第13讲反比例函数
考点一反比例函数的定义一般地函数y＝(或写成y＝－1)(k是常数)叫做反比例函数．反比例函数的解析式还可以写成xy＝k(k≠0)它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积总等于已知常数k.
考点二反比例函数的图象和性质1．反比例函数y＝(k是常数)的图象是双曲线．因为x≠0y值也不能为0所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴但永不与x轴、轴相交．
2．反比例函数的图象和性质反比例函数y＝(k是常数)的图象总是关于原点对称的它的位置和性质受k的符号的影响．
y＝(k是常数) k>0 k<0 图象
所在象限 一、三(x同号)二、四(x异号) 性质 在每个象限内随x的增大而减小 在每个象限内随x的增大而增大 函数值的大小比较 当x或0
温馨提示：
反比例函数的图象是双曲线它既是轴对称图形又是中心对称其对称轴是直线y＝x和直线y＝－x对称中心是原点．
考点三反比例函数解析式的确定1．由于反比例函数的解析式中只有一个待定系数k因此只需已知一组对应值就可以求出k.2．待定系数法求解析式的步骤(1)设出含有待定系数的函数解析式；(2)把已知条件代入解析式得到关于待定系数的方程；(3)解方程求出待定系数的值从而确定解析式．
考点四反比例函数的比例系数k的几何意义1．反比例函数y＝(k≠0)中k的几何意义：由双曲线＝(k≠0)上任意一点向两坐标轴作垂线两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为．
如图1和图2矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝同理可得S＝S＝＝
2．计算与双曲线上的点有关的图形面积
S△AOP＝＝＝2|k|.(注：P′是P关
考点五反比例函数的应用解决与反比例函数有关的实际问题时一般要先确定函数解析式再利用图象找出解决问题的方案要特别注意自变量的取值范围．
考点一反比例函数的图象和性质例1关于反比例函数y＝－下列说法正确的是()图象过(1)点图象在第一、三象限当x＞0时随x的增大而减小当x＜0时随x的增大而增大
【点拨】∵k＝－2＜0函数图象位于第二、四象限在每个象限内y随x的增大而增大图象是轴对称图形错误正确．故选D．【答案】
方法总结：
对于反比例函数y＝(k是常数)，k的符号、图象所在的象限、函数的增减性这三者知其一则知其二即k＞0图象在第一、三象限在每个象限内y随x的增大而减小；k＜0图象在第二、四象限在每个象限内y随x的增大而增大．
考点二用待定系数法求反比例函数的解析式例2(2016·吉林)如图在平面直角坐标系中反比例函数y＝(x＞0)的图象上有一点A(m)，过点A作AB⊥x轴于点B将点B向右平移2个单位长度得到点C过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D＝
(1)点D的(用含m的式子表示)；(2)求反比例函数的解析式．【点拨】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标及用待定系数法求反比例函数的解析式．
解：(1)∵A(m)，AB⊥x轴于点B的坐标为(m)．将点B向右平移2个单位长度得到点C点C的坐标为(m＋2)．轴点D的横坐标为m＋2.
(2)由(1)得点D的坐标为在反比例函数y＝(x＞0)的图象上解得反比例函数的解析式为y＝
方法总结：
用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：(1)设出解析式y＝(k≠0)；(2)把已知的一对x的值代入解析式得到关于待定系数的方程；(3)解这个方程求出待定系数的值；(4)将所求得的待定系数的值代回所设的解析式．
考点三反比例函数的比例系数k的几何意义例3(2016·河南)如图过反比例函数y＝(x＞0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B连接AO若S＝2则k的值为()C．4D．5
【点拨】设点A的坐标为(m)，∵点A在反比例函数＝(k＞0)的图象上＝即mn＝k.又根据三角形的面积公式得S＝＝＝2k＝解得k＝4.故选【答案】
方法总结：
一般地过反比例函数y＝(k≠0)图象上一点P(x)分别作x轴和y轴的垂线段垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积都相等均为|k|.
