第8讲分式方程
考点一分式方程及其解法1．分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程．2．解分式方程的基本思想把分式方程转化为整式方程即分式方程整式方程．3．解分式方程的步骤(1)去分母(不能忘记乘没有分母的项)转化为整式2)解整式方程；(3)验根．4．验根解分式方程时有可能产生增根因此解分式方程要验根其方法是将根代入最简公分母中使最简公分母为的根是增根应舍去．考点二列分式方程解应用题1．列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的一般步骤基本相同都分为：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、检验、但与整式方程不同的是求得方程的解后要进行两次检验：(1)检验所求的解是否是所列分式方程的解；(2)检验所求的解是否符合实际意义．
2．分式方程的应用题主要涉及工程问题、行程问题等每个问题中涉及三个量如工作总量＝工作效率×工作时间路程＝速度×时间．当工
考点三增根在含参数的分式方程中的应用由增根求参数的值求解思路：(1)将原分式方程化为整式方程；(2)确定增根；(3)将增根代入变形后的整式方程中求出参数的值．
考点一分式方程及其解法例1(2016·徐州)解方程：＋1＝【点拨】本题考查了分式方程的解法在方程两边都乘最简公分母将分式方程转化为整式方程求解．
解：去分母得x－3＋x－2＝－3.移项得2x＝2.系数化为1得x＝1．检验：当x＝1时－2≠0－x≠0.原分式方程的解是x＝1．
方法总结：
解分式方程一定要把整式方程的解代入最简公分母检验．若最简公分母不等于0则是分式方程的解；若最简公分母等于0则不是分式方程的解．考点二关于分式方程无解或存在增根的问题例2(2016·凉山州)若关于x的分式方程＝2＋无m的值为()－5．－8．－2．
【点拨】∵关于x的分式方程无解＋1＝0解x＝－1．化简后的整式方程为3x－2＝2(x＋1)＋m代入原方程得－5＝2(－1＋1)＋m.解得m＝－5.故选【答案】
方法总结：
1．分式方程无解的原因有两个：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程的解使最简公分母为0.分式方程的增根是使最简公分母为0的未知数的值把分式方程化为整式方程后将未知数的值代入即可求得参数的值．考点三分式方程的应用例3(2016·呼和浩特)某一公路的道路维修工程准备从甲、乙两个工程队选一个队单独完成．根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知若由两队合做此项维修工程天可以完成共需工程费用元若单独完成此项维修工程甲队比乙队少用5天每天的工程费用甲队比乙队多4000元从节省资金的角度考虑应该选择哪个工程队？【点拨】本题考查了列分式方程解决工程问题可由“工作时间＝工作总量÷工作效率”列出分式方程．解：设甲队单独完成此项工程需要x天．依据题意可列方程＋＝解得x＝10＝－3(舍去)．经检验：x＝10是原方程的解．设甲队每天的工程费为y元．依据题意可列方程6y＋6(y－4000)＝385200解得y＝34100.甲队单独完成此项工程费用为34100×10＝(元)乙队单独完成此项工程费用为(34100－4000)×(10＋5)＝30100×15＝451500(元)．答：从节省资金的角度考虑应该选择甲工程队．
方法总结：
列分式方程解应用题必须进行“双检验”既要检验去分母化成的整式方程的解是否为分式方程的解又要检验分式方程的解是否符合实际意义．1．(2016·海南)解分式方程＋1＝0正确的结果是()＝0．＝1．＝2．无解2．若分式方程＝有增根则增根为()＝－1．＝1．＝±1．＝0
