第23讲相似三角形
考点一相似三角形的定义如果两个三角形的各角对应相等各边对应成比例那么这两个三角形相似．考点二相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等对应边．2．相似三角形对应线段的比等于相似比；相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．3．相似三角形的周长相似比面积之比等于相似比的平方．
温馨提示：
运用相似三角形的性质要特别注考点三相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边(或其他两边的延长线)相交所构成的三角2．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．3．两角对应相等的两个三角形相似．4．三边对应成比例的两个三角形相似．温馨提示：
直角三角形相似的判定：(1)两直角边对应成比例的两个直角三角形相似；(2)有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；(3)有一斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似；(4)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．
考点四利用相似三角形解决实际问题在实际生活中利用影子测量树高、楼房高以及利用反射构造相似等问题常常用到相似三角形的性质来解决．
考点一相似三角形的性质例1(2016·兰州)已知△ABC∽△DEF若△ABC与△DEF的相似比为则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为()B．C．D．
【点拨】根据相似三角形对应中线的比等于相似比可得△ABC与△DEF对应边上的中线的比为故选【答案】相似三角形对应线段的比、对应边的比、周长之比都等于相似比面积之比等于相似比的平方．考点二相似三角形的判定和性质例2(2016·怀化)如图为锐角三角形是BC边上的高正方形EFGH的一边FG在BC上顶点E分别在AB上已知BC＝40＝30(1)求证：△AEH∽△ABC；(2)求这个正方形的边长与面积．
【点拨】(1)根据EH∥BC即可证明；(2)如图设AD与EH交于点M首先证明四边形EFDM是矩形设正方形的边长为x再利用△AEH∽△ABC得＝列出方程即可求解．
(1)证明：∵四边形EFGH是正方形＝∠B＝∠C
(2)解：如图设AD与EH交于点M.
∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，
∴四边形EFDM是矩形，∴EF＝DM.
设正方形EFGH的边长为x，
∵△AEH∽△ABC，∴＝，
∴＝，∴x＝.
∴正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2.
方法总结：
判定两个三角形相似时方法有多种要结合题目给出的条件和图形中隐含的条件确定合适的方法．常用的方法：(1)两个角对应相等；(2)平行线法．考点三相似三角形的应用例3如图为山两侧的两个村庄为了两村交通方便根据国家的惠民政策政府决定打一直线涵洞工程人员为计算工程量必须计算M两点之间的直线距离选择测量点A点B分别在AM上现测得AM＝1千米、AN＝18千米＝米、＝45米、AC＝30米求M两点之间的直线距离．【点拨】本题考查了相似三解：连接MN千米＝1000米千米＝1800米＝＝＝＝＝
又∵∠BAC＝∠NAM＝即＝＝1500.答：M两点之间的直线距离为1500米．
方法总结：
在实际生活中处处存在相似三角形．相似三角形的应用体现在(1)同一时刻物高与影长的问题；(2)利用相似测量无法直接测量的距离；(3)利用相似进行图形设计等．1．(2016·兰州)如图在△ABC中＝则＝()
2．(2016·重庆)△ABC与△DEF的相似比为1∶4则△ABC与△DEF的周长比为()3．如图在△ABC中＝9＝6是∠ABC的平分线那么△DCE的面积与四边形的面积之比是()4．如图点P在△ABC的边AC上要判断△ABP∽△ACB添加一个条件不正确的是()
A．∠ABP＝∠C．＝∠ABC＝＝
5．如图点P是边长为4的正方形ABCD内一点且PB＝3垂足是点B若在射线BF上找一点M使以点B为顶点的三角形与△ABP相似则BM的值为或3．
6．如图中是边AB上的高且CD＝AD·DB．(1)求证：△ACD∽△CBD；(2)求∠ACB的大小．
(1)证明：∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°.
∵CD2＝AD·DB，即＝.
∴△ACD∽△CBD．
(2)解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A＝∠BCD．
在△ACD中，∵∠ADC＝90°，
∴∠A＋∠ACD＝90°，
∴∠BCD＋∠ACD＝90°，
即∠ACB＝90°.