考点四反比例函数的应用例4某药品研究所开发一种抗菌新药经多年动物实验首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x小时之间的函数关系如图所示(当4≤x≤10时与x成反比)．
(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；(2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？【点拨】本题
解：(1)由图象可知当0≤x≤4时与x成正比例关系设y＝kx.当x＝4时＝8＝8解得k＝2.＝2x
又由题意可知当4≤x≤10时与x成反比例关系设y＝(m>0)．∵当x＝4时＝8＝4×8＝32.＝即血液中药物浓度上升时与x的函数关系式为＝2x；血液中药物浓度下降时与x的函数关系式为y＝
(2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升即y≥4.解得x≥2且x≤8.血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为小时．
方法总结：
解决实际问题的一般步骤：(1)审题：弄清问题中的常量与变量探究出问题中的等量关系；(2)确定问题中的两个变量列出它们之间的反比例函数解析式；(3)代入数值解决问题．
1．若反比例函数的图象经过点(－2)，则该()(2，－3)．(－2－3)(2，3)．(－1－6)
2．(2016·宜昌)函数y＝的图象可能是()
3．已知A(x)，B(x2，y2)是反比例函数y＝的图象上的两点若x＜0＜x则对应的函数值y的关系是()＜y＜0．＜0＜y＜y＜y＜0＜y
4．(2016·兰州)双曲线y＝在每个象限内函数值y随x的增大而增大则m的取值范围是＜1．
5．(2016·潍坊)已知反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点(3－1)则当1＜y＜3时自变量x的取值范围是．
【解析】由反比例函数的图象经过点(3－1)可得－1＝＝－3所以反比例函数的解析式为y＝－则当1＜y＜3时函数的图象位于第二象限令y＝1得x＝－3；令y＝3得x＝－1在第二象限内随x的增大而增大故当1＜y＜3时自变量x的取值范围为－3＜x＜－1．－3＜x＜－1
6．如图双曲线y＝与y＝在第一象限内的图象依次是m和n设点P在图象m上垂直x轴于点C交图象n于点A垂直y轴于点D交图象n于点B则PAOB的面积为．
7．如图学校打算用材料围建一个面积为18平方米的矩形ABCD的生物园用来饲养小兔其中矩形ABCD的一边AB靠墙墙长为8米设AD的长为y米的长为米．
(1)求y与x之间的函数解析式；解：根据题意得xy＝18则y＝(0＜x≤8)．
(2)若围成矩形ABCD的生物园的三边材料总长不超过18米材料AD和CD的长都是整米数求出满足条件的所有围建方案．由y＝且x都是正整数则x可取1但x≤8＋2y≤18.符合条件的有：x＝3＝6；x＝6＝3.满足条件的所有围建方案为AD＝6米＝3米或AD＝3米＝6米．
一、选择题(每小题4分共40分)1．若反比例函数y＝的图象经过点(2－1)则该反比例函数的图象在()第一、二象限第一、三象限第二、三象限．第二、四象限
2．已知甲、乙两地相距20千米汽车从甲地匀速行驶到乙地则汽车行驶时间t(单位：小时)关于行驶速度v(单位：千米/时)的函数关系式是()＝20v＝．＝D．＝3．(2016·菏泽)如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形＝∠ADB＝90反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B则△OAC与△BAD的面积之差S－S为()【导学号90280136】
【解析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a则点B的坐标为(a＋b－b)．∵点B在反比例函y＝的第一象限图象上(a＋b)×(a－b)＝a－b＝6.－S＝－＝(a－b)＝＝3.故选4．已知函数y＝的图象如图所示，下列结论：①m＜0；在每一个分支上y随x的增大而增大；若点A(－1)、点B(2)在图象上则a＜b；④若点(x，y)在图象上则点P(－x－y)也在图象上．其中正确的个数是()个个．个．个
