第五章四边形第20讲多边形与平行四边形
考点一多边形的有关概念与计算1．在平面内由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．2．正多边形：各个角都相等各条边都相等的多边形叫做正多边形．3．多边形的对角线(1)从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线；(2)n边形共有条对角线．各条边都相等的多边形不一定是正多边形因为它的内角不一定都相等如菱形；各个角都相等的多边形也不一定是正多边形因为它的边不一定都相等如矩形．4．多边形的内角和与外角和(1)多边形的内角和等于(n－2)·180°；
(2)多边形的外角和等于360°；
(3)正n边形的每一个内角为(n3)，每一个外角为(n3)．
5．四边形：由四条线段围成的平面图形叫做四边形．四边形具有不稳定性．
考点二平行四边形的性质与判定1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2．平行四边形的性质(1)平行四边形的两组对边分别平行；(2)平行四边形的两组对边分别相等；(3)平行四边形的两组对角分别相等邻角互补；(4)平行四边形的对角线互相平分；(5)平行四边形是中心对称图形其对称中心是对角线的交点．3．平行四边形的判定(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
温馨提示：
1．一组对边平行一组对角线相等的四边形是平行四边形．一组对边平行另一组对边相等的四边形
4．平行线间的距离：两条平行线中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线间的距离．两条平行线间的距离处处相等．考点一多边形的内角和与外角和
例1(2016·舟山)已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是()
A．6B．7
C．8D．9
【点拨】360°÷(180°－140°)＝9.即这个正多边形的边数是9.故选D．
【答案】D
方法总结：
已知多边形的内角和求边数时，可列方程求解；若已知正多边形的内角求边数，可将内角转化为外角，然后利用外角和等于360°求解．
考点二平行四边形的性质例2(2016·丹东)如ABCD中平分∠ABC交AD于点F平分∠BCD交AD于点E＝6＝2则BC长为()
A．8．．
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形＝＝6＝BC＝FBC．∵BF平分∠ABC＝∠FBC＝∠AFB＝AB＝6.同理可证DE＝DC＝6.∵EF＝AF＋DE－AD＝2即6＋6－AD＝2.∴AD＝10.故选【答案】
方法总结：
在平行四边形中求线段的长度可根据平行四边形的性质和已知条件得出相等的线段进而求出未知线段的长度．考点三平行四边形的判定例3(2016·徐州)如图在△ABC中＝90°＝60是等边三角形是AC的中点连接BE并延长交DC于点F求证：(1)△ABE≌△CFE；(2)四边形ABFD
【点拨】(1)根据等边三角形的性质得到∠DCA＝60°，即可得到∠DCA＝∠BAC，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；(2)根据已知条件得到△ABE是等边三角形，推出△CEF是等边三角形，证得∠CFE＝∠CDA，求得BF∥AD，再证AB∥DC，即可得到结论．
证明：(1)∵△ACD是等边三角形＝60＝60＝∠BAC．为ACAE＝CE.在△ABE与△CFE中
∴△ABE≌△CFE.
(2)∵E是AC的中点＝EA．
∵∠BAE＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CFE＝60°.
∵△ACD是等边三角形，
∴∠CDA＝∠DCA＝60°，
∴∠CFE＝∠CDA＝∠BAC＝60°四边形ABFD是
方法总结：
证明一个四边形是平行四边形的方法有多种要结合图形及已知条件灵活选择适当的方法进行证明．
1．一个正多边形的内角和为540°则这个多边形的每一个外角等于()．108°
2．如图在ABCD中是∠ABC的平分线交CD于点M且MC＝2的周长是14则DM等于(C)
A．1．．3．如图在四边形ABCD中相交于点O请你添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形你所添加的条件是＝BC(或AB∥CD或∠ABC＝∠ADC或∠BAD＝∠BCD或AO＝CO或BO＝DO)．
4．(2016·河南)如图，在ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数为110°．
5．(2016·连云港)如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝75°．
【解析】因为正十二边形每条边所对的外接圆的圆心角即中心角为＝30°，所以弧A3A7A10所对的圆心角为30°×5＝150°.根据圆周角定理，得∠A3A7A10＝×150°＝75°.