一、选择题(每小题3分，共33分)
1．(2016·兰州)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为()
A．B．C．D．
【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为.相似三角形的对应中线的比等于相似比，则△ABC与△DEF对应中线的比为.故选A．
【答案】A
2．(2016·盐城)如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有()
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC,∴△AEF∽△BCF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．故选C．
【答案】C
3．(2016·河北)如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()
【导学号90280255】
【解析】A．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合；B．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合；C．两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合；D．两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合．故选C．
【答案】C
4．(2016·随州)如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△CDE的比是()
A．1∶3B．1∶4C．1∶5D．1∶25
【解析】∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA．又∵S△DOE∶S△COA＝1∶25，∴＝.∵DE∥AC，∴＝＝，∴＝，∴S△BDE与S△CDE的比是1∶4.故选B．
【答案】B
5．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是(D)
A．∠ABD＝∠ACBB．∠ADB＝∠ABC
C．AB2＝AD·ACD．＝
6．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形．点D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝9，BD＝3，则CF等于()A．1B．2C．3D．4
【解析】∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，∠E＝∠EAD＝60°，∴∠B＝∠E，∠BAD＝∠EAF.∴△ABD∽△AEF.∴AB∶BD＝AE∶EF.同理可证△CDF∽△EAF，∴CD∶CF＝AE∶EF.∴AB∶BD＝CD∶CF，即9∶3＝(9－3)∶CF，∴CF＝2.故选B．
【答案】B
7．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是()
A．＝B．＝
C．＝D．＝
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BF，BE∥DC，AD＝BC．∴＝，＝，＝＝.故选C．
【答案】C
8．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子没有全落在地面上，有一部分影子落在了教学楼的墙壁上(如图)，
她先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面上的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是()【导学号90280256】
A．3.25mB．4.25mC．4.45mD．4.75m
【解析】如图，设BD是BC在地面上的影子，树高为xm，根据竹竿的高与其影长的比值和树高与其影长的比值相同，得＝，
∵CB＝1.2m，∴BD＝0.96m．∴树在地面上的实际影长是0.96＋2.6＝3.56(m)．设树高是xm，则＝，∴x＝4.45，∴树高是4.45m．故选C．
【答案】C
9．(2016·安徽)如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为()
A．4B．4C．6D．4
【解析】∵BC＝8，∴CD＝4，在△CBA和△CAD中，∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CBA∽△CAD，∴＝，∴AC2＝CD·BC＝4×8＝32，∴AC＝4.故选B．
【答案】B
10．如图，在矩形ABCD中，F是DC上的一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE＝3，AE＝2，则MF的长是()【导学号90280257】
A．B．C．1D．
【解析】∵AE平分∠BAF，且DE⊥AF，∠B＝90°，∴BE＝EM＝3.由勾股定理，可得AB＝AM＝＝＝.设EC＝x(x＞0)，利用勾股定理，可得ED＝＝，∴DM＝－3.在Rt△AMD中，AM2＋DM2＝AD2，即15＋(－3)2＝(x＋3)2，解得x＝1.可得DM＝1.易知∠DAM＋∠ADM＝90°，∠ADM＋∠MDF＝90°，∴∠DAM＝∠MDF.∴△DMF∽△AMD，∴＝，即＝，解得MF＝.故选D．
【答案】D
11．(2016·深圳)如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；AD2＝FQ·AC．
其中正确的结论的个数是()
【导学号90280258】
A．1B．2C．3D．4
【解析】∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，∴∠CAD＋∠FAG＝90°.∵FG⊥CA，∴∠C＝90°＝∠ACB，∴∠CAD＝∠AFG，在△FGA和△ACD中，∴△FGA≌△ACD(AAS)．∴AC＝FG，①正确；∵BC＝AC，∴FG＝BC，∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF＝90°，S△FAB＝FB·FG＝S四边形CBFG，②正确；∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，∴∠ABC＝∠ABF＝45°，③正确；∵∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC∶AD＝FE∶FQ，∴AD·FE＝AD2＝FQ·AC，正确．故选D．
【答案】D
二、填空题(每小题4分，共24分)
12．(2016·衡阳)若△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16，则△ABC与△DEF的周长之比为5∶4．
【解析】∵△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16，∴△ABC与△DEF的相似比为5∶4，∴△ABC与△DEF的周长之比为5∶4.
13．(2016·临沂)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB．若AB＝8，BD＝3，BF＝4，则FC的长为．
【解析】∵DE∥BC，EF∥AB，∴＝＝，∵AB＝8，BD＝3，BF＝4，∴＝，解得FC＝.
【答案】
14．一副三角尺叠放如图，则△AOB与△DOC的面积之比为．
【解析】∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC．∵在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，∴＝，∴＝.∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB∥DC，∴∠ABO＝∠D．∴△AOB∽△COD．∴S△AOB∶S△COD＝AB2∶DC2＝1∶3.
【答案】1∶3
15．(2016·遵义)如图，AC⊥BC，AC＝BC，D是BC上一点，连接AD，与∠ACB的平分线交于点E，连接BE.若S△ACE＝，S△BDE＝，则AC＝．
【导学号90280259】
【解析】如图，过E作AC，BC的垂线，垂足分别为F，G，
设BC＝4x，则AC＝4x，∵CE是∠ACB的平分线，∴EF＝EG.又∵S△ACE＝，S△BDE＝，∴BD＝AC＝x,∴CD＝3x.∵四边形EFCG是正方形，∴EF＝FC．∵EF∥CD,∴＝，即＝，解得EF＝x，则×4x×x＝，解得x＝，则AC＝4x＝2.
【答案】2
16．已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是(写出一个即可)．
【解析】分两种情况讨论：①若△AEF∽△ABC，则AE∶AB＝AF∶AC，即1∶2＝AF∶AC，∴AF＝AC；②若△AEF∽△ACB(如图)，∴∠AFE＝∠B．∴要使以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF＝AC或∠AFE＝∠B．
【答案】AF＝AC或∠AFE＝∠B
17．(2016·宜宾)如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点(不含B，C两点)，将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有(写出所有正确结论的序号)．【导学号90280260】
①△CMP∽△BPA；②四边形AMCB的面积最大值为10；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；线段AM的最小值为2；⑤当△ABP≌△ADN时，BP＝4－4.
