专题06函数的图像与性质
一、选择题
1.（2017浙江衢州市第8题）如图，在直角坐标系中，点A在函数的图象上，AB⊥轴于点B，AB的垂直平分线与轴交于点C，与函数的图象交于点D。连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（）
A.2B.C.4D.
【答案】C．
考点：反比例函数系数k的几何意义.下列函数中，对于任意实数，，当＞时，满足＜的是（）
A．y=-3x+2B．y=2x+1C．y=2x2+1D．
【答案】A
【解析】
试题分析：A．y=-3x+2，k=-3,y与x变化相反，正确；
B．y=2x+1，k=2，y与x变化一致，错误；
C．y=2x2+1，在对称轴左边，y与x变化相反，在对称轴右边，y与x变化一致，错误；
D．，在每个象限，y与x变化一致，错误；
故选A.
考点:函数的增减性公式表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度.表示弹簧的初始长度,用厘米(cm)表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧的长度，用厘米(cm)表示。下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（）
A．L=10+0.5PB．L=10+5PC．L=80+0.5PD．L=80+5P
【答案】A
【解析】
试题分析：A和B中，L0=10，表示弹簧短；A和C中，K=0.5，表示弹簧硬；
故选A
考点:一次函数的应用抛物线(常数)的顶点在()
A.第一象限 B.第二象限 C.第象限 D.第象限
=（x-1）≥0
∴m2+1≥1
∴抛物线(常数)的顶点在在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，观察图象可得（）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【答案】A
考点：一次函数图象与系数的关系．
6.（2017甘肃庆阳第10题）如图①，在边长为4的正方形ABCD中，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿AB→BC的路径运动，到点C停止．过点P作PQ∥BD，PQ与边AD（或边CD）交于点Q，PQ的长度y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图②所示．当点P运动2.5秒时，PQ的长是（）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【答案】B．
【解析】
试题解析：点P运动2.5秒时P点运动了5cm，CP=8-5=3cm，由勾股定理，得PQ=cm，故选B．
考点：动点函数图象问题.
7.（2017广西贵港第10题）将如图所示的抛物线向右平移单位长度，再向上平移单位后，得到的抛物线解析式是
A．B．
C.D．
【答案】C
【解析】
试题解析：由图象，得y=2x2﹣2，
由平移规律，得y=2（x﹣1）21，
故选：C．
二次函数y=ax2bx+c（0）的图象如图，给出下列四个结论：4ac﹣b20；3b+2c＜0；4a+c＜2b；m（amb）b＜a（m1），其中结论正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
B．图象与x轴有两个交点，
方程ax2bx+c=0有两个不相等的实数根，
b2﹣4ac0，
4ac﹣b20，
正确；
﹣=﹣1，
b=2a，
a+b+c＜0，
b+b+c＜0，3b2c＜0，
是正确；
当x=﹣2时，y0，
4a﹣2bc＞0，
4a+c＞2b，
错误；
由图象可知x=﹣1时该二次函数取得最大值，
a﹣bc＞am2+bm+c（m﹣1）．
m（amb）a﹣b．故错误
正确的有两个，
故选B．
二次函数图象与系数的关系．一次函数图象经过点且与、分别交于点，则面积是()
A. B. C.4 D.8
一次函数y=﹣2xm的图象经过点P（﹣2，3），
3=4+m，
解得m=﹣1，
y=﹣2x﹣1，
当x=0时，y=﹣1，
与y轴交点B（0，﹣1），
当y=0时，x=﹣，
与x轴交点A（﹣，0），
AOB的面积：×1×=．
故选B．
如图，两点在反比例函数图象上，两点在反比例函数图象上，于点轴于点，，，则值是()
A.6 B.4 C.3 D.2
【答案】D
【解析】
试题解析：连接OA、OC、OD、OB，如图：
由反比例函数的性质可知SAOE=S△BOF=|k1|=k1，SCOE=S△DOF=|k2|=﹣k2，
S△AOC=S△AOE+S△COE，
AC?OE=×2OE=OE=（k1﹣k2）…，
S△BOD=S△DOF+S△BOF，
BD?OF=×（EF﹣OE）=（3﹣OE）=﹣OE=（k1﹣k2）…，
由两式解得OE=1，
则k1﹣k2=2．
故选D．
函数中自变量x的取值范围是（）
A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＞2
【答案】A．
考点：函数自变量的取值范围．
如图，将函数y=（x-2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A''、B''．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）
A．y＝(x2)2?2B．y＝(x2)2+7C．y＝(x2)2?5D．y＝(x2)2+4
【答案】D．
【解析】
试题解析：∵函数y=（x-2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），
∴m=（1-2）2+1=1，n=（4-2）2+1=3，
∴A（1，1），B（4，3），
过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），
∴AC=4-1=3，
∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），
∴AC?AA′=3AA′=9，
∴AA′=3，
即将函数y=（x-2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
∴新图象的函数表达式是y=（x-2）2+4．
故选D．
考点：二次函数图象与几何变换．
13.（2017甘肃兰州第11题）如图，反比例函数一次函数图像交于两点的横坐标分别为，则关于不等式解集为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题解析：∵反比例函数与一次函数y=x4的图象交于A点的横坐标为﹣3，
点A的纵坐标y=﹣34=1，
k=xy=﹣3，
关于x的不等式的解集即不等式﹣x+4（x0）的解集，
观察图象可知，当﹣3x＜﹣1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
关于x的不等式的解集为：﹣3x＜﹣1．
故选B．
在矩形，点出发，沿，当点点停止运动，过点，交点，设点路程为，如图的是的函数关系的大致图象，当点上运动时，最大长度是则矩形面积是()