3．关于x的方程＝的根为x＝2则a应取值()．．－2．－34．(2016·南充)某20km/h，用相同的时间列车提速前行驶400km提速后比提速前多行驶100km设提速前列车的平均速度为x下列方程正确的是()＝＝＝＝5．解方程：＝－1．解：去分母得3(5x－4)＝4x＋10－(3x－6)．去括号得15x－124x＋10－3x＋6.移项、合并同类项得14x＝28＝2.检验：当x＝2时－2＝0－6＝0.原分式方程无解．6．(2016·广东)某工程队修建一条长1200的道路采用新的施工方式工效提升了50结果提前4天完成任务．(1)求这个工程队原计划每天修建道路多少米？(2)在这2天完成任务那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？
解：(1)设这个工程队原计划每天修建道路x米．由题意得＝＋4解得x＝100.经检验＝100是原方程的解．答：这个工程队原计算每天修建道路100米．(2)由(1)可得原计划用＝12(天)．现在要求提前2天完成所以实际工程队每天修建道路＝120(米)所以实际的工效比原计划增加＝20答：实际的工效比原计划增加20
一、选择题(每小题3分共30分)1．若x＝3是分式方程＝0的根则a的值是()－5C．3D．－3
2．解分式方程＋＝3时去分母后变形正确的为()＋(x＋2)＝3(x－1)－x＋2＝3(x－1)－(x＋2)＝3．－(x＋2)＝3(x－1)3．(2016·安徽)方程＝3的解是()＝－＝＝－4D．＝4【解析】去分母得2x＋1＝3x－3,解得x＝4,经检验＝4是分式方所以原方程的解是x＝4.故选
4．(2016·河北)在求3的倒数的值时嘉淇同学将3看成了8她求得的值比正确答案小5.依上述情形所列关系式成立的是()＝－5＝＋5＝8x－5＝8x＋5
【解析】根据8x的倒数＋5＝3x的倒数即＋＝故选
5．分式方程＝的根为()＝2＝－1 ＝－1 ＝2 ．＝2＝1
6．(2016·十堰)用换元法解方程－＝3时设＝y则原方程可化为()－－3＝0B．－－3＝0－＋3＝0D．－＋3＝0
【解析】设＝y原方程可转化为y－＝3,即－－3＝0.故选7．(2016·潍坊)若关于x的方程＋＝3的m的取值范围是()【导学号90280077】＜＜且
C．m＞－＞－m≠－【解析】去分母得x＋m－3m＝3x－9,整理得2x＝－2m＋9,解得x＝－2m＋9＞0解得m＜当x＝3时＝－2m＋9＝6解得m＝的取值范围是m＜且m.故选
8．(2016·凉山州)关于x的方程＝2＋无解则m的值为()【导学号90280078】－5B．－8C．－2D．5
【解析】去分母得3x－2＝2x＋2＋m①由分式方程无解得到x＋1＝0即x＝－1代入方程①得－5＝－2＋＋m,解得m＝－5.故选9．(2016·青岛)A两地相距180新修的高速公路开通后在A两地间行驶的长途客车平均车速提高了50而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为x则根据题意可列方程为()－＝1－＝1C．－＝1－＝1【解析】从A地到B地的时间缩短了1即－＝1.故选10．张三和李四两人加工同一种零件每小时张三比李四多加工5个零件张三加工120个这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等求张三和李四每小时各加工多少个这种零件？若设张三每小时加工这种零件x个则下面列出的方程正确的是()【导学号90280079】＝＝＝＝
【解析】设张三每小时加工这种零件x个则李四每小时加工这种零件(x－5)个由题意得＝故选
二、填空题(每小题4分共24分)11．方程＝的根是＝2．12．分式方程＝－2的解为＝4．13．若分式方程－＝2有增根则这个增根是＝1．
14．(2016·盐城)方程x－＝1的正根为＝2．【解析】去分母得x－2＝x.整理x2－x－2＝0.解得x＝2＝－1.经检验x＝2＝－1都是分式方程的解所以原方程的正根为x＝2.15．已知关于x的分式方程－＝1的解为负数则k的取值范围是＞且k1．【导学号90280080】【解析】解分式方程得x＝1－2k.∵分式方程的解为负数－2k＜0解得k＞又∵x±1，即1－2k±1，解得k0，k≠1.∴k＞且k1.
