第15讲函数的综合应用考点一一次函数与方程、不等式1．解一元一次方程kx＋b＝0可以转化为当一次函数＝kx＋b的函数值为时求相应的自变量的值．从图象上看＋b＝0的解就是直线y＝kx＋b与轴交点的横坐标．2．解一元一次不等式kx＋b>0(或<0)可以看作：当一次函数y＝kx＋b的函数值大于(或小于)0时求自变量相应的取值范围．
考点二二次函数与一元二次方程判别式情况 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点 ＞0 a＜0
一元二次方程ax＋bx＋c＝0的实数根有两个不相等的实数根x有两个相等的实数根＝x没有实数根解一元二次方程实质上就是求当二次函数的函数值为0时自变量x的取值反映在函数图象上就是求抛物线与x轴交点的横坐标．
考点三二次函数与几何图形结合1．通
2．利用二次函数求最大面积的方法(1)求几何图形的最大面积应先在分析图形的基础上引入自变量用含自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量再根据图形的特征列出其面积的计算公式并且用函数表示这个面积最后根据函数关系式求出最值及取得最值时自变量的值．
(2)在求几何图形的最大面积时还应注意自变量的取值范0，三角形的两边之和大于第三边圆的周长与半径的关系．
3．考查方向(1)与三角形结合涉及三角形面积、三角形相似、等腰三角形和直角三角形的性质等知识的相关计算问题；(2)与特殊平行四边形结合涉及特殊平行四边形的判定、某些线段长度的计算问题；(3)涉及动点的存在探究性问题．
温馨提示：
此类问题中常常涉及的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想解题时一定要根据具体题目有针对性地分析、求解．
考点四函数的综合应用1．利用数形结合思想借2．利用转化思想通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系来解决抛物线与x轴交点的问题．
3．建立函数模型后往往涉及方程、不等式、相似等知识最后必须检验与实际情况是否符合．4．综合运用函数知识把生活、生产、
考点一在同一坐标系中确定多个函数的图象例1(2016·威海)已知二次函数y＝－(x－)2－b的图象如图所示则反比例函数y＝与一次函数y＝ax＋b的图象可能是()
【点拨】由二次函数图象可得其对称轴在y轴右侧＞0.顶点在第四象限b＜0即b＞0＞0反比例函数y＝的图象经过第一、三象限一次函数＝ax＋b的图象经过第一、二、三象限．故选【答案】
方法总结：
在同一个直角坐标系中同时考查两个函数的图象是各类考试中常见的题型解决此类问题可就系数进行分类讨论或逐项分析两图象共存时是否矛盾．
考点二反比例函数与一次函数的综合应用例2(2016·泰安)如图在平面直角坐标系中正方形OABC的顶点O与坐标原点重合点C的坐标为(0)，点A在x轴的负半轴上点D分AB，OA上且AD＝2DB＝2MO一次函数y＝kx＋b的图象过点D和M反比例函数＝的图象经过点D与BC的交点为N.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)若点P在直线DM上且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等求点P的坐标．【点拨】(1)由正方形的性质＝2DB求出D的坐标代入＝可求反比例函数的表达式；而同样的利用AM＝2MO可以求出M点的坐标将D两y＝＋b可求一次函数的表达式；(2)把y＝3代入y＝－求出N的坐标；设P(x)，由S＝S四边形OMNC可求出|y再将P点的纵坐标代入y＝kx＋b中可求点P的坐标．
解：(1)∵正方形OABC的顶点C的坐标为(0)，
∴OA＝AB＝BC＝OC＝3＝∠B＝∠BCO＝90又∵AD＝2DB＝＝2(－3)．把D(－3)代入y＝得m＝－6.
∴反比例函数的表达式为y＝－＝2MO＝＝1(－1)．把M(－1)和D(－3)代入y＝kx＋b得
解得直线DM的表达式为y＝－x－1．
(2)把y＝3代入y＝－x＝－2(－2)，
∴NC＝2.设P(x)，
∵S△OPM＝S四边形OMNCOM·|y|＝(OM＋NC)·OC
即|y|＝(1＋2)×3＝±9.当y＝9时＝－10；当y＝－9时＝8.点的坐标为(－10)或(8－9)．
方法总结：
在平面直角坐标系中当三角形的一边既不平行于x轴也不平行于y轴求三角形的面积时一般情况都利
考点三函数知识的综合应用例3如图在平面直角坐标系中抛物线经过点(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其对称轴与x轴相交于点M.(1)求此抛物线的解析式和对称轴；(2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点F使△FAB的周长最小？若存在请求出点F的坐标；若不存在请说明理由；(3)连接AC在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N使△NAC的面积最大若存在请求出点N的坐标；若不存在请说明理由．
【点拨】(1)抛物线经过点A(0)，B(1，0)，C(5，0)，可设抛物线的解析式为y＝a(x1)(x－5)代入(0，4)即可求得函数的解析式则可求得抛物线的对称轴；(2)点B关于对称轴的对称点为点C连接AC交对称轴于点F连接BF此时△FAB的周长最小可求出直线AC的解析式即可得出点F的坐标；
(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t此时点(0＜t＜5)，再求得直线AC的解析式即可求得NG的长与△ACN的
解：(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－5)把点A(0)代入上式解得a＝＝(x－1)(x－5)＝－＋4＝(x－3)－此抛物线的对称轴是x＝3.