图1 图2
A. B. C.6 D.
【答案】B
【解析】
试题解析：若点E在BC上时，如图
EFC+∠AEB=90°，FEC+∠EFC=90°，
CFE=∠AEB，在CFE和BEA中，，CFE∽△BEA，
由二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，此时BE=CE=x﹣，即，
y=，当y=时，代入方程式解得：x1=（舍去），x2=，
BE=CE=1，BC=2，AB=，
矩形ABCD的面积为2=5；
故选B．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：
b2=4ac；abc＞0；a＞c；4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C．抛物线与x轴有2个交点，
=b2﹣4ac0，
所以错误；
抛物线开口向上，
a＞0，
抛物线的对称轴在y轴的右侧，
a、b同号，
b＞0，
抛物线与y轴交点在x轴上方，
c＞0，
abc＞0，
所以正确；
x=﹣1时，y0，
即a﹣bc＜0，对称轴为直线x=﹣1，
﹣=﹣1，
b=2a，
a﹣2ac＜0，即ac，
所以正确；
抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y0，
4a﹣2bc＞0，
所以正确．
所以本题正确的有：，三个，
故选C．
的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：
①；②；③；④.
其中正确的是（）
A．①④B．②④C.①②③D．①②③④
【答案】C．抛物线开口向上，
a＞0，
抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，
b=﹣2a0，
ab＜0，所以正确；
抛物线与x轴有2个交点，
=b2﹣4ac0，所以正确；
x=1时，y0，
a+b+c＜0，
而c0，
a+b+2c＜0，所以正确；
抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，
b=﹣2a，
而x=﹣1时，y0，即a﹣bc＞0，
a+2a+c＞0，所以错误．
故选C．
下列曲线中不能表示y与x的函数的是（）
A．B．C．D．
考点：函数的概念.
18.（2017四川泸州第12题）已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
C．过点M作MEx轴于点E，交抛物线y=x2+1于点P，此时△PMF周长最小值，
∵F（0，2）、M（ ，3），
ME=3，FM==2，
PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5．
故选C．
如图，抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：
a=；AC=AE；ABD是等腰直角三角形；当x＞1时，y1＞y2
其中正确结论的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B．
【解析】
试题解析：抛物线y1=（x1）21与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），
3=a（1﹣4）2﹣3，
解得：a=，故正确；
E是抛物线的顶点，
AE=EC，
无法得出AC=AE，故错误；
当y=3时，3=（x1）21，
解得：x1=1，x2=﹣3，
故B（﹣3，3），D（﹣1，1），
则AB=4，AD=BD=2，
AD2+BD2=AB2，
ABD是等腰直角三角形，正确；
（x1）21=（x﹣4）2﹣3时，
解得：x1=1，x2=37，
当37x＞1时，y1y2，故错误．
故选B．
考点：
20.（2017四川自贡第12题）一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2= （k1?k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（）
A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．﹣2＜x＜1 C．x＜﹣2或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
【答案】
【解析】
试题解析：如图所示：
若y1＞y2，则x的取值范围是：x＜﹣2或0＜x＜1．
故选D．
考点：中，函数与的图象相交于点，则不等式的解集为（）
A．B．或
C.D．或
【答案】B．不等式kx+b＞的解集为：-6＜x＜0或x＞2，
故选B．的图象与坐标轴有三个交点，则的取值范围是（）
A．且B．C.D．
【答案】A．函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点，
，
解得b＜1且b≠0．
故选A．的四个命题：①当时，有最小值10；②为任意实数，时的函数值大于时的函数值；③若，且是整数，当时，的整数值有个；④若函数图象过点和，其中，，则．其中真命题的序号是（）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C．∵y=x2-6x+10=（x-3）2+1，
∴当x=3时，y有最小值1，故①错误；
当x=3+n时，y=（3+n）2-6（3+n）+10，
当x=3-n时，y=（n-3）2-6（n-3）+10，
∵（3+n）2-6（3+n）+10-[（n-3）2-6（n-3）+10]=0，
∴n为任意实数，x=3+n时的函数值等于x=3-n时的函数值，故②错误；
∵抛物线y=x2-6x+10的对称轴为x=3，a=1＞0，
∴当x＞3时，y随x的增大而增大，
当x=n+1时，y=（n+1）2-6（n+1）+10，
当x=n时，y=n2-6n+10，
（n+1）2-6（n+1）+10-[n2-6n+10]=2n-4，
∵n是整数，
∴2n-4是整数，故③正确；
∵抛物线y=x2-6x+10的对称轴为x=3，1＞0，
∴当x＞3时，y随x的增大而增大，x＜0时，y随x的增大而减小，
∵y0+1＞y0，∴当0＜a＜3，0＜b＜3时，a＞b，当a＞3，b＞3时，a＜b，当0＜a＜3，b＞3时，a，b的大小不确定，故④错误；
故选C．上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是__________
【答案】．
【解析】
试题解析：连接AP，PQ，
当AP最小时，PQ最小，
当AP直线y=﹣x+3时，PQ最小，
A的坐标为（﹣1，0），y=﹣x+3可化为3x+4y﹣12=0，
AP==3，
PQ=．
考点：1.切线的性质；2.一次函数的性质.
已知三个顶点为，，将右平移单位后，一边的中点恰好落在反比例函数图象上，则值为 .
