验中应选用的滑动变阻器是_________。（填写数字代号）
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（2）请画出实验原理图。
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解析：由闭合电路欧姆定律可知，只要能测出两组路端电压和电流即可，但题目中只给出两个电流表且其中一个电流表G的内阻已知，可以把内阻已知的电流表和定值电阻R3串联改装成一个电压表。为了减少误差，滑动变阻器应选R，设计实验原理图如图4所示。
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分别测两组电流表G和A的读数，则有：
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可得：，
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点评：此方法能准确地测量出电源的电动势和内阻，无系统误差。
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变式二：没有电压表，利用已知内阻的电流表代替电压表来测电压。
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例3用一块内阻已知的电流表和一块内阻未知的电流表可以测量内阻较大的电源的电动势和内电阻，其电路原理图如图5所示。设A1的内电阻为R0，假设两电流表的总量程略大于所在回路的电流，若S1闭合，S2断开时，电流表A1的示数为I1，则有：
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，
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若S1闭合，S2闭合时，电流表的示数为和，则有：
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，
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联立以上两式可得电源的电动势和内电阻分别为：，
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点评：此方法亦能准确地测量出电源的电动势和内阻，无系统误差。
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2．利用一只电流表和电阻箱来测量
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电路图：如图6所示。
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原理：由闭合电路欧姆定律。改变电阻箱的阻值R就能得到R、I数据，利用两组数据就能求得E、r，或利用多组数据作图象来求解。
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误差：E测=E真，r测＞r真
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例4（2006年江苏卷）现在按图7所示的电路测量一节旧干电池的电动势E（约1．5V）和内阻r（约20Ω），可供选择的器村如下：
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电流表、（量程0～500μA，内阻约为500Ω），滑动变阻器R（阻值0～100Ω），额定电流1．0A），定值电阻R1（阻值约为100Ω），电阻箱R2、R3（阻值0～999．9Ω）），开关、导线若干。
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由于现有电流表量程偏小，不能满足实验要求，为此，先将电流表改装（扩大量程），然后再按图8所示的电路进行测量。
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（1）电流表的内阻按图8电路测量，以下给出了实验中必要的操作。
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A．断开S1
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B．闭合S1、S2
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C．按图8连接线路，将滑动变阻器R的滑片调至最左端，R2调至最大
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D．调节R2，使的示数为I1，记录R2的值。
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E．断开S2，闭合S3
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F．调节滑动变阻器R，使、的指针偏转适中，记录的示数I1
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请按合理顺序排列实验步骤（填序号）：?????????????。
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（2）将电流表（较小量程）改装成电流表（较大量程）。
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如果（1）中测出的内阻为468．0?，现用R2将改装成量程为20mA的电流表，应把R2调为?????????并与A2并联，改装后电流表的内阻RA为????????。
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（3）利用电流表、电阻箱R3测电池的电动势和内阻
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用电流表、电阻箱R3及开关S按图7所示电路测电池的电动势和内阻。实验时，改变R3的值，记录下电流表的示数I，得到若干组R3、I的数据，然后通过作出有关物理量的线性图象，求得电池的电动势E和内阻r。
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①请写出与你所作线性图象对应的函数关系式???????????。
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②请在虚线框内的坐标中作出定性图象（要求标明两上坐标轴所代表的物理量，用符号表示）
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③图中?????????表示E，图中???????????表示r。
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解析：（1）本实验是用“替代法”测电流表的内阻，合理步骤顺序为CBFEDA。
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（2）需要并联的电阻?，改装后的电表的总内阻?。
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（3）由闭合电路欧姆定律得，对此有三种典型答案：
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答案一：①函数关系式
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②以为横轴，（R3+RA）为纵轴，可作出如图9所示
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③直线的斜率表示E，纵轴截距的绝对值表示r。
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答案二：①函数关系式
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②以（R3+RA）为横轴，为纵轴，可作出如图10所示。
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③直线的斜率的倒数表示E，纵轴截距的绝对值除以斜率表示r。
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答案三：①函数关系式
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②以为横轴，R3为纵轴，可作出如图11所示
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③直线的斜率的表示E，纵轴截距的绝对值与RA的差表示r。
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例5请从下列器材中选择适当仪器设计一个电路，要求用此电路既能测量待测电阻Rx的电阻（约500Ω），又能测量电源E的电动势。
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a．待测定值电阻Rx：阻值约500Ω????
