第四章图形的初步认识与三角形第16讲线段、角、相交线与平行线考点一线段、射线、直线1．直线、射线、线段的区别与联系
2．两点间的距离连接两点间线段的长度叫3．线段的性质(1)两点的所有连线中线段最短．(2)过两点有且只有一条直线．
4．线段的中点(1)如图点B在线段AC上且AB＝BC则点B叫做线段AC的中点．
(2)线段中点的几何表示：＝＝；AC＝2AB＝．
5．线段的和与差如图在线段AC上取一点B则AB＋BC＝AC；AB＝AC－；BC＝AC－．
考点二角、角平分线、余角、补角1．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；如果一个角的两边成一条直线那么这个角叫做平角；平角的一半叫做直角；大于直角小于平角的角叫做钝角；大于0小于直角的角叫做锐角．2．1周角＝度平角＝度直角＝度＝分分＝秒．
3．角平分线的性质和判定(1)从一个角的顶点引出一条射线把一个角分成两个相等的角这条射线叫做这个角的平分线．(2)角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等；角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
(3)角平分线的表示方法如图平分∠AOB则
①∠AOC＝∠BOC；＝2∠AOC＝2∠BOC；＝∠BOC＝
4．余角、补角及其性质(1)互余：如果两个角的和等于(直角)那么这两个角互为余角；(2)互补：如果两个角的和等于(平角)那么这两个角互为补角；(3)性质：同角(等角)的余角相等；同角(等角)的补角相等．
温馨提示：
1．互为补角、互为余角是相对两个角而言它们都是由数量关系来定义的与位置无关．一副三角尺各个角90°，
60°，45°，30°，将各个角相加或相减画出的角的度数都是15°的倍数．
考点三相交线1．对顶角的性质对顶角相等．2．垂线(1)平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短(简记为：垂线段最短)．
(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的的长度叫做点到直线的距离．
考点四平行线的性质和判定1．平行公理经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．2．平行线的性质(1)如果两条直线平行那么同位角相等；(2)如果两条直线平行，那么内错角相等；(3)如果两条直线平行那么同旁内角互补．
3．平行线的判定(1)定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；(2)同位角相等两直线平行；(3)内错角相等两直线平行；(4)同旁内角互补两直线平行．
温馨提示：
除上述平行线的判定方法外还有“在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行”及“平行于同一条直
考点一线段的性质例1如图某同学的家在A处书店在B处星期日他到书店去买书想尽快赶到书店请你帮助他选择一条最近的路线()
A．A→C→D→B．．
【点拨】根据两点之间线段最短可得C两点之间的最短距离是线段CB的长度所以想尽快赶到书店最A→C→F→B．故选【答案】
考点二余角、补角的定义例2(2016·长沙)下列各图中与∠2互为余角的是()
【点拨】中的对顶角与∠2是同位角关系只能说明∠1＝∠2；中＋∠2＝90与∠2互余；中和∠2是对顶角＝∠2；中＋∠2＝180与∠2互补．故选【答案】
考点三角平分线的性质的应用例3如图是∠AOB的平分线是OC上一点于点D＝6则点P到边OB的距离为()．．．
【点拨】如图过点P作PE⊥OB于点E是∠AOB的平分线于点D＝PD．∵PD＝＝6即点P到OB的距离是6.故选
【答案】
方法总结：
题目中
考点四平行线的性质与判定例4(2016·厦门)如图，AE与CD交于点O，∠A＝50°，OC＝OE，∠C＝25°，求证：AB
【点拨】先利用等腰三角形的性质得到∠E＝∠C＝25°，再根据三角形外角的性质计算出∠DOE＝50°，则有∠A＝∠DOE，然后根据平行线的判定方法得到结论．
证明：∵OC＝OE，∴∠E＝∠C＝25°，∴∠DOE＝∠C＋∠E＝50°，∵∠A＝50°，∴∠A＝∠DOE，∴AB∥CD．
方法总结：
解答平行线的性质与判定的题目主要是利用平行线的性质与判定实现几个角之间的转化求出相关角的度数．
1．(2016·黔南州下面四个图形中＝∠2一定成立的是()
2．(2016·百色)如图直线a被直线c所截下列条件能使a∥b的是()
A．∠1＝∠6．＝∠6＝∠3．＝∠7
3．(2016·宜昌)已知M四点的位置如图所示下列结论中正确的是()
A．∠NOQ＝42＝132比∠MOQ大与∠MOP互补
4．如图下列说法正确的个数是()①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；线段ABAD中线段AC最短因为两点之间线段最短；线段AB中线段AC最短根据是垂线段最短；线段AC的长是点A到直线l的距离．个．个．个．个
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是边BC上的动点，则AP的长不可能是(A)
