第二章方程(组)与不等式(组)第6讲一次方程与方程组考点一等式的基本性质及有关概念1．等式的基本性质性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子)所得的结果仍是等式．即如果a＝b那么a±c＝．性质2：等式的两0的数(或式子)所得的结果仍是等式．即如果a＝b那么ac＝＝(c≠0)．
2．方程：含有未知数的等式叫做方程．3．方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解．4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．考点二一元一次方程及其解法1．一元一次方程在整式方程中只含有一个未知数(元)且未知数的次数都是1这样的方程叫做一元一次方程．一元一次方程的一般形式是＋b＝0(a≠0)．2．解一元一次方程的一般步骤(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1．考点三二元一次方程(组)及其解法1．二元一次方程(组)(1)方程中含有两个未知数(x和y)并且含有未知数的项的次数都是1这样的方程叫做二元一次方程．二元一次方程的一般形式：ax＋by＋c＝0(a是常数且a≠0)．(2)两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起构成二元一次方程组．2．二元一次方程组的解法(1)代入消元法；(2)加减消元法．当方程组中一个方程的某个未知数的系数的绝对值为1时用代入消元法较为简单；当方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时用加减消元法较为简单．考点四一次方程(组)的应用1．列一次方程(组)解应用题的一般步骤(1)弄清题意搞清楚已知条件和所求．(2)设未知数：
(3)找出能够(这是关键步骤一般情况下设几个未知数就找几个等量关系)．(4)列出方程(组)．(5)求出方程(组)的解．(6)检验(看是否符合题意)．(7)写出答案(包括单位名称)．2．应用题中常见的数量关系及题型(1)数字问题(包括日历中的数字规律)若一个三位数个位上的数字为c十位上的数字为b百位a，则这个三位数是＋10b＋c；日历中前后两日相差天上下两日相差天．(2)体积变化问题：变形前后体积相等．(3)打折销售问题利润＝售价－成本；利润率＝(4)行程问题路程＝速度×时间．①相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程追及问题：若甲速度快则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程．若用v表示轮v顺、v逆、v水分别表示轮船顺水、逆水和水流的速度则有如下关系：顺＝＋v水v逆＝－v水＝水＝在轮船航行问题中知道v顺逆水中的任何两个量总能求出其他的量．
(5)储蓄问题利息＝本金×利率×期数；本息和＝＝本金×(1＋利率×期数)．(6)工程问题工作量＝工作效率×工作时间．
考点一一元一次方程的解例1(2016·武汉)解方程：5x＋2＝3(x＋2)．【点拨】按照解一元一次方程的步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程即可．解：去括号得5x＋2＝3x＋6.合并同类项得2x＝4.系数化为1得x＝2.
考点二二元一次方程组的例2(2016·新疆)解方程组：【点拨】本题考查了二元一次方程组的解法此方程组采
解：①＋②得3x＝15.∴x＝5.将x＝5代入①得y＝－1．原方程组的解为方法总结：
1．用代入消元法解方程组用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数时通常选择未知数的系数绝对值为1的方程或常数项为0的方程进行变形．用加减消元法解方程组在各未知数的系数不相等时先确定要
考点三一次方程(组)的应用例3(2016·苏州)某停车场的收费标准如下：中型汽12元/辆小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场共有50辆中、小型汽车这些车共缴纳停车费480元．中、小型汽车各有多少辆？
【点拨】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题．设中型汽车有x辆小型汽车有y辆然后根据共有50辆车共缴纳停车费480元列方程组解答即可．
解：设中型汽车有x辆小型汽车有y辆．根据题意得
答：中型汽车有20辆小型汽车有30辆．方法总结：
1．列方程(组)解应用题的关键是准确地找出题中的相等关系正确列出方程(组)．设未知数可以采用直接设法也可以采用间接设法．一般地设几个未知数就应列出几个方程．要根据应用题的实际意义检验求得的解是否合理不符合题意的解应该舍去．
1．(2016·大连)方程2x＋3＝7的解是()＝5．＝4C．x＝3.5．＝22．(2016·丹东)二元一次方程组的解为()B．
C．D．
3．方程y－＝2－去分母后结果正确的是()－y－1＝2－2(y＋2)－y－1＝12－2(y＋2)－3(y－1)＝12－2(y＋2)－3(y－1)＝2－2(y＋2)
4．已知是二元一次方程组的解则a－b的值为()－1B．15．(2016·哈尔滨)某车间有26名工人每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母个螺栓需要配2个螺母为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套设安排x名工人生产螺栓则下面所列方程正确的是()(26－x)＝800x(13－x)＝800x(26－x)＝2×800x(26－x)＝800x
6．如果方程2x－1－3＝1是关于x的一元一次方程那么k的值是．7．解方程组：解：得4x＋6y＝－10.得9x－6y＝36.＋④得13x＝26＝2.
