第27讲图形的平移与旋转
考点一平移1．在平面内一个图形由一个位置沿某一直线方向移动到另一个位置这样的图形运动叫做平移．2．平移的性质(1)通过平移得到的图形与原来的图形是全等形；(2)在平面内一个图形经过平移后得到的图形与原来图形的对应线段相等对应角相等各对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等．1．平移要素：(1)平移方向；(2)平移距离．平移只改变图形的位置不改变图形的形状和大小．
3．画平移图形必须找出平移的方向和距离其依据是平移的性质．
考点二旋转1．把O转动一个角度就叫做图形的旋转点O叫做旋转中心转动的角叫做．如果图形上的点P经过旋转变为点P′那么这两个点叫做这个旋转的对应点．2．旋转的性质(1)在平面内经旋转后得到的图形与原来的图形是全等形；(2)在平面内一个图形经旋转后得到的图形旋转中心的距离相等；每对对应点与旋转中心所连线段的夹角都是相等的角它们都是旋转角．
温馨提示：
1．旋转的三要素：(1)旋转中心；(2)旋转方向；(3)旋转角度．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点连线的垂直平分线其交点即为旋转中心．中心对称是特殊的旋转对称．
4．旋转作图步骤：(1)分析题目要求找出旋转中心、旋转方向和旋转角；(2)分析所作图形找出3)沿一定的方向按一定的角度通过截取线段的方法作出各个关键点；(4)连接作出的各个关键点并标上相应字母；(5)写出结论．考点一平移的性质例1(2016·泰州)如图，△ABC中，BC＝5cm，将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置时，A′B′恰好经过AC的中点O，则△ABC平移的距离为cm.
【点拨】∵将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置，∴A′B′∥AB．∵O是AC的中点，∴B′是BC的中点，∴BB′＝BC＝2.5(cm)．故△ABC平移的距离为2.5cm.
【答案】
方法总结：
平移前后的两个图形是全等形平移前后的两个图形上的对应点之间的距离为平移的距离平移前后的两个图形的对应线段互相平行且相等．考点二旋转的性质例2(2016·宜宾)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为()
B．2C．3D．2
【点拨】连接BD，由题意可知△BDE是直角三角形．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5.将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE＝AC＝4，DE＝BC＝3，∴BE＝1．在Rt△BDE中，BD＝＝.故选A．
【答案】
方法总结：
旋转前后的两个图形是全等形旋转前后的两个图形上的对应点到旋转中心的距离相等旋转前后的两个图形的对应点与旋转中心构成的角为旋转角．考点三平移和旋转作图例3(2016·黔南州)如图所示正方形网格中为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上)：
(1)把△ABC沿BA方向平移请在网格中A移动到点A时的△A；(2)把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°后得到△A2B2C2，如果网格中小正方形的边长为1，求点B1旋转到B2的路径长．
【点拨】(1)平移的方向是沿BA方向，当点A移动到点A1时即可得到△A1B1C1；(2)分别旋转A1C1，A1B1，然后连接B2C2即可得到求作的△A2B2C2；旋转角度为90°，根据勾股定理求出A2B2的长，根据弧长公式即可得到路径长．
解：(1)如图所示为所求三角形．(2)如图所示为所求三角形．
∵A1B1＝＝，
∴点B1旋转到B2的路径长：l＝＝.
1．(2016·新疆)如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的度数是(D)
A．60°B．90°C．120°D．150°
2．(2016·雅安)已知△ABC顶点的坐标分别是A(0)，B(－3－3)(1，0)，将△ABC平移后顶点A的对应点A的坐标是(4)，则点B的对应点B的坐标为()(7，1)B．(1)
C．(1)D．(2)
3．(2016·贺州)如图将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′那么A(－2)的对应点A′的坐标是()(2，5)
B．(5)
C．(2－5)D．(5－2)【解析】线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，由旋转的性质得△ABO≌△A′B′O，∠AOA′＝90°，∴AO＝A′O.如图所示，作AC⊥y轴于点C，A′C′⊥x轴于点C′，
∴∠ACO＝∠A′C′O＝90°.∵∠COC′＝90°，∴∠AOA′－∠COA′＝∠COC′－∠COA′，∴∠AOC＝∠A′OC′.在△ACO和△A′C′O中，
∵
∴△ACO≌△A′C′O(AAS)，
∴AC＝A′C′，CO＝C′O.∵A(－2，5)，∴AC＝2，CO＝5，∴A′C′＝2，C′O＝5，∴A′(5，2)．故选B．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝8，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF.若四边形ABED的面积等于8，则平移的距离等于(A)
．．．
5．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为(D)
．．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝4cm，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为4cm2．
7．如图方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形每个小正方形的顶点叫格点和△DEF的顶点都在格点上结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
(1)画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A1B1C1；
(2)画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1；
(3)△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请直接写出对称轴所在直线的解析式．
解：(1)△A如图所示．(2)△D1E1F1如图所示．
(3)△A1B1C1和△D组成的图形是轴对称图形对称轴所在直线的解析式为y＝x或y＝－x－2.