考点：1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.坐标与图形变化-平移．
3.（2017重庆A卷第17题）A、B两地之间的路程为2380米，甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，已知甲先出发5分钟后，乙才出发，他们两人在A、B之间的C地相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙继续向A地前行．甲到达A地时停止行走，乙到达A地时也停止行走，在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则乙到达A地时，甲与A地相距的路程是米．
由题意可得，
甲的速度为：（2380﹣2080）5=60米/分，
乙的速度为：（2080﹣910）（14﹣5）﹣60=70米/分，
则乙从B到A地用的时间为：238070=34分钟，
他们相遇的时间为：2080（6070）=16分钟，
甲从开始到停止用的时间为：（165）2=42分钟，
乙到达A地时，甲与A地相距的路程是：60（42﹣34﹣5）=603=180米作轴，轴，点都在直线上，若双曲线与总有公共点则取值范围是
【答案】2≤k≤9
【解析】
试题解析：当反比例函数的图象过C点时，把C的坐标代入得：k=21=2；
把y=﹣x6代入y=得：﹣x6=，
x2﹣6xk=0，
=（﹣6）2﹣4k=36﹣4k，
反比例函数y=的图象与ABC有公共点，
36﹣4k0，
k9，
即k的范围是2k≤9
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．在函数中，自变量x的取值范围．
x≥1且x2．根据题意得：≥0且x-2≠0，
解得：x1且x2．
函数自变量的取值范围．轴的一个交点的坐标为(m,0)，若2
【答案】-3
【解析】
试题解析：把（m，0）代入y=ax2+(a2-1)x-a得，am2+(a2-1)m-a=0
解得：m=
∵2
解得：-3
考点：二次函数的图象.
7.（2017江苏无锡第15题）若反比例函数y=的图象经过点（﹣1，﹣2），则k的值为．
【答案】2.
【解析】
试题解析：把点（﹣1，﹣2）代入解析式可得k=2．
考点：待定系数法求反比例函数解析式．
如图，曲线l是由函数y=在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（-4，4），B（2，2）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为．
A（-4，4），B（2，2），
∴OA⊥OB，
建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴．
在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0），
∴直线AB解析式为y′=-2x′+8，
由，解得 或，
∴M（1.6），N（3，2），
∴S△OMN=S△OBM-S△OBN=?4?6-?4?2=8
考点：坐标与图形变化-旋转；反比例函数系数k的几何意义．
9.（2017甘肃兰州第16题）若反函数图象过点则
【答案】-2
【解析】
试题解析：∵图象经过点（﹣1，2），
∴k=xy=﹣1×2=﹣2．
考点：待定系数法求反比例函数解析式．
10.（2017甘肃兰州第18题）如图，若抛物线的两点关于它的对称轴，则的坐标为 .
（﹣2，0）．抛物线y=ax2bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，
P，Q两点到对称轴x=1的距离相等，
Q点的坐标为：（﹣2，0）．
如图，已知点A，B分别在反比例函数y1=-和y2=的图象上，若点A是线段OB的中点，则k的值为．
设A（a，b），则B（2a，2b），
点A在反比例函数y1=﹣的图象上，
ab=﹣2；
B点在反比例函数y2=的图象上，
k=2a?2b=4ab=﹣8．与反比例函数的图象在第一象限交于点，若，则的值为.
【答案】3
【解析】
试题解析：设点P（m，m2），
OP=，
，
解得m1=1，m2=﹣3（不合题意舍去），
点P（1，3），
3=，
解得k=3．
反比例函数与一次函数的交点问题．如图，它是反比例函数y=图象的一支，根据图象可知常数m的取值范围是．
m＞5
【解析】
试题解析：由图象可知，
反比例函数y=图象在第一象限，
m﹣50，得m5
考点：反比例函数的性质．的图象经过点，则．
【答案】-2.
【解析】
试题解析：∵反比例函数y=的图象经过点M（-2，1），
1=-，解得k=-2．
[来
根据以上信息，解答下列问题：
（1）设租车时间为小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于的函数表达式；
（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算。
【答案】（1）y1=15x+80（x≥0）；y2=30x（x≥0）；（2）当租车时间为小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算．
【解析】
试题分析：（1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法求得y1，y2关于x的函数表达式即可；
（2）当y1=y2时，15x+80=30x，当y>y2时，15x+80>30x，当y1
试题解析：（1）设y1=k1x+80，
把点（1，95）代入，可得
95=k1+80，
解得k1=15，
y1=15x+80（x≥0）；
设y2=k2x，
把（1，30）代入，可得
30=k2，即k2=30，
y2=30x（x≥0）；
（2）当y1=y2时，15x+80=30x，
解得x=；
当y1＞y2时，15x+80＞30x，
解得x＜；
当y1＜y2时，15x+80＞30x，
解得x＞；
当租车时间为小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算．
考点：1.用待定系数法求一次函数关系式；2.一次函数的应用.
与轴交于A，B，则称点P为抛物线的勾股点。
（1）直接写出抛物线的勾股点的坐标；
（2）如图2，已知抛物线C：与轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；
（3）的点Q（异于点P）的坐标
【答案】（1）（0，1）；（2）y=﹣x2+x；（3）（3，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣）．
【解析】
试题分析：（1）根据抛物线勾股点的定义即可求解；
（2）作PGx轴，由P点坐标求得AG=1、PG=、PA=2，由tanPAB=知PAG=60°,从而求得AB=4，即B（4，0），运用待定系数法即可求解；
（3）由SΔABQ=SΔABP且两三角形同底，可知点Q到x轴的距离为，据此可求解.