(2)假设在F，使△FAB的周长最小．如图连接AC交对称轴于点F连接BF
∵点B与点C关于对称轴对称＝FC．＋AF＋FB＝AB＋AF＋FC＝AB＋AC．此时△FAB的周长最小．
设直线AC的解析式为y＝kx＋b把A(0)，C(5，0)代入y＝kx＋b得解得＝－＋4.点F的横坐标为3＝－＋4＝.
(3)假设在直线AC下方的抛物线上存在点N使△NAC面积最大．设点N的横坐标为t此时点N(0＜t＜5)
如图，过点N作y轴的平行线分别交x轴、AC于点P过点A作AD⊥NG垂足为点D．由(2)可知直线AC的解析式为y＝－＋4把x＝t代入y＝－＋4得y＝－＋4则G此时＝－＋4－＝－＋4t.
∵AD＋CP＝OC＝5＝S＋S＝＋＝＝×5＝－2t＋10t＝－2＋当t＝时的面积最大最大值为由t＝得y＝－＋4＝－3.
1．函数y＝－x＋1与函数y＝－在同一坐标系中的大致图象是()
2．如图已知二次函数y＝x2－x的图象与正比例函数y＝的图象交于点(3，2)，与x轴交于点(2，0)，若0＜y＜y则x的取值范围是()＜x＜2．＜x＜3＜x＜3．＜0或x＞3
3．二次函数y＝ax＋bx＋c的图象如图所示则反比例函数y＝与一次函数y＝bx＋c在同一坐标系中的大致图象是()
4．(2016·南宁)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)和正比例函数y＝的图象如图所示则方程ax2＋＋c＝0(a≠0)的两根之和()大于0B．等于0小于0D．不能确定【解析】由图象可知二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象和正比例函数y＝的图象交点的横坐标之和大于0即方程组x的两个值的和大于0可得ax＋bx＋c＝变形为方程ax＋＋c＝0后它的两根之和大于0.故选
5．(2016·广州)如图在直角坐标系中直线y＝kx＋1(k≠0)与双曲线y＝(x＞0)相交于点P(1)．(1)求k的值；(2)若点Q与点P关于直线y＝x成轴对称则点Q的坐标是Q()；
(3)若过P两点的抛物线与y轴的交点为N求该抛物线的函数解析式并求出抛物线的对解：(1)把点P(1)代入y＝得m＝2点P的坐标为(1)．把点P的坐标(1)代入y＝kx＋1得k＝1．(2)2，1．
(3)设抛物线的函数解析式为y＝ax＋bx＋c把P三点的坐标分别代入得解得
∴抛物线的函数解析式为y＝－＋x＋对称轴方程为x＝－＝
6．如图已知抛物线＝x＋＋c的顶点坐标为(0，－1)与x轴交于A两点．(1)求抛物线的解析式；(2)判断△MAB的形状并说明理由；(3)过原点的任意直线(不与y轴重合)交抛物线于C两点连接MC试判断MC是否垂直并说明理由．
解：(1)∵yx2＋bx＋c的顶点坐标为M(0－1)－＝0＝0.把M(0－1)代入y＝x＋bx＋c得c＝－1．抛物线的解析式为y＝x－1．
(2)△MAB是等腰直角三角形．理由如下：＝x－1令y＝0得x＝±1(－1)，B(1，0)．又∵M(0－1)＝OB＝OM＝1＝∠BMO＝45＝90＝BM是等腰直角三角形．
(3)MC⊥MD．理由如下：如图分别过点C、点D作y轴的平行线交x轴于E过M点作x轴的平行线交EC延长线于点G交DF于点H
设D(m－1)(n，n2－1)＝－n＝1－n＝m＝m－1．＝1＝n＝m＝即＝解得m＝－＝＝－n＝＝＝－n＝
又∵∠CGM＝∠MHD＝90＝∠MDH.∵∠MDH＋∠DMH＝90＋∠DMH＝90＝90即MC⊥MD．
一、选择题(每小题5分共45分)1．(2016·达州)下列说法中不正确的是()函数＝2的图象经过原点函数＝的图象位于第一、三象限函数＝3－1的图象不经过第二象限函数＝－的值随的值的增大而增大
【解析】函数y＝2x的图象经过原点故项正确；函数y＝的图象位于第一、三象限故项正确；函数y＝3x－1的图象不经过第二象限故项正确；函数y＝－的值在每个象限内随x的值的增大而增大故项错误．故选
2．(2016·德州)下列函数中满足y的值随x的值增大而增大的是()＝－2＝3－1＝＝
