平抛运动的三个推论及其应用
江西省临川二中周勇
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一、推论一：速度偏向角的函数值规律：平抛运动任意时刻的速度偏向角的三种函数值分别为，如图所示：
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式中表示速度V的竖起分量，
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、表示速度V的水平分量，x、y分别表示水平和竖直位移。
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例1在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v0垂直于Y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成θ=60°角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点垂直于Y轴射出磁场，如图所示。不计粒子重力，求：
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（1）M、N两点间的电势差UMN；
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（2）粒子在磁场中运动的轨道半径r；
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（3）粒子从M点运动到P点的总时间t。
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解析：粒子在第Ⅰ象限内，只在电场力的作用下做类平抛运动，设粒子过N点时的速度为v，则有推论一有
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??????????????????????????????????????①
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解得?????????????????????????????????????②
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粒子从M点运动到N点的过程中，有动能定理得
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?????????????????????????③
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由（2）（3）两式得??????????????????????④
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（2）（3）两问的解答略，请读者分析。
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例2如图所示，在xOy平面的第一象限有一匀强电场，电场的方向平行于y轴向下；在x轴和第四象限的射线OC之间有一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向外。有一质量为m，带有电荷量+q的质点由电场左侧平行于x轴射入电场。质点到达x轴上A点时，速度方向与x轴的夹角，A点与原点O的距离为d。接着，质点进入磁场，并垂直于OC飞离磁场。不计重力影响。若OC与x轴的夹角为，求
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（1）粒子在磁场中运动速度的大小：
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（2）匀强电场的场强大小。
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?????????
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解析：（1）质点在磁场中的只要洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，根据飞进和飞离磁场的方向，进而确定圆心，进而确定圆心O＇和半径R，如图所示则有
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R=dsin??????????????①
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由洛化兹力公式和牛顿第二定律得
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???????????????????????????????????②由①②式，得
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????????????????????????????????③
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（2）质点在电场中的运动为类平抛运动。由推论一有
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x=v0t????????????????????????④
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v0＝vcos?????????????????????????⑤
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vsin?＝at?????????????????????????????⑥
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式中v0表示射入电场的速度，a表示在电场中的加速度，t为电场中运动时间。设
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电场强度为E，由牛顿第二定律得：
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qE＝ma?????????????????????????????⑦
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由④⑤⑥⑦得???⑧
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二、推论二：速度偏向角与位移偏向向角的关系：平抛运动的速度偏向角的正切函数，等于位移偏向角θ（合位移S与水平位移x的夹角）的正切函数值2倍，即
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例3如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足（）
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A．tanφ=sinθ
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B．tanφ=cosθ
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C．tanφ=tanθ
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D．tanφ=2tanθ????????????????????????????????????????????
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解析：题中φ的为速度偏向角，θ角与位移偏向角相等，由平抛运动推论二可得正确选项D，本题关键应记住推论，把斜面倾角转化为位移偏向角
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利用该推论可迅速解决例2的第（2）问。设质点飞入电场时距O点距离为L，由几何关系和推论二有
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（θ为位移偏向角）???????????????????????????①
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????????????????????????????????????????②
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由动能定理得
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???????????????????????????????③
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由①②③式得
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三、推论三：速度方向反向延长线规律：平抛运动任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线，一定通过此时水平位移x的中点
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即。
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例4如图所示，真空室中电极K发出的电子（初速不计）经过U0=1000V的加速电场后，由小孔S沿两水平金属板A、B间的中心线射入。A、B板长l=0．20m，相距d=0．020m，加在A、B两板间的电压u随时间t变化如图所示。设A、B间的电场可看作是均匀的，且两板外无电场。在每个电子通过电场区域的极短时间内，电场可视作恒定的。两板右侧放一记录圆筒，筒在左侧边缘与极板右端距离b=0．15m，筒绕其竖直轴匀速转动，周期T=0．20s，筒的周长s=0．20m，筒能接收到通过A、B板的全部电子。
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（1）以t=0时（见图，此时u=0）电子打到圆筒记录纸上的点作为x、y坐标系的原点，并取y轴竖直向上。试计算电子打到记录纸上的最高点的y坐标和x坐标。（不计重力作用）
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（2）略
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解析：设电子打在记录纸上最高点的坐标为y，如图所示，由推论三和三角形相似可得
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解得：
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可见利用平抛（类平抛）运动的推论可迅速得到答案，关于坐标x的求解笔者在此不再赘述，敬请读者分析
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总上所述，这几道题从不同层次、角度和侧面考查了平抛运动，考查了学生灵活运用学知识的能力。本文就平抛运动的研究提供给读者一个案例，抛砖引玉，希望能给读者研究其它知识点产生一点启发。
2011-07-28??人教网
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