一、选择题(每小题4分，共44分)
1．(2016·长沙)若将点A(1，3)向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为()
A．(－2，－1)B．(－1，0)
C．(－1，－1)D．(－2，0)
【解析】∵点A(1，3)向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，∴点B的横坐标为1－2＝－1，纵坐标为3－4＝－1，∴B的坐标为(－1，－1)．故选C．
【答案】C
2．(2016·青岛)如图，线段AB经过平移得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为点A′，B′，这四个点都在格点上．若线段AB上有一个点P(a，b)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为()
【导学号90280304】
A．(a－2，b＋3)B．(a－2，b－3)
C．(a＋2，b＋3)D．(a＋2，b－3)
【解析】平移法则：“左加右减”.由于线段AB向左平移了2个单位，向上平移了3个单位，则P(a，b)的对应点为P′(a－2，b＋3)．故选A．
【答案】A
3．如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为(C)
A．35°B．40°C．50°D．65°
4．(2016·长春)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小为()
A．42°B．48°C．52°D．58°
【解析】∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，∴∠A′＝∠BAC＝90°，∠ACA′＝48°，∴∠B′＝90°－∠ACA′＝42°.故选A．
【答案】A
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为()
A．30°B．60°C．90°D．150°
【解析】∵ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°.由旋转的性质可得A′C＝AC，∴△AA′C是等边三角形，∴∠ACA′＝60°，即旋转角是60°.故选B．
【答案】B
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，那么点A的对应点A1的坐标为()
A．(4，3)B．(2，4)
C．(3，1)D．(2，5)
【解析】先把A(－2，6)向右平移4个单位，对应坐标为(2，6)，再向下平移1个单位对应点A1的坐标为(2，5)．故选D．
【答案】D
7．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是()
【导学号90280305】
A．甲种方案所用铁丝最长
B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长
D．三种方案所用铁丝一样长
【解析】三个图形通过平移线段都可以得到边长为a，b的矩形，其周长相等，∴用的铁丝的长度一样．故选D．
【答案】D
8．(2016·无锡)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是()【导学号90280306】
A．B．2C．3D．2【解析】∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴∠A＝60°，AB＝4，BC＝2.∵CA＝CA1，∴△ACA1是等边三角形，AA1＝AC＝BA1＝2，∴∠A1CB＝∠A1BC＝30°，∠BCB1＝∠ACA1＝60°.∵CB＝CB1，∴△BCB1是等边三角形，
∴BB1＝2，又∵BA1＝2，∠A1BB1＝∠A1BC＋∠CBB1＝90°，BD＝DB1＝，∴A1D＝＝.故选A．【答案】A
9．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A，B的坐标分别为(1，0)，(5，0)．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线l：y＝2x－5上时，线段BC扫过的面积为()【导学号90280307】
A．3B．8C．9D．4【解析】如图，∵点A，B的坐标分别为(1，0)，(5，0)，∴AB＝4.∵∠CAB＝90°，BC＝5，∴AC＝3.∴A′C′＝3.∵点C′在直线y＝2x－5上，∴2x－5＝3，解得x＝4，即OA′＝4.∴CC′＝4－1＝3.∴S?BCC′B′＝3×3＝9.即线段BC扫过的面积为9.故选C．
【答案】C
10．(2016·济宁)如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是()
A．16cmB．18cmC．20cmD．21cm
【解析】∵△ABE向右平移2cm得到△DCF，∴EF＝AD＝2cm，AE＝DF.∵△ABE的周长为16cm，∴AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋DF＝16(cm)，∴四边形ABFD的周长＝AB＋BE＋DF＋EF＋AD＝16＋2＋2＝20(cm)．故选C．
【答案】C
11．如图，已知?ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′.若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，则∠DA′E′的大小为()
【导学号90280308】
A．130°B．150°C．160°D．170°
【解析】∵∠ADC＝60°，∴∠DCB＝120°，∠ABC＝60°.∵AE⊥BC，∴∠BAE＝30°.由旋转的性质得∠BA′E′＝∠BAE＝30°.∵∠ADA′＝50°，∴∠A′DC＝10°，∴∠DA′B＝∠DCB＋∠A′DC＝130°.∴∠DA′E′＝∠DA′B＋∠BA′E′＝130°＋30°＝160°.故选C．
