第12讲一次函数考点一一次函数的定义一般地如果y＝kx＋b(k是常数)，那么y叫做x的一次函数．特别地当b＝时一次函数y＝kx＋b就成为＝kx(k是常数)，这时叫做x的正比例函数．
温馨提示：
正比例函数是一次函数但一次函数y＝＋(k，b是常数)不一定是正比例函数只有当b＝0时它才是正比例函数．
考点二一次函数的图象1．一次函数y＝kx＋b(k是常数)的图象是一条过(0)，的直线．2．正比例函数y＝kx(k是常数)的图象是一条过(0)的直线．3．一次函数y＝kx＋b(k是常数k≠0)的图象与k符号的关系
k，b的符号 图象 图象的位置 ＞0 ＞0 经过第一、二、三象限 b＝0 经过第一、三象限和原点 b＜0 经过第一、三、四象限
k，b的符号 图象 图象的位置 ＜0 ＞0 经过一、二、四象限 b＝0 经过第二、四象限和原点 b＜0 经过第二、三、四象限温馨提示：
直线y＝kx＋b的性质与位置由k和b的符号决定(1)k决定直线从左至右呈上升趋势还是呈下降趋势：当k＞0时直线呈上升趋势；当k＜0时直线呈下降趋势．(2)b决定直线与y轴的交点的位置：当＞0时交点在y轴的正半轴上；当b＝0时交点在原点；当b＜0时交点在y轴的负半轴上．
4．一次函数图象的平移一次函数y＝kx＋b(k是常数)的图象是一条直线它可以看作由直线y＝kx平移|b|个单位长度而得到(当b>0时向上平移；当b<0时向下平移)．
考点三一次函数的性质一次函数y＝kx＋b当k＞0时随x的增大而增大图象一定经过第一、三象限；当k＜0时随x的增大而减小图象一定经过第二、四象限．
考点四用待定系数法求一次函数的解析式用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤(1)设出含有待定系数的函数解析式＝kx＋b；(2)把两个已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式得到关于系数k的二元一次方程组；(3)解二元一次方程组求出待定系数k的值；(4)将求得的待定＝kx＋b．
考点五用函数观点看方程与不等式1．一次函数与一元一次方程：求自变量x为何值时一次函数y＝kx＋b的值为0解方程＋b＝0．2．一次函数与一元一次不等式(1)解不等式kx＋b＞0求自变量x在什么范围内一次函数y＝kx＋b的值大于0；(2)解不等式kx＋b＜0求自变量x在什么范围内一次函数y＝kx＋b的值小于0.
3．一般地每个二元一次方程都对应一个一从“数”的角度看解方程相当于考虑自变量为何值时对应的函数值为0；从“形”的角度看解方程相当于确定直线与x轴交点的坐标．函数值y＞0时对应函数的图象在x轴上方；＜0时对应函数的图象在x轴下方．
考点六一次函数的应用1．用一次函数解决实际问题(1)设定实际问题中的变量；(2)建立一次函数关系式；(3)确定自变量的取值范围；(4)利用函数的性质解决问题；(5)答．
2．一次函数的应用有如下常用题型(1)根据实际问题中给出的数据列相应的函数解析式解决实际问题；(2)利用一次函数对实际问题中的方案进行比较；(3)结合实际问题的函数图象解决实际问题．
温馨提示：
运用一次函数的有关知识解决实际问题的关键是结合方程、不等式的有关知识求解；在确定一次函数的解析式时要注意自变量的取值范围应受实际条件的限制．
考点一一次函数的图象和性质例1(2016·呼和浩特)已知一次函数y＝kx＋b－x的图象与x轴的正半轴相交且函数值y随自变量x的增大而增大则k的取值情况为()＞1＜0．＞1＞0＞0＞0．＞0＜0
【点拨】对于一次函数y＝kx＋b－x＝(k－1)x＋b函数值y随x的增大而增大－1＞0＞1．又∵一次函数y＝kx＋b－x的图象与x轴正半轴相交＜0.故选【答案】
方法总结：
一次函数y＝kx＋b中随x的增减性取决于k的符号．当k＞0时随x的增大而增大；当k＜0时随x的增大而减小．
考点二用待定系数法求一次函数的解析式例2(2016·新疆)暑假期间小刚一家乘车去离家的某景区旅游他们离家的距离ykm)与汽车行驶时间x()之间的函数图象如图所示．