试题解析：（1）抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标为（0，1）；
（2）抛物线y=ax2+bx过原点，即点A（0，0），
如图，作PGx轴于点G，
点P的坐标为（1，），
AG=1、PG=，PA==2，
tan∠PAB=，
PAG=60°，
在Rt△PAB中，AB=，
点B坐标为（4，0），
设y=ax（x﹣4），
将点P（1，）代入得：a=﹣，
y=﹣x（x﹣4）=﹣x2+x；
（3）当点Q在x轴上方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为，
则有﹣x2+x=，
解得：x1=3，x2=1（不符合题意，舍去），
点Q的坐标为（3，）；
当点Q在x轴下方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为﹣
则有﹣x2+x=﹣，
解得：x1=2+，x2=2﹣，
点Q的坐标为（2+，﹣）或（2﹣，﹣）；
综上，满足条件的点Q有3个：（3，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣）．
考点：1.抛物线与x轴的交点；2.待定系数法求二次函数表达式.
随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为米处达到最高，水柱落地处离池中心米.
（1）请你建立适当的直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
（2）求出水柱的最大高度是多少？
【答案】（1）y=-（0≤x≤3）；（2）抛物线水柱的最大高度为m.
试题解析：（1）如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.
由题意可设抛物线的函数解析式为y=a(x-1)2+h(0≤x≤3)
抛物线过点（0，2）和（3，0），代入抛物线解析式得：
解得：
所以，抛物线的解析式为：y=-(x-1)2+(0≤x≤3)，
化为一般形式为：y=-（0≤x≤3）
（2）由（1）知抛物线的解析式为y=-(x-1)2+(0≤x≤3)，
当x=1时，y=,
所以，抛物线水柱的最大高度为m.
考点：平面直角坐标系，求二次函数解析式及二次函数的最值问题有这样一个问题：探究同一坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数与的图象性质.小明根据学习函数的经验，对函数与，当k>0时的图象性质进行了探究，下面是小明的探究过程：
（1）如图所示，设函数与图像的交点为A,B.已知A的坐标为(-k，-1)，则B点的坐标为.(2)若P点为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点.
设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N.求证：PM=PN.
证明过程如下：设P(m，)，直线PA的解析式为y=ax+b(a≠0).
则解得
所以,直线PA的解析式为．
请把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明.
当P点坐标为(1,k)(k≠1)时，判断ΔPAB的形状，并用k表示出ΔPAB的面积.
【答案】（1）（k，1）；（2）；ΔPAB为直角三角形或.
【解析】
试题解析：（1）B点的坐标为（k，1）
（2）证明过程如下：设P(m，)，直线PA的解析式为y=ax+b(a≠0).
则解得
所以,直线PA的解析式为．
令y=0，得x=m-k
M点的坐标为（m-k，0）
过点P作PHx轴于H
点H的坐标为（m，0）
MH=xH-xM=m-(m-k)=k.
同理可得：HN=k
PM=PN
②由知，在ΔPMN中，PM=PN
ΔPMN为等腰三角形，且MH=HN=k
当P点坐标为（1，k）时，PH=k
MH=HN=PH
∴∠PMH=∠MPH=45°，PNH=∠NPH=45°
∴∠MPN=90°，即APB=90°
∴ΔPAB为直角三角形.
当k>1时，如图1，
=
=
当0
=
=
考点：反比例函数的性质，一次函数的性质，平面直角坐标系中三角形及四边形面积问题，分类讨论思想
，函数图象与反比例函数图象交于两点.点在轴负半轴上，的面积.
(1)求值；
2)根据图象，当写出取值范围.
<-2或0
【解析】
试题分析：（1）过点A作AD⊥OC，根据ΔACO的面积
又∵AC=AO
CD=DO
∴SΔADO=SΔACO=6
∴k=-12
（2）由（1）得：y=
联立，得
解得：，
故，当的取值范围<-2或0
考点：反比例函数与一次函数的交点问题.
6.（2017浙江宁波第25题）如图，抛物线轴的负半轴交于点与交于点结在抛物线上，直线轴交于点.
(1)求值及直线函数表达式；
(2)点轴正半轴上，点轴正半轴上，连结直线于点连结交点若的中点.
①求证：
②设点横坐标为求长(用含代数式表示).
【答案】(1)c=-3;直线AC的表达式为：y=x+3；（2）①证明见解析；②
【解析】
试题分析：（1）把点C(6,)代入中可求出c的值；令y=0，可得A点坐标，从而可确定AC的解析式；
（2）①分别求出tan∠OAB=tan∠OAD=，得∠OAB=tan∠OAD，再由M就PQ的中点，得OM=MP，所以可证得∠APM=∠AON，即可证明；
②过M点作ME⊥x轴，垂足为E，分别用含有m的代数式表示出AE和AM的长，然后利用即可求解.
试题分析：（1）把点C(6,)代入
解得：c=-3
∴
当y=0时，
解得：x1=-4，x2=3
∴A（-4，0）
设直线AC的表达式为：y=kx+b(k≠0)
把A（-4，0），C(6,)代入得
解得：k=，b=3
∴直线AC的表达式为：y=x+3
(2)①在RtΔAOB中，tan∠OAB=
在RtΔAOD中，tan∠OAD=
∴∠OAB=∠OAD
∵在RtΔPOQ中，M为PQ的中点
∴OM=MP
∴∠MOP=∠MPO
∵∠MPO=∠AON
∴∠APM=∠AON
∴ΔAPM∽ΔAON
②如图,过点M作ME⊥x轴于点E
又∵OM=MP
∴OE=EP
∵点M横坐标为m
∴AE=m+4AP=2m+4
∵tan∠OAD=
∴cos∠EAM=cos∠OAD=
∴AM=AE=
∵ΔAPM∽ΔAON
∴
∴AN=
考点：二次函数综合题.