【答案】C
二、填空题(每小题5分，共20分)
12．(2016·广安)将点A(1，－3)沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移5个单位长度后得到的点A′的坐标为(－2，2)．
【解析】∵点A(1，－3)沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移5个单位长度后得到点A′，∴点A′的横坐标为1－3＝－2，纵坐标为－3＋5＝2，∴A′的坐标为(－2，2)．
13．(2016·台州)如图，把三角尺的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC′＝5．
【解析】∵把三角尺的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，∴三角板向右平移了5个单位，∴顶点C平移的距离CC′＝5.
14．(2016·荆门)两个全等的三角尺重叠摆放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转到△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F.已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝8cm，则CF＝cm.
【导学号90280309】
【解析】∵将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，∴DC＝AC，∴∠D＝∠DAC＝∠CAB．∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，∴∠D＝∠DAC＝∠CAB＝60°，∴∠DCA＝60°，∴∠ACF＝30°，可得∠AFC＝90°.∵AB＝8cm，∴AC＝4cm，∴FC＝4cos30°＝2(cm)．
【答案】215．如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为．
【解析】菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，得D点坐标为(1，1)．每秒旋转45°，则第60秒时，45°×60＝2700°，2700°÷360＝7.5(周)，即OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．
【答案】(－1，－1)
三、解答题(共36分)
16．(12分)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC(顶点是网格线的交点)．
(1)先将△ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2,请画出△A2B1C2；
(3)线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为π．
分析：(1)选择关键点A，B，C，按照平移的规律进行平移，得到对应点A1，B1，C1，连接此三点即可；(2)根据旋转的性质得出对应点旋转后的位置进而得出答案；(3)线段B1C1变换到B1C2扫过的面积是以点C为圆心、3为半径、圆心角是90°的扇形，再利用扇形面积公式求出即可．
解：(1)△A1B1C1如图所示．
(2)△A2B1C2如图所示．
(3)线段B1C1变换到B1C2时，扫过的区域是以点B1为圆心、B1C1长为半径的扇形，圆心角为90°，∴其面积为＝π.
点评：本题考查了平移与旋转作图，关键是作出三个顶点的对应点，然后顺次连接即可．
17．(12分)(2016·荆门)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，AC上，CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF.【导学号90280310】
(1)补充完成图形；解：补全图形，如图所示．
(2)若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°.
证明：由旋转的性质得∠DCF＝90°，
∴∠DCE＋∠ECF＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠DCE＋∠BCD＝90°，
∴∠ECF＝∠BCD．
∵EF∥DC，∴∠EFC＋∠DCF＝180°，∴∠EFC＝90°.
在△BDC和△EFC中，
∴△BDC≌△EFC(SAS)，∴∠BDC＝∠EFC＝90°.
18．(12分)(2016·荆州)如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，
再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于点E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．【导学号90280311】
解：当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′.理由如下：
∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD＝DA＝DB，∴∠DAC＝∠DCA．
∵A′C′∥AC，∴∠DA′E＝∠A，∠DEA′＝∠DCA，
∴∠DA′E＝∠DEA′，∴DA′＝DE，
∴△A′DE是等腰三角形．
∵四边形DEFD′是菱形，
∴EF＝DE＝DA′，EF∥DD′，
∴∠C′EF＝∠DA′E，∠EFC′＝∠C′D′A′.
∵CD∥C′D′，∴∠A′DE＝∠A′D′C′＝∠EFC．
在△A′DE和△EFC′中，
∴△A′DE≌△EFC′.
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