(1)从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？(2)求线段AB对应的函数解析式．(3)小刚一家出发2.5小时时离目的地多远？【点拨】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式和一次函数的应用．解：(1)4
(2)设线段AB对应的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)由图象知点A(1)，B(3，320)，
可得解得线段AB对应的函数解析式为y＝120x－40(1≤x≤3)．(3)y＝120×2.5－40＝260－260＝120()．答：小刚一家出发2.5小时时离目的地120千米远．
方法总结：
确定一次函数解析式常用的方法是待定系数法．具体步骤：首先设出一次
考点三一次函数图象的平移例3把直线y＝－x－1沿x轴向右平移2个单位所得直线的函数．【点拨】由“左加右减”的原则可知函数y＝－x－1的图象沿x轴向右平移2个单位所得直线的解析式为y＝－(x－2)－1即y＝－x＋1．【答案】y＝－x＋1
方法总结：
一次函数y＝kx＋bm(m＞0)个单位得到y＝kx＋b±m；一次函数y＝kx＋b向左、向右平移n(n＞0)个单位得到y＝k(x±n)＋b.
考点四一次函数与方程、不等式的关系例4(2016·百色)直线y＝kx＋3经过点A(2)，则不等式kx＋3≥0的解集是()－3．【点拨】∵y＝kx＋3经过点A(2),∴1＝2k＋3,解得k＝－1,一次函数解析式为y＝－x＋3－x＋3≥0解得x≤3.故选【答案】
方法总结：
从函数值的角度看解一元一次不等式kx＋b>0(或<0)就是求使一次函数y＝kx＋b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看就是确定直线y＝kx＋b在x轴上(或下)方部分所有点的横坐标所构成的集合．
考点五一例5(2016·山西)我省某苹果基地销售优质苹果该基地对需要送货且购买量在2000～(含2000kg和5000kg)的客户有两种销售方案(
方案：每千克5.8元由基地免费送货.方案B：每千克5元客户需支付运费2000元.(1)请分别写出按方案、方案B购买这种苹果的应付款y(元)与购买量x()之间的函数表达式；(2)求购买量x在什么范围时选用方案比方案B付款少；
(3)某水果批发商计划用20000元选用这两种方案中的一种购买尽可能多的这种苹果请直接写出他应选择哪种方案．【点拨】本题考查了利用一次函数解决方(1)分别用代数式表示两种方案应付款然后写成表达式的形式；(2)由题意列出不等式解之即可；(3)将y＝20000分别代入、B两种方案下的表达式解得购买量x的值即可比较出结果．
解：(1)方案：函数表达式为y＝5.8x.方案：函数表达式为y＝5x＋2000.(2)由题意得5.8x＜5x＋2000.解不等式得x＜2500.答：当购买量2000≤x＜2500时选用方案比方案B付款少．
(3)将y＝20000代y＝5.8x得x≈3448.8；将y＝20000代入y＝5x＋2000得x＝3600.选用方案B可以购买的苹果更多．答：他应选用方案
方法总结：
一次函数的应用题主要有(1)利用一次函数的性质如增减性等来解决生活中的优化问题；(2)利用一次函数的图象寻求实际问题的变化规律解题；(3)利用两个一次函数的图象选择方案解决问题；(4)与方程或不等式(组)相结合解决实际问题．
1．(2016·陕西)设点A(a)是正比例函数y＝－图象上的任意一点则下列等式一定成立的是()＋3b＝0B．－3b＝0－2b＝0．＋2b＝0
2．对于函数y＝－2x＋1下列结论正确的是()的值随x值的增大而增大它的图象经过第一、二、三象限它的图象必经过点(－1)
D．当x＞1时＜0
3．(2016·河北)若k≠0＜0则y＝kx＋b的图象可能是()
4．已知直线l：y3x＋b与直线l：y＝－kx－1在同一坐标系中的图象交于点(1－2)那么方程组的解是()B．
C．D．
【解析】∵直线l：y＝－3x＋b与直线l：y＝－kx－1在同一坐标系中的图象交于点(1－2)方程组的解为故选