7.（2017重庆A卷第22题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BMx轴，垂足为M，BM=OM，OB=2，点A的纵坐标为4．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接MC，求四边形MBOC的面积．
反比例函数的解析式为y=，一次函数的解析式为y=2x2；（1）由题意可得，
BM=OM，OB=2，
BM=OM=2，
点B的坐标为（﹣2，﹣2），
设反比例函数的解析式为y=，
则﹣2=，得k=4，
反比例函数的解析式为y=，
点A的纵坐标是4，
4=，得x=1，
点A的坐标为（1，4），
一次函数y=mxn（m0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣2），
，得，
即一次函数的解析式为y=2x2；（2）y=2x+2与y轴交与点C，
点C的坐标为（0，2），
点B（﹣2，﹣2），点M（﹣2，0），点O（0，0），
OM=2，OC=2，MB=2，
四边形MBOC的面积是：4．已知一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于第一象限内的P（，8），Q（4，m）两点，与x轴交于A点．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）写出点P关于原点的对称点P''的坐标；
（3）求∠P''AO的正弦值．
【答案】(1)反比例函数的表达式为y=，一次函数的表达式为y=﹣2x+9；(2)（-，﹣8）；(3)．
【解析】
试题分析：（1）根据P（，8），可得反比例函数解析式，根据P（，8），Q（4，1）两点可得一次函数解析式；
（2）根据中心对称的性质，可得点P关于原点的对称点P''的坐标；
（3）过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D，构造直角三角形，依据P''D以及AP''的长，即可得到∠P''AO的正弦值．
试题解析：（1）∵点P在反比例函数的图象上，
∴把点P（，8）代入y=可得：k2=4，
∴反比例函数的表达式为y=，
∴Q（4，1）．
把P（，8），Q（4，1）分别代入y=k1x+b中，
得，
解得，
∴一次函数的表达式为y=﹣2x+9；
（2）点P关于原点的对称点P''的坐标为（-，﹣8）；
（3）过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D．
∵P′（-，﹣8），
∴OD=，P′D=8，
∵点A在y=﹣2x+9的图象上，
∴点A（，0），即OA=，
∴DA=5，
∴P′A=，
∴sin∠P′AD=，
∴sin∠P′AO= ．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；解直角三角形．
9.（2017甘肃庆阳第28题）如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（-2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．
（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；
（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；
（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．
【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）N（3，0）；（3）OM=AC．
【解析】
试题解析：（1）将点B，点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得
，
解得，
∴二次函数的表达式为y=﹣x2+x+4；
（2）设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8），
则BN=n+2，CN=8﹣n．
∵B（﹣2，0），C（8，0），
∴BC=10，
在y=﹣x2+x+4中，令x=0，可解得y=4，
∴点A（0，4），OA=4，
∴S△ABN=BN?OA=（n+2）×4=2（n+2），
∵MN∥AC，
∴
∴，
∴
∵﹣＜0，
∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大；
（3）当N（3，0）时，N为BC边中点，
∵MN∥AC，
∴M为AB边中点，
∴OM=AB，
∵AB=，AC=，
∴AB=AC，
∴OM=AC．
考点：二次函数综合题．
10.（2017广西贵港第21题）如图，一次函数图象函数图象于且点横坐标为
（1）求反比例函数的解析式；点坐标反比例函数的解析式是y=；（1）把x=3代入y=2x﹣4得y=6﹣4=2，
则A的坐标是（3，2）．
把（3，2）代入y=得k=6，
则反比例函数的解析式是y=；
（2）根据题意得2x﹣4=，
解得x=3或﹣1，
把x=﹣1代入y=2x﹣4得y=﹣6，则B的坐标是（﹣1，﹣6）．
，与轴交于两点，轴的正轴交于点其顶点为.
