第18讲等腰三角形与直角三角形
考点一等腰三角形的概念及分类1．有两边相等的三角形叫做等腰三角形；都相等的三角形叫做等边三角形．2．等腰三角形分为底和腰不相等的等腰三角形和等边三角形．
温馨提示：
1．．
2．，α满足0°＜α＜90°，β满足0°＜β＜180°.
考点二等腰三角形的性质和判定1．性质(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成：等边对等角)；(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；(3)等腰三角形是轴对称图形有一条对称轴顶角的平分线(底边上的中线、底边上的高)所在的直线是它的对称轴．
温馨提示：
这个性质简写成“三线合一”但不能简单地说成“等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一”．
2．判定(1)定义法；(2)如果一个三角形有两个角相等那么这两个角所对的边也相等(简写成：等角对等边)．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要定理是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的
考点三等边三角形的性质和判定1．性质等边三角形的三个内角都相等并且每一个内角都等于．2．判定(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；(2)有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
温馨提示：
由判定(2)可知在等腰三角形中只要有一个角是60°不论这个角是顶角还是底角这个三角形就是等边三角形．
考点四直角三角形的性质和判定1．性(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)在直角三角形中如果有一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半；(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(4)勾股定理：直角三角形两直角边a的平方和等于斜边c的平方即＋b＝c．
温馨提示：
勾股定理的
2．判定(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；(2)有两个角互余的三角形是直角三角形；(3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a满足＋b＝c那么这个三角形是直角三角形．
温馨提示：
1．勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的一种理论依据在运用时一定要用两短边的平方和与长边的平方作比较．能够成为直角三角形三条边长的三
3．若a为一直角三角形的三边长则以ma(m＞0)为三边的三角形也是直角三角形．如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半那么这个三角形是直角三角形．
考点五线段垂直平分线的性质和判定1．经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做线段的垂直平分线．2．性质(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；(2)与一条线段两个端点的距离相等的点在这条垂直平分线上．
温馨提示：
1．三角形三边的垂直平分线交于一点这一点到三角形三个顶点的距离相等．锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部直角三角形三边垂直平分线的交点是斜边的中点钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外部．
考点一等腰三角形的性质和判定例1(2016·甘孜州)如图在△ABC中平分∠ABCAB＝3＝1则△AED的周长为()．．．
【点拨】∵BD平分∠ABC＝∠CBD．∵ED∥BC，∴∠CBD＝∠BDE＝∠BDE＝DE的周长＝AE＋DE＋AD＝AE＋BE＋＝＋AD＝3＝1AED的周长＝3＋1＝4.故选【答案】
方法总结：
等腰三角形有两个性质：(1)“等边对等角”利用这个性质可以证明两个角相等也可以计算角的大小；(2)“三线合一”利用这个性质可以证明线段相等、角相等、一个角等于90、计算线段长度和角的大小等．
考点二等边三角形的性质与例2(2016·宁夏)在等边△ABC中点D分别在边BC上若CD＝2过点D作DE∥AB过点E作EF⊥DE.交BC的延长线于点F求EF的长．【点拨】先证明△DEC是等边三角形再在F中求出EF即可解决问题．
解：∵△ABC是等边三角形＝∠ACB＝60＝∠B＝60是等边三角形＝DC＝2.在中＝90＝60＝2＝30＝2DE＝4＝＝＝2
方法总结：
等边三角形是特殊的三角形三条边都相等三个角都等于60°中线、高、角平分线为同一条线段即“三线合一”．根据以上性质可以进行相关的计算与证明．
考点三直角三角形的性质与判定例3(2016·呼和浩特)已知：如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．
(1)求证：△ACE≌△BCD；
(2)求证：2CD2＝AD2＋DB
【点拨】(1)根据△ACB和△ECD都是等腰直角三角形及∠ACB＝∠ECD＝90°可知AC＝BC，CD＝CE，∠DCB＝∠ECA，利用“SAS”可证△ACE≌△BCD；(2)因为△ACB是等腰直角三角形，所以∠BAC＝∠B＝45°.根据△ACE≌△BCD可得AE＝BD，∠EAC＝45°，进而得到△ADE为直角三角形，利用△ADE和△DEC有公共的斜边DE，根据勾股定理可得结论．
证明：(1)∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形＝∠ECD＝90＝BC＝CE－∠ACD＝∠ECD－∠ACD∠DCB=∠ECA．在△ACE与△BCD中
∴△ACE≌△BCD．
(2)∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，△ACE≌△BCD，
∴∠BAC＝∠B＝45°，
∠EAC＝∠B＝45°，AE＝DB．
∴∠EAD＝90°.