5．将直线y＝向左平移个单位后得到y＝＋3.6．已知点P(a)在直线y＝－1上点Q(－a)在直线y＝x＋1上则代数式a－4b－1＝．
7．(2016·上海)某物流公司引进、B两种机器人用来搬运某种货物这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时种机器人于某日0时开始搬运过了1小时种机器人也开始搬运如图线段表示A种机器人的搬运量y(千克)与时间(时)的函数图象；线段表示B种机器人的搬运量(千克)与时间(时)的函数图象．根据图象提供的信息解答下列问题：
(1)求关于的函数解析式2)如果A、B两种机器人连续搬运5个小时那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？
解：(1)设y关于x的函数解析式为y＝k＋b(k)，
由线段EF过点E(1)和点P(3)，
得解得关于x的函数解析式为y＝90x－90(1≤x≤6)．
(2)设y关于x的函数解析式为y＝k(k2≠0)，
由题意得180＝3k解得k＝60＝60x.当x＝5时＝60×5＝300(千克)．当x＝6时＝90×6－90＝450(千克)．－300＝150(千克)．答：如果、B两种机器人各连续搬运5小时那么种机器人比种机器人多搬运了150千克．
一、选择题(每小题3分共36分)1．(2016·丽水)在直角坐标系中点M在同一个正比例()(2，－3)(－4)B．(－2)，N(4，6)
C．M(－2－3)(4，－6)D．(2，3)，N(－4)
【解析】设正比例函数的解析式为y＝kxM(2，－3)代入得－3＝2k解得k＝－则y＝－当x＝－4时＝－4×＝6点N(－4)在正比例函数y＝－的图象上．故选
2．若点A(－2)在正比例函数y＝－的图象上则m的值是()B．－－13．(2016·广州)若一次函数＝＋的图象经过第一、二、四象限则下列不等式中总是成立的是()＞0B．－＞0C．＋＞0D．＋＞0【解析】∵一次函数y＝ax＋ba＜0＞0＜0故选项错误；a－b＜0故选项错误；a＋b＞0故选项正确；a＋b不一定大于0故选项错误．故选4．若式子＋(k－1)有意义则一次函数y＝(k－1)＋1－k的图象可能是()【导学号90280125】
5．设正比例函数y＝mx的图象经过点(m，4)，且y的值随x值的增大而减小则m＝(B)－2．．－46．如图过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B则这个一次函数的解析式是()＝2x＋3＝x－3＝2x－3．＝－x＋3
【解析】把x＝1代入y＝2x得y＝2即点B的坐标为(1)．设一次函数的解析式为y＝kx＋b把(1)和(0)代入可得解得一次函数的解析式为y＝－x＋3.故选
7．(2016·无锡)一次函数＝－与＝－1的图象之间的距离等于3则的值为()－2或4B．2或－4或－6D．－4或68．如图一次函数y＝x＋b与一次函数y＝kx＋4的图象交于点P(1)，则关于x的不等式x＋＞＋4的解集是()【导学号90280126】
A．x＞－2＞0．＞1．＜1
【解析】不等式x＋b＞kx＋4的解集是一次函数y＝x＋b的图象在一次函数y2＝kx＋4的图象的上方时对应的x的范围故x＞1.故选C
9．在平面直角坐标系中过点(－2)的直线l经过第一、二、三象限．若点(0)，(－1)，(c，－1)都在直线l上则下列判断正确的是()＜bB．＜3．b＜3．＜－2
【解析】∵直线l经过第一、二、三象限随x的增大而增大．∵(－2)，(0，a)和(－1)都在直线l上且＞－1＞－2＞＞3故错误．∵(－2)和(c－1)都在直线l上－1＜3＜－2.故选10．(2016·苏州)矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示点的坐标为(3)，D是的中点点在上当△的周长最小时点的坐标为()【导学号90280127】(3，1)B．D．(3，2)
【解析】如图作点D关于直线AB的对称点H连接CH与AB的交点为E此时△CDE的周.