两点的坐标（含子表示），求；是直角三角形，对应的解析式C（0，3a），D（2，﹣a）；y=x2﹣4x3或y=x2﹣2x．（1）令x=0可求得C点坐标，化为顶点式可求得D点坐标；
（2）令y=0可求得A、B的坐标，结合D点坐标可求得ABD的面积，设直线CD交x轴于点E，由C、D坐标，利用待定系数法可求得直线CD的解析式，则可求得E点坐标，从而可表示出BCD的面积，可求得k的值；
（3）由B、C、D的坐标，可表示出BC2、BD2和CD2，分CBD=90°和CDB=90°两种情况，分别利用勾股定理可得到关于a的方程，可求得a的值，则可求得抛物线的解析式．
（1）在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a，
C（0，3a），
y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x3）=a（x﹣2）2﹣a，
D（2，﹣a）；
（2）在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3，
A（1，0），B（3，0），
AB=3﹣1=2，
S△ABD=×2×a=a，
如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kxb，
把C、D的坐标代入可得，解得，
直线CD解析式为y=﹣2ax3a，令y=0可解得x=，
E（，0），
BE=3﹣=
S△BCD=S△BEC+S△BED=××（3aa）=3a，
S△BCD：SABD=（3a）：a=3，
k=3；
（3）B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），
BC2=32+（3a）2=99a2，CD2=22（﹣a﹣3a）2=416a2，BD2=（3﹣2）2a2=1+a2，
BCD＜∠BCO＜90°，
BCD为直角三角形时，只能有CBD=90°或CDB=90°两种情况，
当CBD=90°时，则有BC2BD2=CD2，即99a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x2﹣4x3；
当CDB=90°时，则有CD2BD2=BC2，即416a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣（舍去）或a=，此时抛物线解析式为y=x2﹣2x；
综上可知当BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x2﹣4x3或y=x2﹣2x．
二次函数综合题．已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=axb的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
反比例函数解析式为y1=，一次函数解析式为y2=2x2；（2）﹣2x＜0或x1．试题解析：（1）A（1，4）在反比例函数图象上，
把A（1，4）代入反比例函数y1=得：4= ，解得k1=4，
反比例函数解析式为y1=，
又B（m，﹣2）在反比例函数图象上，
把B（m，﹣2）代入反比例函数解析式，
解得m=﹣2，即B（﹣2，﹣2），
把A（1，4）和B坐标（﹣2，﹣2）代入一次函数解析式y2=axb得：
，
解得：，
一次函数解析式为y2=2x2；
（2）根据图象得：﹣2x＜0或x1．
如图甲，直线y=﹣x3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当0x＜3时，在抛物线上求一点E，使CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．
y=x2﹣4x3；（2，）或（2，7）或（2，﹣12）或（2，﹣1﹣2）；E点坐标为（，）时，CBE的面积最大．（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；
（3）过E作EFx轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．
（1）直线y=﹣x3与x轴、y轴分别交于点B、点C，
B（3，0），C（0，3），
把B、C坐标代入抛物线解析式可得 ，解得，
抛物线解析式为y=x2﹣4x3；
（2）y=x2﹣4x3=（x﹣2）2﹣1，
抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），
设M（2，t），且C（0，3），
MC=，MP=t+1|，PC=，
CPM为等腰三角形，
有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，
当MC=MP时，则有=t+1|，解得t=，此时M（2，）；
当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；
当MP=PC时，则有t+1|=2，解得t=﹣12或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣12）或（2，﹣1﹣2）；
综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣12）或（2，﹣1﹣2）；
（3）如图，过E作EFx轴，交BC于点F，交x轴于点D，
设E（x，x2﹣4x3），则F（x，﹣x3），
0＜x＜3，
EF=﹣x3﹣（x2﹣4x3）=﹣x23x，
S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF?OD+EF?BD=EF?OB=×3（﹣x23x）=﹣（x﹣）2，
当x=时，CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），
即当E点坐标为（，）时，CBE的面积最大．
与反比例函数的图象相交于和两点．
（1）求的值；
（2）直线与直线相交于点，与反比例函数的图象相交于点．若，求的值；
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】(1)-6;(2)m=2或6+;(3)x<-1或5
【解析】
试题分析：（1）把A（-3，a）代入y=2x+4即可求出a=-2，把A（-3，-2）代入求得k=6；
（2）联立方程组，求出M、N的坐标，根据MN=4，即可求出m的值；
（3）令可求出函数y=x和y=的交点坐标，从而可求的解集.
试题解析：（1）把A（-3，a）代入y=2x+4，得a=-2，
∴A（-3，-2）
把A（-3，-2）代入，得k=6；
（2）∵M是直线y=m与直线AB的交点
∴M（，m）
同理，N（，m）
∴MN=｜-｜=4
∴-=±4
解得m=2或-6或6±
∵m>0
∴m=2或6+
（3）x<-1或5
考点：1.求反比例函数解析式；2.反比例函数与一次函数交点问题.
15.（2017湖南怀化第24题）如图在平面直角坐标系中，已知抛物线轴交于两点，与交于点.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点轴上的一点，且以顶点的三角形与似，求点坐标；
(3)如图轴玮抛物线相交于点点直线方抛物线上的动点，过点轴平行的直线与分别交于点，试探究当点到何处时，四边形面积最大，求点坐标及最大面积；
(4)若点抛物线的顶点，点该抛物线上的一点，在，上分别找点，使四边形周长最小，求出点的坐标.
【答案】(1)y=x2﹣4x﹣5，D的坐标为（0，1）或（0，）；当t=时，四边形CHEF的面积最大为．P（，0），Q（0，﹣）．（1）点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y=ax2bx﹣5上，
，
，
抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5，
（2）如图1，令x=0，则y=﹣5，
∴C（0，﹣5），
OC=OB，
OBC=∠OCB=45°，
AB=6，BC=5，
要使以B，C，D为顶点的三角形与ABC相似，则有或，
当时，
CD=AB=6，
D（0，1），
当时，
，
CD=，
D（0，），
即：D的坐标为（0，1）或（0，）；
（3）设H（t，t2﹣4t﹣5），
CE∥x轴，
点E的纵坐标为﹣5，
E在抛物线上，
x2﹣4x﹣5=﹣5，x=0（舍）或x=4，
E（4，﹣5），
CE=4，
B（5，0），C（0，﹣5），
直线BC的解析式为y=x﹣5，
F（t，t﹣5），
HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣ ）2，
CE∥x轴，HFy轴，
CE⊥HF，
S四边形CHEF=CE?HF=﹣2（t﹣）2，
当t=时，四边形CHEF的面积最大为．
（4）如图2，K为抛物线的顶点，
K（2，﹣9），
K关于y轴的对称点K''（﹣2，﹣9），
M（4，m）在抛物线上，
M（4，﹣5），
点M关于x轴的对称点M''（4，5），
直线K''M''的解析式为y=x﹣，
P（，0），Q（0，﹣）．
如图，在平面直角坐标系，直线轴于点交反比例函数图象于点的图象过矩形顶点的面积为连接.