∴ED2＝AD2＋AE2＝AD2＋DB2，
又∵ED2＝EC2＋CD2＝2CD2，
∴2CD2＝AD2＋DB2.
考点四线段垂直平分线的性质例4(2016·遵义)如图在△ABC中＝BC＝110°DE交AC于点D连接BD则∠ABD＝度．
【点拨】∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，∴∠A＝∠C＝35°.∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝35°.
【答案】35
方法总结：
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．利用这个性质可以求线段的长度或证明两条线段相等然后结合等腰三角形的性质解决相关的问题．
1．等腰三角形的底边长为6底边上的中线长为4它的腰长为()C．D．5
2．(2016·陕西)如图，在△ABC中＝36＝AC是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC连接DE则图中等腰三角形共有()个．个个．个
3．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为(C)
A．32.5°B．57.5°
C．32.5°或57.5°D．65°或57.5°
4．(2016·乌鲁木齐)如图所示在中点E在AB上把这个直角三角形沿CE折叠后使点B恰好落到斜边AC的中点O处若BC＝3则折痕CE的长为()．C．3．
5．(2016·陕西)如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为()
A．7B．8C．9D．
【解析】在Rt△ABC中，AC＝＝＝10.
∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC＝3，EC＝AC＝5.∵DE∥BC，∴∠DFC＝∠FCM.∵CF平分∠ECM，∴∠ECF＝∠FCM.
∴∠DFC＝∠ECF.∴EC＝EF＝5.∴DF＝DE＋EF＝3＋5＝8.故选B．
【答案】B
6．如图的边BC的垂直平分线MN交AC于点D若△ADB的周长是10＝4则AC＝
7．已知：如图在△ABC中垂足为点D垂足为点E为AB边的中点连接ME
(1)求证：△MED为等腰三角形；(2)求证：∠EMD＝2∠DAC．
证明：(1)∵M为AB边的中点⊥AC，
∴ME＝＝＝MD为等腰三角形．
(2)∵ME＝＝MA＝∠MEA＝2∠MAE.同理MD＝＝MA＝∠MDA＝2∠MAD＝∠BME－∠BMD＝2∠MAE－2∠MAD＝2∠DAC．
一、选择题(每小题4分共40分)1．(2016·泰安)如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为()
A．44°B．66°C．88°D．92°
【解析】∵PA＝PB，∴∠A＝∠B．在△AMK和△BKN中，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK＝∠BKN.∵∠MKB＝∠MKN＋∠NKB＝∠A＋∠AMK，∴∠A＝∠MKN＝44°，∴∠P＝180°－∠A－∠B＝92°.故选D．
【答案】D
2．(2016·内江)已知等边三角形的边长为3点P为等边三角形内任意一点P到三边的距离之和为()【导学号90280189】B．
C．D．不能确定【解析】如图等边三角形的边长为3高线AH＝＝又∵S＝＝＋＋×3·AH＝＋＋＋PE＋PF＝AH＝即点P到三角形三边距离之和为故选
3．如果将长为6宽为5cm的长方形纸片折叠一次那么这条折痕的长不可能是(A)cmC．5.5cmD．1cm
4．(2016·连云港)如图1分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形面积分别为S；如图2分别以直角三角形三个顶点为圆心三S4，S5，S6.其中S＝16＝45＝11＝14则S＋S＝()【导学号90280190】B．64C．54D．48【解析】如图1，S1＝＝＝＝－AC－S＝S如图2，S4＝AB2，S5＝AC2，S6＝BC2，∵AB2＝AC2＋BC2，∴S4＝S5＋S6.∴S3＋S4＝45－16＋11＋14＝54.故选
5．(2016·南京)下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是()
【解析】中因为3＋4＞4所以三条线段能组成锐角三角形；中因为3＋452，所以三条线段能组成直角三角形；C中因为3＋4＞6且32＋4＜6所以三条线段能组成钝角三角形；中因为3＋4＝7所以三角形线段不能组成三角形．故选
6．(2016·广州)如图已知△ABC中＝10＝8＝6是AC的垂直平分线交AB于点DCD，则CD＝()B．4C．4.8D．5
