第4讲分式考点一分式1．一般地如果A表示两个整式并且B中含有字母那么式子叫做分式．分式中叫做分子叫做分母．分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．2．分式有、无意义：当＝0时分式无意义；当时分式有意义．
3．分式的值为0：当＝0且B≠0时分式的值为0.分母中含有字母是分式与分数的根本区别；判断一个式子是不是分式不要化简直接根据概念判断即可．考点二分式的基本性质1．分式的基本性质分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式分式的值不变．用式子表示为＝＝(M≠0)其中A是整式．2．约分(1)把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分；(2)约分的关键是确定分式的分子与分母中的最大公因式．确定最大公因式的一般步骤：当分子、分母是多项式时先因式分解再取系数的与相同字母(或因式)的最低次幂的积为最大公因式．3．通分(1)把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分；(2)通分的关键是确定几个分式的确定最简公分母的一般步骤：当分母是多项式时先因式分解再取系数的最小公倍数与所有不同字母(或因式)的最高次幂的积为最简公分母．温馨提示：
1．若原分式的分子(或分母)是多项式运用分式的基本性质时要先把分式的分子(或分母)用括号括起来再乘(或除以)整式．应用分式的基本性质时要深刻理解“都”与“同”这两个字的含义避免犯只乘分子或只乘分母某一项的错误．
考点三分式的运算1．分式的加减同分母分式相加减：＝；异分母分式相加减：＝．
2．分式的·＝÷＝＝．3．分式的乘方＝(b≠0是正整数)．
4．分式的混合运算在分式的混合运算中应先算乘方、开方再算乘除最后运算结果必须是最简分式或整式．注意：在分式的运算中分式只能通分不能去分母．考点四分式的求值分式的求值方法很多主要有三种：(1)先化简再求值；(2)由值的形式直接转化成所求的代数式的值；(3)式中字母表示的数未明确告知而是隐含在方程等题设条件中．解这类题一方面从方程中求出未知数或未知代数式的值；另一方面把所求代数式适当地化简变形．有时两种方法同时用能获得简易的解法．考点一确定分式有意义的条件
例1(2016·武汉)若代数式在实数范围内有意义则实数x的取值范围是()＜3．＞3．＝3【点拨】由分式有意义的条件可得x－3≠0故选【答案】
方法总结：
分式有意义的条件是分母不为0当分母中含有二次根式时还要注意被开方数是非负数．考点二确定分式的值为0的条件
例2(2016·苏州)当x＝时分式的值为0.【点拨】因为分式的值为0所以x－2＝0所以x＝2.检验：当x＝2时＋5≠0所以x＝2.【答案】2
方法总结：
分式的值为0受到分母不等于0的限制分式的值为0”包含两层含义：一是分式有意义；二是分子的值为0.不要误认为“只要分子的值为0分式的值就是0”．
考点三分式的加减
例3(2016·南京)计算：－【点拨】把分母a－a分解为(a＋1)(a－1)确定最简公分a＋1)(a－1)通分把异分母分式的加减运算转化为同分母分式的加减运算结果化为最简分式或整式的形式．解：原式＝－＝＝＝＝
方法总结：
1．同分母分式相加减“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减各分子都应加括号特别是相减时要避免出现符号错误．异分母分式相加减应先通分再加减．
考点四分式的乘除
例4(2016·成都)化简：.
【点拨】先算括号里面的得再把除法变乘法然后约分即可．解：原式＝
＝
＝x＋1．分式的乘除运算归根到底是乘法运算其实质是分式的约分.考点五分式的化简及求值
例5(2016·广安)先化简再求值：，其中x满足2x＋4＝0.【点拨】本题考查了分式的化简求值先按照分式混合运算的顺序将分式化简然后解：原式＝
＝
＝由2x＋4＝0得x＝－2则原式＝＝5.
方法总结：
1．有理数的运算律对分式同样适用要灵活运注意选取字母的值时要使整个过程中的每一个分式都有意义．1．分式的值为0则x的值为()．－3．任意实数2．下列分式运算正确的是()＋＝＝a＝a＋b＝3．(2016·天津)计算－的结果为()D．
4．(2016·台州)化简的()－1．D．
5．化简的结果是()－
C．D．
6．化简(a－2)·．7．(2016·山西)先化简再求值：－其中＝－2.解：原式＝－＝－＝当x＝－2时原式＝＝2.