6．如图在ABCD中为BC边上一点且AB＝AE.(1)求证：△ABC≌△EAD；(2)若AE平分∠DAB＝25求∠AED的度数．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形＝BC．＝∠AEB．∵AB＝AE＝∠B．∴∠B＝∠DAE.∵在△ABC和△EAD中
∴△ABC≌△EAD．
(2)解：∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE.
又∵∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB＝∠B．
∴△ABE为等边三角形．∴∠BAE＝60°.
∵∠EAC＝25°，
∴∠BAC＝85°.∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED＝∠BAC＝85°.
一、选择题(每小题4分共44分)1．(2016·广安)若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是()B．10C．35D．70
【解析】∵一个正n边形的每个内角为144°，∴144n＝180×(n－2)，解得n＝10.∴这个正n边形的所有对角线的条数是＝＝35.故选C．
2．(2016·凉山州)一个多边形切去一个角后形成的另一个多边形的内角和为1080那么原多边形的边数为()B．7或8C．8或9D．7或8或9【解析】设内角和为1080°的多边形的边数是n则(n－2)·＝1080°解得n＝8则原多边形的边数为7或8或9.故选3．(2016·十堰)如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°……照这样走下去，A点时一共走的路程是()【导学号90280216】
A．140米B．150米C．160米D．240米
【解析】∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，∴多边形的边数为360°÷24°＝15，∴小明一共走了15×10＝150(米)．故选B．
B
4．如图的对角线AC相交于点O则下列说法一定正确的是()
A．AO＝OD＝OC．
5．(2016·泸州)如图的对角线相交于点且＋＝16＝6则△的周长是()
A．10B．14C．20D．22
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形＝CO＝＝AB＝6.∵AC＋BD＝16＋BO＝8的周长是14.故选6．(2016·绍兴)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃他带了两块碎玻璃其编号应该是()
【导90280217】①④C．③④D．②③
【解析】∵只有②③两块角的两边互相平行角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点带②③两块碎玻璃就可以确定平行四边形的大小．故选7．(2016·淄博)如图的面积为16点D是BC边上一点且BD＝点G是AB上一点点H在△ABC内部且四边形BDHG是平行四边形．则图中阴影部分的面积是()【导学号90280218】
【解析】设△ABC底边BC上的高为h底边GH上的高为h底边GH上的高为h则有h＝＋＝＝16阴影S△AGH＋S△CGH＝＋＝(h1＋h)＝∵四边形BDHG是平行四边形且BD＝＝＝阴影＝＝ABC＝故选8．(2016·泰安)如图在ABCD中＝6＝8的平分线交AD于E交BA的延长线于F则AE＋AF的值等于()
A．2B．3C．4D．6
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形＝BC＝8＝AB＝6＝DCF.∵CF是C的平分线＝DCF，∴∠F＝FCB，∴BF＝＝同理DE＝CD＝6.AF＝BF－AB＝2＝AD－DE＝2＋AF＝4.故选9．(2016·河北)如图将ABCD沿对角线AC折叠使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44则∠B为()
A．66°B．104°C．114°D．124°
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC．由折叠的性质，得BAC＝∠B′AC，∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，∴∠B＝180°－∠2－∠BAC＝180°－44°－22°＝114°.故选C．
10．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，∠AED＝60°，则一定有()
【导学号90280219】
A．∠ADE＝20°B．∠ADE＝30°
C．∠ADE＝∠ADCD．∠ADE＝∠ADC
【解析】如图，∵∠ADE＝180°－A－AED＝120°－A，∠ADC＝360°－∠A－B－∠C＝360°－3∠A＝3∠ADE，∴∠ADE＝∠ADC．故选D．
【答案】D
11．如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE.下列结论：①∠CAD＝30°；②S?ABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④OE＝BC．成立的个数有()
【导学号90280220】
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°.∵AE平分BAD，∴∠BAE＝∠EAD＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE.∵AB＝BC，∴AE＝BC，∴∠BAC＝90°，∴∠CAD＝30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S?ABCD＝AB·AC，故②正确；∵AB＝BC，OB＝BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误；
∵CE＝BE，CO＝OA，∴OE＝AB，∴OE＝BC，故④正确．综上可知，正确的为①②④.故选C．
【答案】C
二、填空题(每小题4分，共20分)
12．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件BO＝DO(或∠DAO＝∠BCO或∠ADO＝∠CBO或∠BAO＝∠DCO或∠ABO＝∠CDO，或AD∥BC或AB∥CD)(只添一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．
13．(2016·资阳)如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝36°．
【解析】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠B＝108°，AB＝CB，∴∠ACB＝(180°－108°)÷2＝36°.