【解析】∵AB＝10＝8＝6,＋AC＝AB是直角三角形．∵DE是AC的AE＝＝4且线段DE是△ABC的中位线＝3,＝DC＝＝5.故选7．如图在△ABC中＝AC点D在BC上连接AD如果只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC则添加的条件不能为()
A．BD＝CE＝AE＝DE．＝CD【解析】∵AB＝AC＝C．中添加BD＝CE可根据“证明△ABD≌△ACE＝∠EAC；中添加AD＝AE则∠ADE＝AED，再由外角的性质可得DAB＝∠EAC；中添加DA＝DE不能得出DAB＝∠EAC；中添加BE＝CD由等式的性质可得BD＝CE同可得DAB＝∠EAC．故选
8．(2016·杭州)已知直角三角形纸片的两条直角边分别为和n(m
【解析】如图＝BD＝n－m在中由勾股定理得m＋m＝(n－m)即m＋2mn－n＝0.故选
9．如图△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为()
【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝DBC．∵EF是BC的垂直平分线，∴FB＝FC，∴∠FCB＝∠DBC．∵∠ABD＝24°，∴∠FCB＝∠DBC＝∠ABD＝24°.又∵A＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝120°，即∠ABD＋∠DBC＋∠ACF＋∠FCB＝120°，∴∠ACF＝120°－24°－24°－24°＝48°.故选A．
10．已知△ABC的三条边长分别为3在△ABC所在平面内画一条直线将ABC分割成两个三角形使其中的一个是等腰三角形则这样的直线最多可画()【导学号90280192】条条．条．条【解析】如图当BC＝AC＝CC＝BC＝CC＝AC＝AC＝CC时都能得到符合题意的等腰三角形．故选
【答案】B
二、填空题(每小题4分，共20分)
11．等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是120°．
【解析】等腰三角形一个外角为60°，那相邻的内角为120°，三角形的内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，所以120°只可能是顶角．
12．(2016·安顺)如图，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，则∠1＝45度．
【解析】∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°.∵m∥n，∴∠1＝45°.
13．如图在中＝以直角顶点A为圆心长为半径画弧交BC于点D过D作DE⊥AC于点E.若＝则△ABC的周长用含a的代数式表示为．【导学号90280193】
【解析】∵∠C＝30°，∠BAC＝90°，DE⊥AC，∴BC＝2AB，CD＝2DE＝2a.∵AB＝AD，∴点D是斜边BC的中点，∴BC＝2CD＝4a，AB＝BC＝2a，∴AC＝＝＝2a，∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝2a＋4a＋2a＝(6＋2)a.
【答案】(6＋2)a
14．(2016·宿迁)如图在矩形中＝4点是直线上一动点若满足△是等腰三角形的点有且只有3个则的长为．【导学号90280194】
【解析】如图，当AB＝AD时满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个是等腰直角三角形是等腰三角形(P＝P)，则AB＝AD＝4.4
15．(2016·哈尔滨)在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为．【导学号90280195】【解析】分两种情况讨论：①如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∴PB＝BC＝1，∴CP＝2∴AP＝＝；
②如图2，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3,∵PC＝BC＝1，∴AP＝＝.
综上所述，AP的长为或.
【答案】或
三、解答题(共40分)16．(8分)(2016·淄博)如图已知△ABC平分∠BAC交BC于点DBC的中点为M交BA的延长线于点E交AC于点F.
(1)求证：AE＝AF；证明：∵DA平分BAC,
∴∠BAD＝CAD．＝AEF，
∠CAD＝AFE,
∴∠AEF＝AFE，∴AE＝AF.(2)求证：BE＝(AB＋AC)．证明：如图作CG∥EM交BA的延长线于点G.