(1)求反比例函数表达式；
(2)求面积.
y=﹣；．（1）直线y=﹣x3交y轴于点A，
点A的坐标为（0，3），即OA=3，
矩形OABC的面积为4，
AB=，
双曲线在第二象限，
k=4，
反比例函数的表达式为y=﹣；
考点：反比例函数与一次函数的交点问题
17.（2017山东烟台第22题）数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是：当温度达到设定温度时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当上升到时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至时，制冷再次停止，……，按照以上方式循环进行.
同学们记录了44内15个时间点冷柜中的温度随时间的变化情况，制成下表：
（1）通过分析发现，冷柜中的温度是时间的函数.
①当时，写出一个符合表中数据的函数解析式；
②当时，写出一个符合表中数据的函数解析式；
（2）的值为；
（3）如图，在直角坐标系中，已描出了上表中部分数据对应的点，请描出剩余对应的点，并画出时温度随时间变化的函数图象.
【答案】（1）①y=﹣．y=﹣4x76．
试题解析：（1）4×（﹣20）=﹣80，8（﹣10）=﹣80，10（﹣8）=﹣80，16（﹣5）=﹣80，20（﹣4）=﹣80，
当4x＜20时，y=﹣．
当20x＜24时，设y关于x的函数解析式为y=kxb，
将（20，﹣4）、（21，﹣8）代入y=kxb中，
，解得：，
此时y=﹣4x76．
当x=22时，y=﹣4x76=﹣12，
当x=23时，y=﹣4x76=﹣16，
当x=24时，y=﹣4x76=﹣20．
当20x＜24时，y=﹣4x76．
（2）观察表格，可知该冷柜的工作周期为20分钟，
当x=42时，与x=22时，y值相同，
a=﹣12．
（3）描点、连线，画出函数图象，如图所示．
一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，-6），且与反比例函数y=-的图象交于点B（a，4）
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB向上平移10个单位后得到直线l：y1=k1x+b1（k1≠0），l与反比例函数y2= 的图象相交，求使y1＜y2成立的x的取值范围．
一次函数的解析式为y=-2x-2．（1）根据点B的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）根据“上加下减”找出直线l的解析式，联立直线l和反比例函数解析式成方程组，解方程组可找出交点坐标，画出函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出使y1＜y2成立的x的取值范围．（1）反比例函数y=-的图象过点B（a，4），
4=-，解得：a=-3，
点B的坐标为（-3，4）．
将A（2，-6）、B（-3，4）代入y=kx+b中，
，解得： ，
一次函数的解析式为y=-2x-2．
（2）直线AB向上平移10个单位后得到直线l的解析式为：y1=-2x+8．
联立直线l和反比例函数解析式成方程组，
，解得：，，
直线l与反比例函数图象的交点坐标为（1，6）和（3，2）．
画出函数图象，如图所示．
观察函数图象可知：当0＜x＜1或x＞3时，反比例函数图象在直线l的上方，
使y1＜y2成立的x的取值范围为0＜x＜1或x＞3．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A（﹣3，m+8），B（n，﹣6）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【答案】反比例函数解析式为y=﹣，一次函数解析式为y=﹣2x﹣4；
【解析】（1）将点A坐标代入反比例函数求出m的值，从而得到点A的坐标以及反比例函数解析式，再将点B坐标代入反比例函数求出n的值，从而得到点B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解；
（2）设AB与x轴相交于点C，根据一次函数解析式求出点C的坐标，从而得到点OC的长度，再根据SAOB=S△AOC+S△BOC列式计算即可得解．试题解析：（1）将A（﹣3，m8）代入反比例函数y=得，
=m8，
解得m=﹣6，
m8=﹣68=2，
所以，点A的坐标为（﹣3，2），
反比例函数解析式为y=﹣，
将点B（n，﹣6）代入y=﹣得，﹣=﹣6，
解得n=1，
所以，点B的坐标为（1，﹣6），
将点A（﹣3，2），B（1，﹣6）代入y=kxb得，
，
解得，
所以，一次函数解析式为y=﹣2x﹣4；
考点：
20.（2017四川宜宾第24题）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
抛物线解析式为y=﹣x24x+5；Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值；
（3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EFx轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．
（1）抛物线y=﹣x2bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，
，解得，
抛物线解析式为y=﹣x24x+5；
（2）AD=5，且OA=1，
OD=6，且CD=8，
C（﹣6，8），
设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，
代入抛物线解析式可得8=﹣x24x+5，解得x=1或x=3，
C′点的坐标为（1，8）或（3，8），
C（﹣6，8），
当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，
m的值为7或9；
（3）y=﹣x24x+5=﹣（x﹣2）29，
抛物线对称轴为x=2，
可设P（2，t），
由（2）可知E点坐标为（1，8），
当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EFx轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，
则BEF=∠BMP=∠QPN，
在PQN和EFB中
PQN≌△EFB（AAS），
NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，
设Q（x，y），则QN=x﹣2，
x﹣2=4，解得x=﹣2或x=6，
当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，
Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；
当BE为对角线时，
B（5，0），E（1，8），
线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），
设Q（x，y），且P（2，t），
x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，
Q（4，5）；
综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．【探究函数y=x+的图象与性质】
（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是；
（2）下列四个函数图象中函数y=x+的图象大致是；
（3）对于函数y=x+，求当x＞0时，y的取值范围．
请将下列的求解过程补充完整．
解：x＞0
y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+
（﹣）2≥0
y≥．
[拓展运用]
（4）若函数y=，则y的取值范围．
【答案】
【解析】
试题分析：