把x＝2代入得y＝－3.方程组的解为
8．(2016·福州)列方程(组)解应用题：某班去看演出甲种票每张24元乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元甲、乙两种票各买了多少张？
解：设甲种票买了x张则乙种票买了(35－x)张．由题意得24x＋1835－x)＝750解得x＝20.－x＝15.答：甲种票买了20张乙种票买了15张．
一、选择题(每小题3分共36分)1．(2016·海南)若代数式＋2的值为1x等于()B．－1C．3D．－3【解析】＋2＝1则＝－1.故选B．2．(2016·株洲)在解方程＋x＝时方程两边同时乘6去分母后正确的是()－1＋6＝3(3＋1)(x－1)＋6＝3(3＋1)(x－1)＋＝3(3＋1)(x－1)＋＝3(＋1)
【解析】方程两边同时乘6×6＋x×6＝即2(x－1)＋6x＝3(3x＋1)．故选3．若单项式2x＋b与－－b是同a，b的值分别为()＝3＝1＝－3＝1＝3＝－1．＝－3＝－1【解析】由同类项的定义得解得故选A．4．(2016·杭州)已知甲煤场有煤518吨乙煤场有煤吨为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍需要从甲煤场运煤到乙煤场设从甲煤场运煤吨到乙煤场则可列方程为()【导学号90280058】＝2(106＋)B．518－＝2×106－＝2(106＋)D．518＋＝2(106－)
【解析】甲煤场存煤＝乙2，即518－x＝(106＋)．故选5．利用加减消元法解方程组下列做法正确的是()A．要消去y可以将①×5＋②×2要消去x可以将①×3＋②×(－5)要消去y可以将①×5＋②×3要消去x可以将①×(－5)＋②×2
【解析】中由①×5＋②×2得20x＋19y＝－38故错误；中由①×3＋②×(－5)得－19x＋30y＝－60故错误；C中由①×5＋②×3得25x＋16y＝－32故错误；中由①×(－5)＋②×2得－31y＝62消去了x故正确．故选
6．(2016·毕节)已知关于的方程－－2＋4ym＋＋1＝6是二元一次方程则的值为()【导学号90280059】＝1＝－1B．＝－1＝1＝＝－D．＝－＝
【解析】∵方程xn-2＋4yn+1＝6是二元一次方程解得故选
7．已知等腰三角形的两边长分别为a且a满足＋(2a＋3b－13)＝0则此等腰三角形的周长为()【导学号90280060】或8 或10或7．或10【解析】由题意得解得当腰长为2时三角形的三边分别是2能组成三角形则周长为2＋2＋3＝7；当腰长为3时则三边分别是3能组成三角形则周长为3＋＋2＝8故等腰三角形的周长为7或8.故选A．A
8．(2016·温州)已知甲、乙两数的和是7甲数是乙数的倍．设甲数为乙数为根据题意列方程组正确的是()
C．
【解析】根据甲数＋乙数＝7可列方程x＋y＝7；根据甲数＝乙数×2可列方程x＝2y故列出方程组为故选9．如图设他们中有x个成人个儿童．根据图中的对话可得方程组()
A．B．
C．D．
【解析】根据人数共8人可列方程x＋y＝8；根据门票花了元可列方程30x＋15y＝195故列出的方程组为故选10．若关于x的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解则k的值为()【导学号90280061】－．－【解析】＋②得2x＝14k即x＝7k.将x＝7k代入①得7k＋y＝5k即y＝－2k.将x＝7k＝－2k代入2x＋3y＝6得14k－6k＝6解得k＝故选B．11．(2016·常德)某气象台发现：在某段时间里如果早晨下雨那么晚上是晴天；如果晚上下雨那么早晨是晴天已知这段时间有9天下了雨并且有6天晚上是晴天天早晨是晴天则这一段时间有()【导学号90280062】天B．11天C．13天D．22天
【解析】设有x天早晨下雨这一段时间有y天根据题意得解得y＝11所以这一段时间一共有11天．故选12．一副三角尺按如图方式摆放，且∠1比∠2大50若设∠1＝x，∠2＝y，则可得到的方程组为()
A．．C．D．
【解析】根据平角和直角的定义，得方程x＋y＝90；根据∠1比∠2大50°，得方程x＝y＋50.可列方程组为故选D．
【答案】D
二、填空题(每小题4分共24分)13．已知关于x的方程2x＋a－5＝0的解是x＝2则a的值为．【解析】把x＝2代入2x＋a－5＝0得2×2＋a－5＝0解得a＝1.14．已知关于的二元一次方程组的解互为相反数则k的值是－1．【解析】根据题意得x＝－y可得解得