．．
6．如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝32°，则∠2＝58度．
一、选择题(每小题3分共33分)1．(2016·宜昌)如图田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小能正确解释这一现象的数学知识是()
A．垂线段最短经过一点有无数条直线经过两点有且仅有一条直线两点之间线段最短【解析】∵用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分
发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小线段AB的长小于点A经过点C绕到B的曲线的长度能正确解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短．故选
2．如图OA⊥OB，若∠1＝35则∠2的度数是()
A．35°B．45°C．55°D．70°
3．(2016·福州)如图直线a被直线c所截与∠2的位置关系是()
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．对顶角
【解析】两条直线被第三条直线所截形成的角中若两个角都在两直线之间并且在第三条直线(截线)的两旁则这样一对角叫做内错角．故选4．以下四种沿AB折叠的方法中不一定能判定纸带两条边线a互相平行的是()【导学号90280172】
A．如图1展开后测得∠1＝∠2如图2展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4如图3测得∠1＝∠2如图4展开后再沿CD折叠两条折痕的交点为O测得OA＝OB＝OD
【解析】B中求出四个角均为直角根据平行线的判定定理即可判定；中由∠1＝∠2不一定能判定a∥b；中利用两个三角形全等对应角相等即可判断出两内错角相等进而判定a互相平行．故选5．(2016·淄博)如图AC，AD⊥BC，垂足分别为则图中能表示点到直线距离的线段共有()条B．3条C．4条D．5条
【解析】线段AB是点B到AC的距离；线段CA是点C到AB的距离AD是点A到BC的距离；线段BD是点B到AD的距离；线段CD是点C到AD的距离．故图中能表示点到直线距离的线段共有5条．故选
6．(2016·凉山州)如图直线EF分别交AB于E两点的平分线交CD于点G若∠EFG＝52则∠EGF等于()
A．26°B．64°C．52°D．128°
【解析】∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠EFG＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，∴∠BEF＝180°－52°＝128°.∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝64°，∴∠EGF＝∠BEG＝64°(两直线平行，内错角相等)．故选7．(2016·深圳)如图已知直角三角尺的直角顶角在直线上若∠1＝60°则下列结论错误的是()
A．∠2＝60°B．∠3＝60°＝120°D．∠5＝40°
【解析】∵a∥b，∠1＝60°，∴∠3＝∠1＝60°，∠2＝∠1＝60°，∠4＝180°－∠3＝180°－60°＝120°.∵三角板为直角三角板，∴∠5＝90°－∠3＝90°－60°＝30°.故选D．8．如图直线l∥等边△ABC的顶点B分别在直线n和m上边BC与直线n所夹锐角为25则∠α的度数为()【导学号90280173】
A．25°B．45°C．35°D．30°
【解析】如图边BC与直线n所夹锐角为25＝CBE＝25是等边三角形＝＝－BCD＝60－＝α＝＝35故选
9．(2016·十堰)如图于点若∠＝40°则∠＝()
A．140°B．130°C．120°D．110°【解析】如图过点C作CG∥AB
由题意可得AB∥EF∥CG，故B＝BCG，∠GCD＝90°，则BCD＝40°＋90°＝130°故选
10．如图FE⊥DB，垂足为E＝50则∠2的度数是()
A．60°B．50°C．40°D．30°
【解析】∵EF⊥DB＝90与D互余＝90－50°＝40°＝D＝40故选11．(2016·枣庄)如图的一边OA为平面镜＝37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是()
【导学号90280174】
A．75°36′B．75°12′C．74°36′D．74°12′
【解析】C∥OB，∴∠ADC＝AOB＝37°36′.∵入射角等于反射角，∴∠ADC＝ODE＝37°36′，∴DEB＝AOB＋ODE＝37°36′＋37°36′＝75°12′故选
二、填空题(每小题5分共25分)12．(2016·茂名)已知∠＝100°那么∠的补角为度．13．(2016·吉林)如图直线EF分别交AB于M两点将一个含有45角的直角三角尺按如图所示的方式摆放若∠EMB＝75则∠PNM等于度．
【解析】∵AB∥CD，∴∠DNM＝BME＝75°.∵∠PND＝45°，∴∠PNM＝DNM－PND＝30°.