∵D，A(3，0),∴H，∴直线CH的解析式为y＝－＋4＝3时＝点E的坐标为故选
11．如图，直线l：y＝－－3与直线y＝a(a为常数)的交点在第四象限则a可能在()【导学号90280128】＜a＜2－2＜a＜0－3≤a≤－2．－10＜a＜－4
【解析】∵直线l：y＝－－3与y轴的交点坐标为(0－3)要使y＝a与l的交点在第四象限直线＝应位于点(0－3)下方即a的取值应小于－3.可能在－10＜a＜－4内．故选12．在20km的越野赛中甲、乙两选手的行程y(单位：)随时间x(单位：)变化的图象如图所示根据图中提供的信息
有下列说法：①两人相遇前甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时两人行程均为；出发后1.5小时甲的行程比乙多3；甲比乙先到达终点．其中正确的有()【导学号90280129】个个．个．个【解析】①相遇前有两段前半小时乙的速度大于甲的速度第0.5～1小时乙的速度小于甲的速度因此①不正确；②出发后小时两人的路程均为10km，正1.5小时乙的路程为8＋1×4＝(km)，甲的路程为10×1.5＝15()，∴出发后小时甲的行程比乙多3正确；甲第2小时到达终点乙在2小时后到达正确．故选
二、填空题(每小题4分共24分)13．已知函数y＝2x＋3＋a＋2b是正比例函数则a＝－1＝．
14．(2016·永州)已知一次函数＝＋2＋3的图象与轴的交点在轴的正半轴上且函数值随的增大而减小则所有可能取得的整数值为－1．【解析】由已知得解得－＜k＜0.为整数＝－1.
15．(2016·巴中)已知二元一次方程组的解为则在同一平面直角坐标系中直线l：＝x＋5与直线l：y＝－－1的交点坐标为．【导学号90280130】
【解析】直线l：y＝x＋5与直线l：y＝－－1的交点坐标就是二元一次方程组的解．交点坐标为(－4)．(－4)
16．已知直线y＝2x＋(3－a)与x轴的交点在A(2)，B(3，0)之间(包括A两点)则a的取值范围是．
【解析】直线y＝2x＋(3－a)与x轴的交点为交点在A(2)，B(3，0)之间(包括A两点)≤3，解得7≤a≤9.7≤a≤9
17．(2016·德州)如图在平面直角坐标系中函数＝2和＝－的图象分别为直线过点(1)作轴的垂线交于点过点作轴的垂线交于点过点作轴的垂线交于点A过点作轴的垂线交于点依次进行下去则点的坐标为．【导学号90280131】
【解析】观察发现规律：(1，2)，A2(－2)，A3(－2－4)(4，－4)(4，8)，…，
∴A2n＋1((－2)(－2))(n为自然数)．∵2017＝1008×2＋1的坐标为((－2)(－2))＝(2(21008，21009)
18．如图点A的坐标分别为(0)，(3，4)，点P为x轴上的一个点若点B关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上则点P的坐标为．【导学号90280132】
【解析】设点B′(m)，则有AB′＝AB即2m2＝＋解得m＝－3(m＝3舍去)即B′(－3)．设点P(n)，则有PB′＝PB即(－3－n)＝(3－n)＋(0－4)解得n＝即P
三、解答题(共40分)19．(8分)在直角坐标系中一条直线经过A(－1)，P(－2)，B(3，－3)三点．(1)求a的值；
解：设这条直线的解析式为y＝kx＋b把A(－1)，B(3，－3)代入得解得这条直线的解析式为y＝－2x＋3.把P(－2)代入y＝－2x＋3得a＝7.