16．(2016·淄博)某快递公司的分拣工小王和小李在分拣同一类物件时小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同．已知小王每小时比小李多分拣8个物件设小李每小时分拣x个物件根据题意列出的方程是．【解析】小李每小时分拣x个物件则小王每小时分拣(x＋8)个物件根据小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同可列方程＝＝三、解答题(共46分)17．(每小题5分共15分)(1)(2016·乐山)解方程：－3＝
解：去分母得1－3(x－2)＝－(x－1)．即1－3x＋6＝－x＋1.解得x＝3检验当x＝3时－20，
∴x＝3是原方式方程的解．(2)解分式方程：＋＝－1.【导学号90280081】解：去分母得－(x＋2)＋16＝4－x去括号得－x－4x－4＋16＝4－x解得x＝2.检验：当x＝2时－4＝0因此x＝2不是原分式方程的解．原分式方程无解．(3)解分式方程：－＝1.解：去分母得x－2)(x－3)－3(x＋3)＝(x＋3)(x－3)．即x－＋6－3x－9＝x－9.解得x＝检验：当x＝时(x－3)(x＋3)0，∴x＝是原分式方程的解．18．(10分)(2016·娄底)甲、乙两同学的家与学校的距离均为米．甲同学先步行600米然后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲、乙两同学同时从家出发去学校结果甲同学比乙同学早到2分钟．【导学号90280082】
(1)求乙骑自行车的速度；解：设乙骑自行车的速度为x米/分钟则甲步行的速度是米/分钟公交车的速度是2x米/分钟根据题意得＋＝－2
解得x＝300经检验x＝300是分式方程的解．答：乙骑自行车的速度为300米/分钟．
(2)当甲到达学校时乙同学离学校还有多远？解：∵300×2＝600(米)答：当甲到达学校时乙同学离学校还有600米．19．(10分)(2016·襄阳)“汉十”高速铁路襄阳段正在建设中甲、乙两个工30天完成该项工程的这时乙队加入两队还需同时施工15天才能完成该项工程．【导学号90280083】(1)若乙队单独施工需要多少天才能完成该项工程？解：设乙队单独施x天才能完成该项工程甲队单独施工30天完成该项工程的甲队单独施工90天完成该项工程根据题意可得＋15＝1解得x＝30经检验x＝30是分式方程的解．答：乙队单独施工需要30天才能完成该项工程．
(2)若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？解：设乙队参与施工y天才能完成该项工程根据题意得＋y×解得y≥18.答：乙队至少施工18天才能完成该项工程．20．(11分)【导学号90280084】(1)解下列方程：①x＋＝3的根为1和2；＋＝5的根为2和3；③x＋＝7的根为和4；(2)根据这类方程的特征写出第n个方程为＋＝2n＋1其根为和n＋1；
(3)请利用(2)的结论求关于x的方x＋＝＋(n为正整数)的根．
分析：(1)首先去分母即可化成一元二次方程解方程求得x的值然后进行检验即可求得方程的解；(2)根据(1)中的三个方程的特点以及解的关系即可求解；(3)根据(2)的结论把所求的方程化成－3＋＝2n＋1的形式把－3当作一个整体即可求解．
解：(1)①去分母得x2＝3x即x－3x＋2＝0.因式分解得(x－1)(x－2)＝0.解得x＝1＝2.检验：当x＝1x2＝2时＝1＝2是原分式方程的解．
②去分母得x＋6＝5x即x－5x＋6＝0.因式分解得(x－2)(x－3)＝0.解得x＝2＝3.检验：当x＝2＝3时＝2＝3是原分式方程的解．
③去分母得x＋12＝7x即x2－7x＋12＝0.因式分解得(x－3)(x－4)＝0.解得x＝3＝4.检验：当x＝3＝4时0，∴x1＝3＝4是原分式方程的解．(2)第n个方程为x＋＝2n＋1.去分母得x＋n(n＋1)＝(2n＋1)x即x－(2n＋1)x＋n(n＋1)＝0.因式分解得(x－n)[x－(n＋1)]＝0.解得x＝n＝n＋1.检验：当x＝n＝n＋1时＝n＝n＋1是原分式方程的解．(3)将原方程变形为x－3＋＝2n＋1由(2)得x－3＝n或x－3＝n＋1解得x＝n＋3＝n＋4.检验：当x＝n＋3＝n＋4时－30，
∴x1＝n＋3＝n＋4是原分式方程的解．
点评：本题考查了分式方程的解法注意方程的式子的特点以及对应的方程的解之间的关系是解决本题的关键． |
|