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b．滑动变阻器R1：总阻值1000Ω
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c．电阻箱R2：最大阻值999．9Ω??????
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d．电阻箱R3：最大阻值99．9Ω
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e．电流表A：量程3mA，内阻约50Ω
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f．电源E：电动势约为3V，内阻很小但不可忽略
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g．单刀双掷开关及导线若干
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（1）实验中应选取的器材有：???????????????（填写器材前面的字母序号）
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（2）请在虚线框中画出实验电路图
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（3）在测出电阻Rx的值后（记为Rx），再利用此电路测量电源E的电动势。还需用测量的物理量有：????????????????????，用所测的物理量表示电源E的电动势为??????????????????????????。
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解析：（1）a、b、c、e、f、g
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（2）如图12所示
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（3）解法一：开关接2，调节变阻器R1至适当位置并保持不变，调节电阻箱R2，记录电阻箱读数R2和电流表读数I，再次调节电阻箱R2，记录电阻箱读数R2‘和电流表读数I’，则
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由上两式可得
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解法二：开关接1，调节变阻器R1至适当位置并保持不变，记录电流表读数I1，开关接2，调节电阻箱R2，记录电阻箱读数R2和电流表读数I2，则
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由上两式可得。
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3．利用一只电压表和电阻箱来测量
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电路图：如图13所示。
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原理：由闭合电路欧姆定律。改变电阻箱的阻值R就能得到R、U数据，利用两组数据就能求得E、r。但误差较大，通常利用多组数据作出U—I图象来求解。
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误差：E测＜E真，r测＜r真
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例6要求测量由两节干电池组成的电池组的电动势E和内阻r（约几欧姆）。提供下列器材：电压表V1（量程3V，内阻1kΩ）、电压表V2（量程15V，内阻2kΩ）、电阻箱（0～9999．9Ω）、开关导线若干。
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某同学用量程为15V的电压表连接成如图14所示的电路，实验步骤如下：
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（1）合上开关S，将电阻箱R阻值调到R1=10Ω，读得电压表的读数为U1；
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（2）将电阻箱R阻值调到R2=20Ω，读得电压表的读数为U2；
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（3）由方程组，，解出E、r。
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为了减少实验误差，上述实验在选择器材和实验步骤中应做哪些改进？
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解析：两节干电池组成的电池组电动势大约3V，因此闭合电路中路端电压不超过3V，电压表应该选用V1，选用电压表V2，其量程为15V，实验过程中电压表的读数都小于满刻度的，会造成较大的误差。利用两组数据列出方程组，可解出E、r，但误差较大，实验中应多次改变电阻箱R的阻值（通常5次以上），读出相应电压表的示数，由计算出相应的电流值，作出U—I图象，利用图线求得E、r。
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例7（2008年全国卷Ⅰ）一直流电压表，量程为1V，内阻为1000Ω。现将一阻值为5000～7000Ω之间的固定电阻R1与此电压表串联，以扩大电压表的量程。为求得扩大后量程的准确值，再给定一直流电源（电动势E为6～7V，内阻可忽略不计），一阻值R2=2000Ω的固定电阻，两个单刀开关S1．S2及若干导线。
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（1）为达到上述目的，将答题卡上对应的图连成一个完整的实验电路图。
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（2）连线完成以后，当S1与S2均闭合时，电压表的示数为0．90V；当S1闭合，S2断开时，电压表的示数为0．70V。由此可以计算出改装后电压表的量程为???????V，电源电动势为????????V。
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解析：（1）连线如图15所示。
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（2）设电压表的内阻为RV。当S1与S2均闭合时，电压表的示数U1=0．90V，则
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当S1闭合，S2断开时，电压表的示数U2=0．70V，则
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联立以上两式可得：R1=6000Ω，E=6．3V。
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改装后电压表的量程为：。
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变式：利用两只电压表，既测电压又当电阻，测电源的电动势和内阻。
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例8为了测量两节串联干电池的电动势，某同学设计了如图16所示的实验电路，其中E是待测电池组，内阻不能忽略；V1、2是两只量程都合适的电表，内阻不是很大，且未知，S1、S2是单刀单掷开关；导线若干。
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（1）请根据电路图甲，在图乙中连线，将器材连成实验电路。
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（2）实验需要测量的物理量是????????????????。
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（3）用测出的物理量，导出串联电池组电动势的表达式是?????????????。