30
14．(2016·湖州)如图1是我们常用的折叠式小刀图2中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2则∠1与∠2的度数和是度．【导学号90280175】
【解析】如图2＝90°作EF∥AB则EF∥CD所以1＝AEF，∠2＝CEF，所以1＋2＝AEF＋∠CEF＝∠AEC＝90
【答案】90
15．如图折叠一张矩形纸片已知∠1＝70则∠2的度数是．
【解析】如图，由矩形纸片的对边平行可得3＝1＝70°.又由折叠的性质和平角的定义，可得3＋2∠2＝180°，∴2∠2＝180°－70°＝110°，∴∠2＝55°.
55°
16．(2016·衡阳)如图所示条直线将平面分成2个部分条直线最多可将平面分成4个部分条直线最多可将平面分成7个部分条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分则n的值为．【导学号90280176】
【解析】∵1条直线将平面分成(1＋1)个部分条直线最多将平面分成(1＋1＋2)个部分条直线最多将平面分成(1＋1＋2＋3)个部分依此规律条直线最多将平面分成1＋1＋2＋3＋…＋n＝＋1个部分所以(n＋1)＋1＝56解得n＝－11(舍去)＝三、解答题(共42分)17．(9分)(2016·淄博)如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出图中的平行线，并说明理由．
解：OA∥BC，OB∥AC．
理由如下：∵∠1＝50°，∠2＝50°，∴∠1＝∠2.根据同位角相等，两直线平行可得OB∥AC．∵∠2＝50°，∠3＝130°，∴∠2＋∠3＝180°.根据同旁内角互补，两直线平行可得OA∥BC．
18．(10分)如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE，OF为射线，∠AOE＝90°，OF平分∠AOC，∠AOF＋∠BOD＝51°，求∠EOD的度数．
【导学号90280177】
分析：根据对顶角相等得到∠AOC＝∠BOD，由角平分线的性质得到∠AOF＝∠AOC＝∠BOD，求得∠AOF＝17°，∠BOD＝34°，再根据邻补角的性质即可求解．
解：∵∠AOC＝∠BOD，OF平分∠AOC，
∴∠AOF＝∠AOC＝∠BOD．
∵∠AOF＋∠BOD＝51°，
∴∠AOF＝17°，∠BOD＝34°.
∵∠AOE＝90°，∴∠BOE＝180°－∠AOE＝90°，
∴∠EOD＝90°＋34°＝124°.
点评：本题考查了角平分线的定义、对顶角相等的性质、角的计算是基础题准确识图、理清图中各角度之间的关系是解题的关键．19．(10分)如图已知在l上并且C为垂足是l上任意两点点B在l上．设△ABC的面积为S的面积为S的面积为S小颖认为S＝S＝S请帮小颖说明理由．
解：∵直线l的底边AB上的高相等这3个三角形同底等高这3个三角形的面积相等即S＝＝S20．(13分)如图1是直线ABAB∥CD，连接EA【导学号90280178】
(1)探究猜想：
①若∠A＝30°，∠D＝40°，则∠AED等于多少度？
②若∠A＝20°，∠D＝60°，则∠AED等于多少度？
③猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．
(2)拓展应用：如图2射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E与边CD交于点F分别是FE隔开的个区域(不含边界其中区域③④位于直线AB上方)是位于以上四个区域上的点猜想：∠PEB的关系(不要求证明)．
分析：(1)过点E作EF∥AB根据平行公理的推论可得EF∥DC然后根据平行线的性质可得∠AED＝＋；(2)仿照(1)的方法过点P作AB的平行线然后利用平行线的性质对四个区解：(1)①∠AED＝70；②∠AED＝80；猜想：∠AED＝∠EAB＋∠EDC．证明如下：如图过点E作EF∥AB则EF∥AB∥CD＝＝∠EDC．＝＋∠FED＝∠EAB＋
(2)当点P在区域①时＋PFC＋EPF＝360°；当点P在区域②时＝PEB＋PFC；当点P在区域③时＝PFC＋EPF；当点P在区域④时＝PEB＋EPF.
点评：本题考查了平行线的性质解题的关键是掌握平行公理的推论和平行线的性质．特别注意当点P在区域③时还需要考虑三角形外角的性质． |
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