5．(2016·天津)若点(－5)，B(－3)，C(2，y3)在反比例函数＝的图象上则的大小关系是()【导学号90280137】＜＜＜＜＜＜＜＜
【解析】∵A点在第三象限点在第一象限一定最大．又∵每一分支上y随x的增大而减小＞y＜＜y故选6．(2016·兰州)如图，A，B两点在反比例函数y＝的图象上两点在反比例函数y＝的图象上轴于点ED⊥x轴于点F＝2＝3＝则k－k＝()【导学号90280138】C．D．6
【解析】设A，则C，由题意n－m＝＝2＝3解得－k＝4.故选7．(2016·十堰)如图，将边长为10的正OAB放置于平面直角坐标系xOy中是AB边上的动点(不与端点A重合)作CD⊥OB于点D若点C都在双曲线y＝上(k＞0＞0)则k值为()【导学号90280139】B．18C．9D．9
【解析】如图，过点A作AE⊥OB于点E.为边长为10的正三角形点A的坐标为(10)、点B的坐标为(5)，点E的坐标为AE，∴＝设＝＝n(0＜n＜1),点D的坐标为点C的坐标为(5＋5n－5)．∵点C均在反比例函数y＝图象上＝＝(5＋5n)(5－5)，解得k＝.故选8．如图是双曲线y＝上的两点过A点作AC⊥轴交OB于点D垂足为C．若△ADO的面积为1为的中点则k的值为()【导学号90280140】．．【解析】如图过点B作BE⊥x轴于点E，∵D为OB的中点是△OBE的中位线即CD＝设A则B，CD＝＝－ADO的面积为1，∴AD·OC＝1，·x＝1，解得k＝.故选B．
【答案】B
9．(2016·临沂)如图直线y＝－x＋y＝(x＞0)相交于A两点与x轴相交于C点的面积是若将直线y＝－x＋5向下平移1个单位则所得直线与双曲线y＝(x＞0)的交点有()
【导学号90280141】个B．1个个D．0个或1个或2个【解析】设直线y＝－x＋5与y轴的交点为点D过点O作直线AC于点E过点B作轴于点F如图所示．
令直线y＝－x＋5中x＝0则y＝5即OD＝5；令直线y＝－x＋5中y＝0则x＝5即OC＝5.在中D＝90＝OC＝5＝45轴＝45与△BFC都是等腰直角三角形又∵OC＝5＝＝＝BC＝＝＝FC＝＝1＝OC－FC＝5－1＝4＝1点B的坐标为(4)，
∴k＝4×1＝4即双曲线解析式为y＝将直线y＝－x＋5向下平移1个单位得到的直线的解析式为y＝－x＋5－1＝－x＋4将y＝－x＋4代入到y＝中得－x＋4＝整理得x－4x＋4＝0＝(－4)－4×4＝0y＝只有一个交点．故选10．(2016·淄博)反比例函数y＝(a＞0为常数)和＝在第一象限内的图象如图所示点M在y＝的图象上轴于点C交y＝的图象于点A；MD⊥y轴于点D交y＝的图象于点B．当点M在y＝的图象上运动时以下结论：
①S△ODB＝S；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时则点B是MD的中点．其中正确结论的个数是()【导学号90280142】B．1C．2D．3
【解析】①由于A在同一反比例函数y＝图象上则△ODB与△OCA的面积相等都为＝1正确；由于矩形OCMD、三角形ODB、三角形OCA为定值则四边形MAOB的面积不会发生变化正确；③如图连接OM当点A是MC的中点时则△OAM和△OAC的面积相等的面积＝△OCM的面积＝与△OCA的面积相等与△OAM的面积相等和△OBM的面积相等点B一定是MD的中点．正确．故选
二、填空题(每小题5分共25分)11．(2016·呼和浩特)已知函数y＝－当自变量的取值为－1＜x＜0或x≥2函数值y的取值是．【解析】当x＝－1时＝－＝1x＝2时＝－作函数y＝－的图象如图所示．由图象得当－1＜x＜0时＞1；当x≥2时－＜0故答案为y＞1或－＜0.y＞1或－＜012．(2016·陕西)已知一次函数y＝2x＋4的图象分别交x轴、y轴于A两点若这个一次函数的图象与一个反比例函数的图象在第一象限交于点C且AB＝2BC则这个反比例函数的表达式为．【导学号90280143】【解析】∵一次函数y＝2x＋4的图象分别交x轴、y轴于A两点(－2)，B(0，4)．如图过C作CD⊥x轴于D＝＝＝＝6＝3＝1(1，6)．
设反比例函数的解析式为y＝将C点坐标代入y＝得k＝6反比例函数的解析式为y＝y＝13．(2016·内江)如图点A在双y＝上点B在双曲线y＝上且AB∥轴则△OAB的面积为．
【解析】设点A的坐标为B∥x轴点B的纵坐标为将y＝代入y＝得x＝＝－a＝＝·＝