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解析：（1）实物连线图如图17所示。
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（2）先闭合S1，断开S2时，V1的读数U1，V2的读数U1；再闭合S2时，V1的读数U1‘。
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（3）设V1的内阻为RV1，由闭合电路欧姆定律得，
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当闭合S1，断开S2时，
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再闭合S2时，
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联立以上两式可得：，。
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点评：用这种方法能准确地测出电源的电动势，若再已知电压表V1的内阻还可以准确地测量出电源的内阻，无系统误差。
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二、特殊测量方法
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1．利用辅助电源测量
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电路图：如图18所示。
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原理：调节滑动变阻器R和R’，使电流表G的示数为0，此时A．B两点的电势φA．φB的关系是φA=φB，读出电流表A和电压表V的示数I和U，则，利用两组数据可求得E、r的数值。
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误差：此方法无系统误差，精确程度取决于电流表G的灵敏程度。
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例9某小组设计了如图18所示的电路，该电路能够测量电源的电动势E和内阻r，E’是辅助电源，A、B两点间有一灵敏电流表G。
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（1）补充下列实验步骤：
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①闭合开关S1、S2，????????????????????使得灵敏电流表的示数为零，这时，A、B两点的电势φA、φB的关系是φA??????φB，即相当于同一点，读出电流表和电压表的示数I1和U1，其中I1就是通过电源E的电流。
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②改变滑动变阻器R、R‘的阻值，重新使得??????????????????，读出????????????
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（2）写出步骤①、②对应的方程式及电动势和内阻的表达式。???????????????????
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解析：（1）①闭合开关S1、S2，调整滑动变阻器R、R‘的阻值使得灵敏电流表的示数为零时，A、B两点的电势φA、φB相等。
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②改变滑动变阻器R、R‘的阻值，重新使得灵敏电流表的示数为零，读出电流表和电压表的示数I2和U2。
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（2）当灵敏电流表的示数为零时，由闭合电路欧姆定律得
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联立以上两式得
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电流表的电压表的示数I1和U1时，
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电流表的电压表的示数I2和U2时，
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可解得，。
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2．利用电桥平衡测量
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电路图：如图19所示。
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原理：调节变阻器R1和R2使电流表G的读数为0，此时电流表A1和A2的示数之和就是流过电源的电流I（即干路电流），电压表V1和V2的示数之和就是电源的路端电压U，则，两次调节R1和R2，使电流表G的示数变为0，读出四个电表的读数，便可求出电源电动势和内阻。假设第一次两电流表示数之和为I1，两电压表示数之和为U1，则；第二次两电流表示数之和为I2，两电压表示数之和为U2，则，联立可得，。
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误差：此方法同样无系统误差，并且不必考虑电表带来的误差，因为此时电表相当于电源的外电路电阻，精确程度取决于电流表G的灵敏程度。
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3．利用电动势已知的标准电源测某电源的电动势
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电路图：如图20所示。
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原理：图20中E为供电电源，Es为为标准电源，Ex为待测电源，Rp是限流电阻，r0电流表G的保护电阻。测量时，首先闭合开关S1，电阻丝AB上有一定的电势降落；接着将开关S2合到“1”位置，移动滑动触头C，使G指针指零，此时AC的长度为L1，AC段电压为Es；再将S2合到“2”位置，移动滑动触头C，使G指针再指零，此时AC的长度为L2，AC段电压为Ex。由于电流表G的示数为0，则两次流过AB的电流不变，故，得。
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误差：此实验无系统误差，精确程度取决于电流表G的灵敏程度。
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例6如图20所示的电路可测电源的电动势，图中E为供电电源，Es为为标准电源，Ex为待测电源，Rp是限流电阻，r0电流表G的保护电阻。测量时，首先闭合开关S1，电阻丝AB上有一定的电势降落；接着将开关S2合到“1”位置，移动滑动触头C，使G指针指零，此时AC的长度为L1；再将S2合到“2”位置，移动滑动触头C，使G指针再指零，此时AC的长度为L2。
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（1）若仅闭合S1时流过AB的电流为I0，那么当S2分别合到“1”、“2”上后，通过滑动触头C，使G指针指零时，流过AC段的电流分别是???????和????????。
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（2）由题中的已知量求得待测电源的电动势Ex=?????????????。
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解析：（1）因为G指针指零时，流过r0的电流为零，则S2无论是接“1”还是接“2”，流过AC段的电流均是I0。
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（2）设AB的长度为L，则
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联立解得：。
2011-04-06??人教网
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