【解析】在y＝－2x中＝－2＜0的值随x的值增大而减小；在y＝3x－1中＝3＞0的值随x的值增大而增大；在y＝中＝1＞0的值随x的值增大而减小；二次函数y＝x当x＜0时的值随x的值增大而减小；当x＞0时的值随x的值增大而增大．故选3．(2016·福州)已知点A(－1)，B(1，m)，C(2，m＋1)在同一个函数图象上这个函数图象可以是()【导学号90280157】
【解析】∵点A(－1)，B(1，m)，∴A与B关于y轴对称故选项不符合；∵B(1)，C(2，m＋1),当＞0时随x的增大而增大故符合不符合．故选4．(2016·聊城)二次函数y＝ax＋bx＋c(a为常数且a≠0)的图象如图所示则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝的图象可能是()
【解析】由二次函数y＝ax＋bx＋c的图象可知＞0＜0＜0则一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、三、四象限反比例函数y＝的图象在第二、四象限．故选
5．已知一次函数y＝kx＋b(k＜0)与反比例函数y＝(m≠0)的图象相交于A两点其横坐标分别是－1和3当y＞y时实数x的取值范围是()＜－1或0＜x＜3－1＜x＜0或0＜x＜3－1＜x＜0或x＞3．＜x＜3
【解析】如图画出一次函数与反比例函数的y1>y2，即一次函数的图象在反比例函数图象的上方＜－1或0＜x＜3.故选6．如图，反比例函数y＝的图象经过二次函数y＝＋图象的顶点则有()【导学号90280158】＝b＋2k＝b－2k【解析】∵二次函数的顶点为－＝－解得a＝b≠0选项均错误；∵－＝k＝－＝8k.∵抛物线的开口向下＜0＜＜即b＜k＜0选项不正确选项D正确．故选D．
7．已知二次函数y＝x－2x－1的图象如图所示根据图中提供的信息求使得y≤2成立的x的取值范围是()【导学号90280159】．－1或x≥3－2≤x≤2－2．－1≤x≤3
【解析】由图可知使得y≤2成立的x的取值范围是－1≤x≤3.故选
8．已知抛物线y＝x－2x＋m＋1与x轴有两个不同的交点则函数y＝的大致图象是()
【解析】∵抛物线与x轴有两个不同的交点∴Δ＝b2－4ac>0，即4－4(m＋1)>0，解得m<0.反比例函数的图象在第二、四象限．故选9．如图是抛物线y1＝ax＋bx＋c(a≠0)图象的一部分抛物线的顶点坐标A(1)，与x轴的一个交点B(4)，直线y＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A两点下列结论：①2a＋b＝0；②abc＞0；③方程ax＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(－1)；⑤当1＜x＜4时有y＜其中正确的是()【导学号90280160】．【解析】∵抛物线的顶点坐A(1，3)，∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝1＋b＝0正确；∵抛物线开口向下＜0＝－2a＞0.∵抛物线与y轴的交点在x轴上方c＞0＜0错误；∵抛物线的顶点坐标为A(1)，∴当x＝1时二次函数有最大值3方程ax＋bx＋c＝3有两个相等的实数根正确；∵抛物线与x轴的一个交点为(4)，而抛物线的对称轴为直线x＝1抛物线与x轴的另一个交点为(－2)，∴④错误；抛物线y＝ax2＋bx＋c与y2＝mx＋n(m≠0)交于点A(1)，B(4，0)，∴当1＜x＜4时＜y正确．综上所述正确故选
二、填空题(每小题5分共15分)10．(2016·扬州)A在函数y＝(x＞0)的图象上且OA＝4过点A作AB⊥x轴于点B则△ABO的周长为．【解析】∵点A在函数y＝(x＞0)的图象上，∴设点A的坐标为(n＞0)．在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，OA＝4，∴OA2＝AB2＋OB2.又∵AB·OB＝·n＝4，∴(AB＋OB)2＝AB2＋OB2＋2AB·OB＝42＋2×4＝24，∴AB＋OB＝2或AB＋OB＝－2(舍去)．∴C△ABO＝AB＋OB＋OA＝2＋4.