14．如图在平面直角坐标系xOy中四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形点F在x轴的正半轴上点C在边DE上反比例函数＝(k≠0＞0)的图象过点B若AB＝2则k的值为．【导学号90280144】
【解析】设E(x)，∴B(2，x＋2)反比例函数y＝(k≠0)的图象过点B＝2(x＋2)解得＝＋＝－(舍去)．＝x＝6＋26＋2
15．(2016·荆门)如图已知点A(1)是反比例函数y＝图象上的一点连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B点P是x轴上一动点若△PAB是等腰三角形则点P的坐标是．【导学号90280145】【解析】∵反比例函数y＝的图象关于原点对称两点关于O对称为AB的中点且B(－1－2)当△PAB为等腰三角形时有PA＝AB或PB＝AB,设P点坐标为(x),∵A(1，2)，B(－1－2)＝[1－(－1)]＋[2－(－2)]＝20＝(x－1)＋4＝(x＋1)＋4.当PA＝AB时则有(x－1)＋4＝20解得x＝－3或5此时P点坐标为(－3)或(5)；当PB＝AB时则有(x＋1)＋4＝20解得x＝3或－5此时P点坐标为(3)或(－5)．综上可知P点的坐标为(－3)或(5)或(3)或(－5)．(－3)或(5)或(3)或(－5)
三、解答题(共35分)16．(10分)(2016·盐城)我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15～20℃的新品种如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后
大棚里温度(℃)随时间(h)变化的函数图象其中段是恒温阶段段是双曲线＝的一部分请根据图中信息解答下列问题：(1)求k的值；解：把B(12)代入y＝中得k＝12×＝
(2)恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及以上的时间有多少小时？解：设AD的解析式为y＝mx＋n把(0)，(2，20)代入y＝mx＋n中得解得
∴AD的解析式为y＝5x＋10.在AD段当y＝15时＝1；在BC段当y＝15时＝＝16－1＝15(时)．答：恒温系统在一天内保持大棚里温度在15及以上的时间有15小时．17．(12分)(2016·自贡)如图已知A(－4)，B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝的图象的两个交点．【导学号90280146】
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；解：∵B(2－4)在y＝上＝－8.反比例函数的解析式为y＝－点A(－4)在y＝－上＝2(－4)．
∵y＝kx＋b经过A(－4)，B(2，－4)解得
∴一次函数的解析式为y＝－x－2.
(2)观察图象直接写出方程kx＋b－＝0的解；解：∵A(－4)，B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点方程kx＋b－＝0的解是x＝－4＝2.
(3)求△AOB的面积；解：∵对于一次函数y＝－x－2当y＝0时＝－2点C(－2)，∴OC＝2.＝S＋S＝＋＝6.
(4)观察图象直接写出不等式kx＋b－＜0的解集．解：不等式kx＋b－＜0的解集为－4＜x＜0或＞2.18．(13分)(2016·咸宁)如图，在平面直角坐标系中直线y＝2x与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点A(m)，将直线y＝2x向下平移后与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点P且△POA的面积为2.【导学号90280147】
(1)求k的值；解：∵点A(m)在直线y＝2x上＝2m＝1点A(1)．点A(1)在反比例函数y＝上＝2.(2)求平移后的直线的函数解析式．解：如图设平移后的直线与y轴相交于B过点P作PM⊥OA轴．
由(1)知(1，2),∴OA＝＝＝＝＝＝×PM＝2＝四边形BPMN是平行四边形＝PM＝
∵sin∠BON＝＝＝＝4.(0，－4)平移后的直线PB的函数解析式y＝2x－4. |
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