15．(2016·成都)已知是方程组的解则代数式(a＋b)(a－b)的值为．【解析】把代入方程组得解得则(a＋b)(a－b)＝a2－b＝1－9＝－8.－816．(2016·赤峰)甲、乙二人在环形跑道上同时同地出发同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍则甲运动周甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度的倍则甲运动周甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度的4倍则甲周甲、乙第一次相遇以此探究正常走时的时钟时针和分针从0点(12点)同时出发分针旋转周时针和分针第一次相遇．【导学号90280063】
【解析】设分针旋转x周后时针和分针第一次相遇则时针旋转了(x－1)周根据题意可得60x＝720(x－1)解得x＝
17．(2016·绍兴)书店举行购书优惠活动：一次性购书不超过100元不享受打折优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书200元一律打七折．小丽在这次活动中两次购书总共付款229.4元第二次购书原价是第一次购书原价的3倍那么小丽这两次购书原价的总和是元．【导学号90280064】【解析】设第一次购书的原价为x元则第二次购书的原价为3x元依题意得：①当0＜x≤时＋3x＝229.4,解得x＝57.35(舍去)；②当＜x≤时＋＝229.4解得x＝62此时两次购书原价总和为4x＝4×62＝248(元)；
③当＜x≤100时＋＝229.4解得x＝74,此时两次购书原价总和为4x＝4×74＝296(元)．综上可知：小丽这两次购书原价的总和是248或296元．248或29618．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作奠定了
它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二值金十两；牛二、羊五值金八两．问牛、羊各值金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊值金10两；2头牛、5只羊值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两每只羊值金y两可列方程组为.【导学号90280065】【解析】∵5头牛、2只羊值金10两；2头牛、5只羊值金8两可列方程组为
三、解答题(共40分)19．(每小题4分共8分)(1)(2016·贺州)解方程：－＝5.解：去分母得2x－3(30－x)＝60.去括号得2x－90＋3x＝60.移项、并合并同类项得5x＝150.系数化为1得x＝30.(2)解方程组解：方法1：由②得x＝7－3y.③把③代入①得3(7－3y)－2y＝－1解得y＝2.把y2代入③得x＝1.方程组的解是
方法2：由①×3＋②×2得11x＝11解得x＝1.把x＝1代入②得1＋3y＝7解得y＝2.方程组的解是20．(9分)根据图中的信息
解：方法1：设梅花鹿现在的高度为x长颈鹿现在的高度为y根据题意得解得答：梅花鹿现在的高度为1.5长颈鹿现在的高度为
方法2：设梅花鹿现在的高度为x则长颈鹿现在的高度为(x＋4)根据题意得x＋4＝3x＋1.解得x＝1.5.＋4＝5.5.答：梅花鹿现在的高度为1.5长颈鹿现在的高度为21．(10分)(2016·达州)已知x满足方程组求代数式(x－y)－(x＋2y)(x－2y)的值．解：原式＝x－2xy＋y－x＋4y＝－2xy＋5y
①＋②3x＝－3即x＝－1把x＝－1代入①得y＝则原式＝－2×(－1)×＋5×＝＋＝22．(13分)(2016·连云港)某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公众客都来到店中一房七客多七客一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人那么就空出一间房．(1)求该店有客房多少间？房客多少人？
解：设该店有客房x间房客y人根据题意得解得答：该8间房客63人；(2)假设店主李三公将客房进行改造后房间数大大增加．每间客房收费20钱且每间客房最多入住4人一次性定客房18间以上(含18间)房费按8若诗中“众客”再次一起入住他们如何订房更合算？【导学号90280066】解：若每间客房住4人则63名客人至少需客房间需付费20×16＝320(钱)；若一次性定客房18间则需付费20×18×08＝288(钱)钱＜320钱．答：诗中“众客”再次一起入住他们应选择一次性订房18间更合算． |
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