∵EF∥CG，∴∠G＝AEF，∠ACG＝AFE.
∵∠AEF＝AFE，∴∠G＝ACG，∴AG＝AC．＝CM＝EG＝＝(BA＋AG)＝(AB＋AC)．
17．(10分)课间小明拿着老师的等腰三角尺玩不小心掉到两墙之间如图．【导学号90280196】
(1)求证：△ADC≌△CEB；分析：根据题意可得AC＝BC由等角的余角相等可得BCE＝CAD，可证明△ADC≌△CEB；证明：由题意得AC＝BC＝90＝∠CEB＝90＋∠BCE＝90＋∠DAC＝90＝∠DAC．在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB(AAS)．(2)从三角尺的刻度可知AC＝25请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相等)．AD＝4a，BE＝3a，根据全等可得DC＝BE＝3a，根据勾股定理，可得(4a)2＋(3a)2＝252，解方程即可求出a的值．
解：由题意得AD＝4a＝3a由(1)得△ADC≌△CEB＝BE＝3acm.
在中＋CD＝AC即(4a)＋(3a)＝25解得a＝5(－5舍去)．答：砌墙砖块的厚度a为518．(10分)(2016·菏泽)如图和△均为等腰三角形点在同一直线上连接【导学号90280197】
(1)如图1若∠＝∠＝∠＝∠＝50°.求证：＝；求∠AEB的度数．
①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝＝＝∠DCE180°－2×50°＝80°.＝∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE＝∠BCE.和△DCE均为等腰三角形
∴AC＝BC＝EC．在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE.②解：∵△ACD≌△BCE＝∠BEC．点A在同一直线上且∠CDE＝50＝180CDE＝130＝130＝CED＋∠AEB且∠CED＝50＝∠BEC－∠CED＝130－50°＝80°(2)如图2若∠＝∠＝120°为△中DE边上的高为△中边上的高试证明：＝2＋证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形且ACB＝DCE＝120＝CEM＝(180°－120°)＝30°＝90＝EM.
在中＝90＝30＝2DM＝2CM.∵∠BEC＝∠ADC＝180°－30°＝150°，
∠BEC＝∠CEM＋∠AEB，
∠AEB＝∠BEC－∠CEM＝150°－30°＝120°，
∠BEN＝180°－120°＝60°.
在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°，
BE＝BN.
∵AD＝BE，AE＝AD＋DE，
AE＝BE＋DE＝BN＋2CM.
19．(12分)如图在四边形ABCD中＝∠C＝45＝∠ABC＝105【导学号90280198】
(1)若AD＝2求AB；
分析：作DE⊥AB于点E，由A＝C＝45°，∠ADB＝ABC＝105°，得△ADE为等腰直角三角形，∠DBA＝30°，利用勾股定理可得AE和BE的长度，即AB的长；(2)作BF⊥CD于点F，可证DBE≌△DBF，得出DE＝DF，BE＝BF＝CF，得出AB＝CD，再由AB＋CD＝2＋2得出AB的长．解：如图过点D作DE⊥AB于点E
∵∠A＝C＝45是等腰直角三角形．
又∵∠ADB＝∠ABC＝105DBA＝180－105°－45°＝30°＝2＝DE＝＝＝30＝2DE＝2＝＝＝＝＋(2)若AB＋CD＝2＋2求AB．解：如图，过点B作BF⊥CD于点F，∵∠A＝C＝45°，∠ADB＝ABC＝105°，又知DBA＝30°，∠DBF＝30°，△BFC是等腰直角三角形，BF＝CF.∵BD＝BD，∠DEB＝∠DFB，∠DBF＝DBE，Rt△DBE≌Rt△DBF(AAS)，DE＝DF，BE＝BF＝CF.AB＝AE＋BE＝CF＋DF＝CD．∵AB＋CD＝2＋2，AB＝＋1.
点评：本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，解答本题关键是利用题目中给出的特殊角，作出辅助线，构造等腰直角三角形．
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