(2)设这条直线与y轴相交于点D求△OPD的面积．解：由(1)得点P的坐标为(－2)，
令x＝0则y＝－2×0＋3＝3这条直线与y轴的交点坐标为(0)．的面积为＝3.20．(10分)(2016·宜昌)如图直线＝＋与两坐标轴分别交于两点．【导学号90280133】(1)求∠的度数；
解：对于直线y＝＋令x＝0则y＝；令＝则x＝－1故点A的坐标为(0)，点B的坐标为(－1)，则AO＝＝1.在中＝＝＝60
(2)过的直线交轴半轴于＝求直线的函数解析式．解：在△ABC中＝AC为BC的中垂线即BO＝CO则C点的坐标为(1)．
设直线l的解析式为y＝kx＋b(k为常数)则解得即直线l的函数解析式为y＝－＋21．(10分)新农村社区改造中有一部分楼盘要对外销售某楼盘共23层销售价格如下：第八层楼房售价为元/从第八层起每上升一层每平方米的售价提高50元；反之楼层每下降一层每平方米的售价降低30元已知该楼盘每套楼房面积均为120若购买者一次性付清所有房款开发商有两种优惠方案：方案一：降价另外每套楼房赠送元装修基金；方案二：降价10%没有其他赠送．【导学号90280134】(1)请写出售价y(元/)与楼层x(1≤x≤23取整数)之间的函数关系式；分析：根据楼层的范围与售价的关系列出函数关系式；解：当8≤x≤23取整数时＝4000＋50(x－8)＝50x＋3600；当1≤x＜8取整数时＝4000－30(8－x)＝30x＋3760.＝(2)老王要购买第十六层的一套楼房若他一次性付清购房款请帮他计算哪种优惠方案更加合算．分析：根据开发商给出的方案列出关于a的代数式然后先求出两种方案相等时a的值再根据a的取值不同得出更合算的方解：当x＝16时＝3600＋50×16＝4400总价＝4400×120＝528000(元)．方案一：528000×(1－8)－a；方案二：528000×(1－10)．令528000×(1－8)－a＝528000×(1－10)，
解得a＝10560.当a＜10560时选择方案二更加合算；当a＝10560时两种方案均可；当a＞10560时选择方案一更加合算．
22．(12分)(2016·绍兴)如图在矩形ABCO中点O为坐标原点点B的坐标为(4)，点A在坐标轴上点P在BC边上直线l：y＝2x＋3直线l：y＝2x－3.【导学号90280135】
(1)分别求直线l与x轴直线l与AB的交点坐标；解：直线l：当y＝0时＝－则直线l与x轴的交点坐标为；直线l：当y＝3时＝3则直线l与AB的交点坐标为(3)．(2)已知点M在第一象限且是直线l上的点若△APM是等腰直角三角形求点M的坐标；解：①若点A为直角顶点点M在第一象限连接AC,如图1＞∠ACB＞45不可能是等腰直角三角形点M不存在；②若点P为直角顶点点M在第一象限如图2,过点M作MN⊥CB交CB的延长线于点N则＝PN＝4＝BP设M(x－3)则MN＝x－4－3＝4＋3－(x－4)＝；③若点M为直角顶点时点M在第一象限如图3
设M(x，2x－3)过点M作M交BC于点H则＝M＝3－(2x－3)＋3－(2x－3)＝4＝22，1)；设M(x，2x－3)同理可得x＋2x－3－3＝4＝；
综上所述点M的坐标为(2，1)，；
(3)我们把直线l和直线l上的点所组成的图形称为图形F.已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上是坐标平面内的点且N点的横坐标为x请直接写出x的取值范围(不用说明理由)．解：x的取值范围为－＜0或0＜x≤或或 |
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