试题解析：（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是x≠0；
（2）函数y=x+的图象大致是C；
（3）解：x＞0
y=x+=（ ）2+（）2=（﹣）2+4
（﹣）2≥0
y≥4．
（4）y==x+﹣5═（）2+（）2﹣5=（+）2+13
（﹣）2≥0，
y≥13．
考点：某周日上午8：00小宇从家出发，乘车1小时到达某活动中心参加实践活动．11：00时他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在12：00前回到家，他即刻按照来活动中心时的路线，以5千米/小时的平均速度快步返回．同时，爸爸从家沿同一路线开车接他，在距家20千米处接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回．设小宇离家x（小时）后，到达离家y（千米）的地方，图中折线OABCD表示y与x之间的函数关系．
（1）活动中心与小宇家相距千米，小宇在活动中心活动时间为小时，他从活动中心返家时，步行用了小时；
（2）求线段BC所表示的y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不必写出x所表示的范围）；
（3）根据上述情况（不考虑其他因素），请判断小宇是否能在12：00前回到家，并说明理由．
22；2；0.4．﹣5x37．
考点：一次函数的应用．如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
（1）试求A，B，C的坐标；
（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．3
求点D的坐标；
判断四边形ADBC的形状，并说明理由；
（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；D（3，﹣2）；四边形ADBC是矩形；点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）．
（1）直接利用y=0，x=0分别得出A，B，C的坐标；
（2）利用旋转的性质结合三角形各边长得出D点坐标；
利用平行四边形的判定方法结合勾股定理的逆定理得出四边形ADBC的形状；
（3）直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案．
（1）当y=0时，0=﹣x2x+2，
解得：x1=﹣1，x2=4，
则A（﹣1，0），B（4，0），
当x=0时，y=2，
故C（0，2）；
（2）过点D作DEx轴于点E，
将ABC绕AB中点M旋转180°，得到BAD，
DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5，
D（3，﹣2）；
将ABC绕AB中点M旋转180°，得到BAD，
AC=BD，AD=BC，
四边形ADBC是平行四边形，
AC=，BC=，AB=5，
AC2+BC2=AB2，
ACB是直角三角形，
ACB=90°，
四边形ADBC是矩形；
（3）由题意可得：BD=，AD=2，
则，
当BMP∽△ADB时，
，
可得：BM=2.5，
则PM=1.25，
故P（1.5，1.25），
当BMP1∽△ABD时，
P1（1.5，﹣1.25），
当BMP2∽△BDA时，
可得：P2（1.5，5），
当BMP3∽△BDA时，
可得：P3（1.5，﹣5），
综上所述：点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）．
二次函数综合题．（）与反比例函数（）的图象交于点，．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)反比例函数的解析式为y=-．一次函数的解析式为y=-x+1．n=-1+或2+．（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）分三种情形讨论①当PA=PB时，可得（n+1）2+4=（n-2）2+1．②当AP=AB时，可得22+（n+1）2=（3）2．③当BP=BA时，可得12+（n-2）2=（3）2．分别解方程即可解决问题；（1）把A（-1，2）代入y=，得到k2=-2，
∴反比例函数的解析式为y=-．
∵B（m，-1）在=-上，
∴m=2，
由题意，解得，
∴一次函数的解析式为y=-x+1．
（2）∵A（-1，2），B（2，-1），
∴AB=3，
①当PA=PB时，（n+1）2+4=（n-2）2+1，
∴n=0，
∵n＞0，
∴n=0不合题意舍弃．
②当AP=AB时，22+（n+1）2=（3）2，
∵n＞0，
∴n=-1+．
③当BP=BA时，12+（n-2）2=（3）2，
∵n＞0，
∴n=2+．
综上所述，n=-1+或2+．
按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离（千米）与时间（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点，点坐标为，曲线可用二次函数（，是常数）刻画．
（1）求的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；
（2）11:59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？
（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为千米/分，小红逐渐落后，问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度，是加速前的速度）．
【答案】（1）m=30；0.4千米/分钟；5分钟（1）由题意可知：经过30分钟后到达乙地，从而可知m=30，由于甲地到乙地是匀速运动，所以利用路程除以时间即可求出速度；
（2）由于潮头的速度为0.4千米/分钟，所以到11：59时，潮头已前进19×0.4=7.6千米，设小红出发x分钟，根据题意列出方程即可求出x的值，
（3）先求出s的解析式，根据潮水加速阶段的关系式，求出潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟时所对应的时间t，从而可知潮头与乙地之间的距离s，设她离乙地的距离为s1，则s1与时间t的函数关系式为s1=0.48t+h（t≥35），当t=35时，s1=s= ，从而可求出h的值，最后潮头与小红相距1.8千米时，即s-s1=1.8，从而可求出t的值，由于小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6分钟，共需要时间为6+50-30=26分钟，
（3）把（30，0），C（55，15）代入s=t2+bt+c，
解得：b=-，c=-，
∴s=t2-t-
∵v0=0.4，
∴v=（t-30）+，
当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟，
此时v=0.48，
∴0.48=（t-30）+，
∴t=35，
当t=35时，
s=t2-t-=，
∴从t=35分（12：15时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，当小红仍以0.48千米/分的速度匀速追赶潮头．设她离乙地的距离为s1，则s1与时间t的函数关系式为s1=0.48t+h（t≥35），
当t=35时，s1=s=，代入可得：h=-，
∴s1=t-
最后潮头与小红相距1.8千米时，即s-s1=1.8，
∴t2-t--t=1.8
解得：t=50或t=20（不符合题意，舍去），
∴t=50，
小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6分钟，
∴共需要时间为6+50-30=26分钟，
∴小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需要26分钟
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