14．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当＝时，四边形ADFE是平行四边形．【导学号90280221】
【解析】若四边形ADFE是平行四边形，则EF＝AD＝AC．∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，AF＝AB＝AE.由勾股定理可得EF＝AF，∴＝＝＝.
【答案】
15．(2016·江西)如图所示，在ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠ABF＝∠C＝40°.∵EF⊥BF，∴∠F＝90°，∴∠BEF＝90°－40°＝50°.
【答案】50°
16．(2016·无锡)如图，已知OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为．【导学号90280222】
【解析】当B在x轴上时，对角线OB的长最小，如图所示，直线x＝1与x轴交于点D，直线x＝4与x轴交于点E，
根据题意，得ADO＝CEB＝90°，OD＝1，OE＝4.
∵四边形ABCO是平行四边形，∴OA∥BC，OA＝BC，∴∠AOD＝CBE，∴△AOD≌△CBE(AAS)，∴OD＝BE＝1，∴OB＝OE＋BE＝5.
【答案】5
三、解答题(共36分)
17．(6分)(2016·河北)已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.
(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由；
解：∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3……90°，
∴甲的说法对，乙的说法不对，
360°÷180°＋2＝2＋2＝4.
答：甲同学说的边数n是4.
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
解：依题意，有(n＋x－2)×180°－(n－2)×180°＝360°，解得x＝2.
18．(6分)(2016·宿迁)如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AB，BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE＝CF.
证明：∵ED∥BC，EF∥AC，
∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE＝CF.
∵BD平分ABC，∴∠EBD＝DBC．
∵DE∥BC，∴∠EDB＝DBC，∴∠EBD＝EDB，
∴BE＝DE，∴BE＝CF.
19．(6分)(2016·陕西)如图，在ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连接AF，CE.求证：AF∥CE.
【导学号90280223】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠1＝2.
∵BF＝DE，∴BF＋BD＝DE＋BD，即DF＝BE.
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴∠AFD＝CEB，∴AF∥CE.
20．(8分)(2016·永州)如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.【导学号90280224】
(1)求证：BE＝CD；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴E＝DAE.
∵AE是BAD的平分线，∴∠BAE＝DAE，
∴∠BAE＝E，∴AB＝BE，∴BE＝CD．
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°，
∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝4.
∵BF⊥AE，∴AF＝EF＝2，
∴BF＝＝＝2.
∵AD∥BC，∴∠D＝ECF，∠DAF＝E，
在△ADF和△ECF中，
∴△ADF≌△ECF(AAS)，
∴△ADF的面积＝△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝AE·BF＝×4×2＝4.
21．(10分)(2016·滨州)如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG.【导学号90280225】
(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；
解：四边形EBGD是菱形．
理由：∵EG是BD的垂直平分线，∴BE＝DE，GB＝GD，∠EFB＝∠GFB＝90°.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．
在△BFE和△BFG中
∴△BFE≌△BFG.∴BE＝BG.
∴BE＝BG＝GD＝DE.
∴四边形EBGD是菱形．
(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2，点H是BD上的一个动点，求HG＋HC的最小值．
解：如图，连接EC交BD于点H，此时HG＋HC的值最小，且最小值为EC的长度．分别过点E，D作EM⊥BC，DN⊥BC垂足分别是M，N.
∵EM⊥BC，DN⊥BC，
∴EM∥DN.
∵四边形EBGD是菱形，
∴EB＝ED＝2.
在Rt△BEM中，∠ABC＝30°，
∴EM＝BE＝.
∵四边形EBGD是菱形，∴ED∥BC．
又∵EM∥DN，∴EMND是平行四边形．
∴ED＝MN＝2，EM＝DN＝.
在Rt△CDN中，∠C＝45°，
∴CN＝DN＝.
∴MC＝MN＋CN＝3.
在Rt△EMC中，由勾股定理，得
EC＝＝＝10，
∴HG＋HC的最小值为10.
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