【解析】∵∠APB＝∠APE，∠MPC＝∠MPN，∠CPN＋∠NPB＝180°，∴2∠NPM＋2∠APE＝180°，∴∠MPN＋∠APE＝90°，∴∠APM＝90°.∵∠CPM＋∠APB＝90°，∠APB＋∠PAB＝90°，∴∠CPM＝∠PAB．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝DC＝AD＝4，∠C＝∠B＝90°，∴△CMP∽△BPA．故①正确；设PB＝x，则CP＝4－x，∵△CMP∽△BPA，∴＝，∴CM＝x(4－x)，∴S四边形AMCB＝×4＝－x2＋2x＋8＝－(x－2)2＋10，∴x＝2时，四边形AMCB的面积最大值为10，故②正确；当PB＝PC＝PE＝2时，设ND＝NE＝y，在Rt△PCN中，(y＋2)2＝(4－y)2＋22，解得y＝，∴NE≠EP，故③错误；如图，作MG⊥AB于G，
∵AM＝＝，∴AG最小时AM最小．∵AG＝AB－BG＝AB－CM＝4－x(4－x)＝(x－2)2＋3，∴x＝2时，AG最小＝3，∴AM的最小值＝＝5，故错误；∵△ABP≌△ADN，∴∠PAB＝∠DAN＝22.5°，在AB上取一点K使得AK＝PK，设PB＝z，∴∠KPA＝∠KAP＝22.5°.∵∠PKB＝∠KPA＋∠KAP＝45°，∴∠BPK＝∠BKP＝45°，∴PB＝BK＝z，AK＝PK＝z，∴z＋z＝4，∴z＝4－4，∴PB＝4－4，故⑤正确．故正确的结论有①②⑤.【答案】①②⑤
三、解答题(共43分)
18．(9分)(2016·南京)如图，在ABCD中，E是AD上一点，延长CE到点F，使∠FBC＝∠DCE.
【导学号90280261】
(1)求证：∠D＝∠F；
证明：设BF交AD于G，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠FBC＝∠FGE,而∠FBC＝∠DCE,
∴∠FGE＝∠DCE.
又∵∠GEF＝∠DEC，
根据三角形内角和定理，得∠D＝∠F.
(2)用直尺和圆规在AD上作出一点P，使△BPC∽△CDP(保留作图的痕迹，不写作法)．
解：如图，点P为所作．
19．(10分)(2016·杭州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B．射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝.
(1)求证：△ADF∽△ACG；
证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠DAE，∴∠ADF＝∠C,
∵＝，∴△ADF∽△ACG.
(2)若＝，求的值．
解：∵△ADF∽△ACG,
∴＝，又∵＝，
∴＝，∴＝1.
20．(12分)(2016·广州)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴交于点C，与直线AD交于点A，点D的坐标为(0，1)．
【导学号90280262】
(1)求直线AD的解析式；
解：设直线AD的解析式为y＝kx＋b,
将A，D(0，1)代入得
解得
故直线AD的解析式为y＝x＋1.
(2)直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点(不与点B重合)，当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．解：∵直线AD与x轴的交点为B(－2，0)，∴OB＝2.
∵点D的坐标为(0，1)，∴OD＝1.
∵y＝－x＋3与x轴交于点C(3，0)，
∴OC＝3，∴BC＝5.
如图，△BOD与△BCE相似，分两种情况：
CE⊥AB或CE⊥BC，
∴＝＝或＝，
∴＝＝或＝，
∴BE＝2，CE＝或CE＝，
∴E(2，2)或.
21．(12分)如图1，在四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点．过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接GA，GB，GC，GD，EF.若∠AGD＝∠BGC．【导学号90280263】
(1)求证：AD＝BC；
证明：∵GE是AB的垂直平分线，
∴GA＝GB，同理GD＝GC．在△AGD和△BGC中，
∵GA＝GB，∠AGD＝∠BGC，GD＝GC，
∴△AGD≌△BGC，∴AD＝BC．
(2)求证：△AGD∽△EGF；
证明：∵∠AGD＝∠BGC，∴∠AGB＝∠DGC．
∵＝，∴△AGB∽△DGC，∴＝.
又∵∠AGE＝∠DGF，
∴∠AGD＝∠EGF，∴△AGD∽△EGF.
(3)如图2，若AD，BC所在的直线互相垂直，求的值．
解：如图，延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH.
由△AGD≌△BGC，知∠GAD＝∠GBC．
在△GAM和△HBM中，
∠GAD＝∠GBC，∠GMA＝∠HMB．
∴∠AGB＝∠AHB＝90°.∴∠AGE＝∠AGB＝45°.∴＝.又∵△AGD∽△EGF，∴＝＝.
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