8．先化简再求值：，选择自己喜欢的一个x代入求值．解：原式＝＝－要使原式有意义－3－2如取x＝3时原式＝－6.一、选择题(每小题3分共36分)1．(2016·衡阳)如果分式有意义则x的取值范围是()全体实数B．＝1D．＞1【解析】分式有意义则分母－1≠0即故选B．2．(2016·温州)若分式的值为0则x的值是()－3B．－2C．0D．2【解析】分式的值为0则x－2＝0＝2此时分母x＋3≠0.故选
3．(2016·滨州)下列分式中最简分式是()B．
C．D．
【解析】项＝项＝＝项＝＝故选4．(2016·德州)化简－等于()B．C．－D．－【解析】－＝－＝＋＝＝＝故选
5．(2016·河北)下列运算结果为x－1的是()【导学号90280032】－·
C．÷
【解析】项1－＝项＝＝x－1C项＝项＝x＋1.故选6．化简－的结果是()B．
C．D．
【解析】原式＝－＝－＝＝故选
7．(2016·北京)如果a＋b＝2那么代数式的值是()【导学号90280033】B．－2C．D．－
【解析】原式＝＝＝＋＝2.故选8．甲、乙两人同时从A地出发到B地如果甲的速度v保持不变而乙先用的速度到达中点再用2v的速度到达B地则下列结论中正确的()【导学号90280034】甲、乙同时到达地甲先到达地乙先到达地谁先到达地与速度v有关【解析】设从A地到B2s，而甲的速度保持v不变甲所用时间为；∵乙先用的速度到达中点再用2v的速度到达B地乙所用时间为＋＝＋>0，v>0，∴＋>故甲先到达B地．故选
9．当a＝2时÷的结果是()B．－D．－
【解析】原式＝＝＝当a＝2时原式＝＝－故选
10．化简的结果等于()【导学号90280035】－2＋2
【解析】原式＝＝＝＝a＋2.故选B．
11．化简－的结果为()
C．
【解析】原式＝－＝＝＝故选12．张华在一次数学活动中利用“在面积一定的矩形中正方形的周长最短”的结论推导出“式子x＋(x>0)的最小值是2”其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x则另一边的长为矩形的周长为2；当矩形成为正方形时就有x＝(x>0)解得x＝1.这时矩形的周长＝4最小因此x＋(x>0)的最小值是2.模仿张华的推导你求得式子(x>0)的最小值是()【导学号90280036】【解析】∵x>0在原式中分母分子同除以x即＝＋在面积是9的矩形中设矩形的一边长为x则另一边长为矩形的周长为2；当矩形成为正方形时就有x＝(x>0)解得x＝3.这时矩形的周长＝最小因此x＋(x>0)的最小值是6.故选
二、填空题(每小题4分共20分)13．(2016·新疆)计算：＝．【解析】＝＝
14．(2016·黄冈)计算的结果是a－b．【解析】＝＝－．15．(2016·咸宁)a互为倒数代数式的值为．【解析】因为a互为倒数所以ab＝1.则＝＝(a＋b)·＝＝
16．(2016·贵州)若a＋5ab－b＝0则－的值为．【导学号90280037】【解析】因为a＋5ab－b＝0所以a－b＝－5ab．则－＝＝－＝5.17．(2016·凉山州)若实数x满足x－2－1＝0则x＋＝．【导学号90280038】【解析】因为实数x满足x－2－1＝0显然x≠0两边都除以x得x－2－＝0即x－＝2则x＋＝＋2＝(2)＋2＝8＋2＝10.三、解答题(共44分)18．(每小题4分共12分)(1)(2016·青岛)化简：－解：原式＝＝＝
(2)(2016·重庆)化简：.
解：原式＝
＝
＝
(3)(2016·陕西)化简：.
解：原式＝
＝
＝(x－1)(x－3)＝x－4x＋3.19．【导学号90280039】(1)(5分)(2016·随州)先化简再求值：，其中x＝－2.解：原式＝－
＝－
＝－＝－当x＝－2时原式＝－＝－＝－1.
(2)(6分)(2016·遵义)先化简，再从1中选取一个适当的数代入求值．
解：原式＝＝－20，a＋20，∴a≠±2.
∴当a＝1时原式＝－3.
(3)(7分)(2016·河南)先化简再求值：÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．解：原式＝＝＝－解不等式组得－1≤x≤不等式组的整数解为－1若分式有意义只能取x＝2原式＝－＝－2.(4)(7分)(2016·枣庄)先化简再求值：，其中a是方程2x2＋x－3＝0的解．解：原式＝
＝＝
由2x＋x－3＝0得x＝1＝－又∵a－1≠0＝－原式＝＝－(5)(7分)先化简再求值：，其中a满足＋－＝0.解：原式＝
＝＝
∵≥0，|b－＋|b－＝0＋1＝0且b－＝0.a＝－1＝原式＝＝＝－ |
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