2＋411．(2016·宿迁)如图在平面直角坐标系中一条直线与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于两点A与轴交于点C且点B是AC的中点分别过两点A作x轴的平行线与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于两点D连接DE则四边形ABED的面积为．【导学号90280161】【解析】∵点A在反比例函数y＝(x＞0)的图象上设点B的坐标为点B为线段AC的中点且点C在x轴上点A的坐标为轴、BE∥x轴且点D在反比例函数y＝(x＞0)的图象上
∴点D的坐标为点E的坐标为梯形ABED＝(2m－m)＝
12．如图，已知直线y＝－＋3分别交x轴、y轴点A、B是抛物线y＝－＋2x＋5上的一个动点其横坐标为a过点P且平行于y轴的直线交直线y＝－＋3于点Q当PQ＝BQ时的值是．【导学号90280162】【解析】∵直线y＝－＋3分别交x轴、y轴于点A点B(0)，A(4，0)．∵P是抛物线y＝－＋2x＋5上的一个动点其横坐标为a点.∵过点P且平行于y轴的直线交直线y＝－＋3于点Q点Q且PQ平行于y轴．∴PQ＝设直线PQ与x轴交于点N直线PQ与y轴平行＝＝5＝|a|＝4＝当PQ＝BQ时有＝求出a的值分别为4或－1或＋2或4－24或－1或＋2或4－2三、解答题(共40分)13．(13分)设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋k－3)](k是常数)．
(1)当k取1和2时的函数y和y的图象如图所示请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；分析：将k＝0代入到函数表达式中得y＝－x－2x＋3画出图象；解：当k＝0时＝－(x－1)(x＋3)所画函数图象如图所示．
(2)根据图象写出你发现的一条结论；(1，0)和点(－1，4)；图象总交x轴于点(1，0)；k取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称等；
解：示例：①图象总交x轴于点(1)；取0和2时的函数图象关于点(0)中心对称；③函数y＝(x－1)·[(k－1)x＋(k－3)]的图象都经过点(1)和(－1)．
(3)将函数y的图象向左平移4个单位再向下平移个单位得到函数y的图象求函数y的最小值．
解：平移后的函数表达式为y＝(x＋)2－2当x＝－3时函数y的最小值等于－2.
点评：本题考查了二次函数图象的画法一次函数、二次函数的性质函数图象的平移及最值解题的关键是准确画出函数图象根据函数图象确定函数的性质．
14．(13分)(2016·杭州把一个足球垂直水平地面向上踢时间为t(秒)时该足球距离地面的高度h(米)适用公式h＝20t－5t.【导学号90280163】(1)当t＝3时求足球距离地面的高度；解：当t＝3时＝20t－t＝20×3－5×9＝(米)当t＝3时足球距离地面的高度为15米．
(2)当足球距离地面的高度为10米时求t；解：∵h＝10－5t＝10即t－4t＋2＝0,解得＝＋或t＝2－故经过2＋或2－时足球距离地面的高度为10米．
(3)若存在实数t(t1≠t2)当t＝t或t时足球距离地面的高度m米求m的取值范围．解：∵m≥0t1，t2是方程20t－5t＝m的两个不相等的实数根－4ac＝20－20m＞0,＜20,故m的取值范围是0≤m＜20.15．(14分)(2016·舟山)小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班爸爸行驶到甲处时看到前面路口是红灯他立即刹车减速并在乙处停车等待．爸爸驾v(m/s)与时间t()的关系如图1中的实线所示行驶路程s()与时间t()的关系如图2所示在加速过程中与t满足表达式＝at【导学号90280164】
(1)根据图中的信息写出小明家到乙处的路程并求a的值；解：由图2得：小明家到乙处的路程为180点(8)在抛物线s＝at上＝a×8解得a＝
(2)求图2中A点的纵坐标h并说明它的实际意义；解：由图及已知得：h＝48＋12×(17－8)＝156故A点的纵坐标为156表示小明家到甲处的路程为156
(3)爸爸在乙处等待了7秒后绿灯亮起继续前行．为了节约能源减少刹车妈妈驾车从家出发的行驶过程中速度v()与时间t()的关系如图1中的折线－B－C所示加速过程中行驶路程s()与时间(s)的关系也满足表达式s＝at当她行驶到甲处时前方的绿灯刚好亮起求此时妈妈驾车的行驶速度．
解：设OB所在直线的表达式为v＝kt(8，12)在直线v＝kt上则12＝8k,解得k＝所在直线的表达式为v＝设妈妈加速所用时间为x秒由题意可得＋(21＋7－x)＝156整理得x－56x＋208＝0,解得x＝4＝52(不符合题意舍去)＝4＝＝6()．答：此时妈妈驾车的行驶速度为6 |
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