专题09三角形
一、选择题
1.（2017重庆A卷第8题）若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）
A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9
A．ABC～△DEF，相似比为3：2，
对应高的比为：3：2．
故选A．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．
A．5.1米 B．6.3米 C．7.1米 D．9.2米
如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQAP于点Q，
CE∥AP，
DP⊥AP，
四边形CEPQ为矩形，
CE=PQ=2，CQ=PE，
i=，
设CQ=4x、BQ=3x，
由BQ2CQ2=BC2可得（4x）2（3x）2=102，
解得：x=2或x=﹣2（舍），
则CQ=PE=8，BQ=6，
DP=DE+PE=11，
在RtADP中，AP=≈13.1，
AB=AP﹣BQ﹣PQ=13.1﹣6﹣2=5.1，
故选A．将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2为（）
A．115° B．120° C．135° D．145°
【答案】C．
【解析】
试题解析：如图，
由三角形的外角性质得，∠3=90°+∠1=90°+45°=135°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2=∠3=135°．
故选C．
考点：平行线的性质；余角和补角．
4.（2017甘肃庆阳第8题）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为（）
【答案】D
【解析】
试题解析：∵a、b、c为△ABC的三条边长，
∴a+b-c＞0，c-a-b＜0，
∴原式=a+b-c+（c-a-b）
=0．
故选D．
考点：三角形三边关系．
5.（2017广西贵港第11题）如图，在，将顶点旋转得到的中点，的中点，连接若则线段是
A．B．C.D．
【答案】B
【解析】
试题解析：如图连接PC．
在RtABC中，A=30°，BC=2，
AB=4，
根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，
A′P=PB′，
PC=A′B′=2，
CM=BM=1，
又PM≤PC+CM，即PM3，
PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故选B．
旋转的性质．中，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】
试题解析：①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形；⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形．
故选C.
考点：画等腰三角形.
7.（2017江苏无锡第10题）如图，△ABC中，BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）
A．2 B． C． D．
【答案】D．
【解析】
试题解析：如图连接BE交AD于O，作AHBC于H．
在Rt△ABC中，AC=4，AB=3，
BC==5，
CD=DB，
AD=DC=DB=，
?BC?AH=?AB?AC，
AH=，
AE=AB，DE=DB=DC，
AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，
?AD?BO=?BD?AH，
OB=，
BE=2OB=，
在Rt△BCE中，EC=.
故选D．
考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.直角三角形斜边上的中线；3.勾股定理．如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于()
A. B. C. D.
C．如图，在RtABC中，ACB=90°，AB=130m，BC=50m，
AC==120m，
tan∠BAC=.
故选C．
如图，小明为了测量一凉亭的高度(顶端水平地面距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶高的台阶(三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点，测得，然后沿直线到点，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶，测得，小明身高，则凉亭的高度为()
A. B.米 C.米 D.10米
【答案】A.
【解析】
试题解析：由题意AGC=∠FGE，ACG=∠FEG=90°，
ACG∽△FEG，
∴
∴AC=8，
AB=AC+BC=8+0.5=8.5米．
故选A．
如图，ACD=120°，B=20°，则A的度数是（）
A．120° B．90° C．100° D．30°
的高度，在水平底面处安置侧倾器得楼房顶部点的仰角为，向前走20米到达处，测得点的仰角为.已知侧倾器的高度为1.6米，则楼房的高度约为（）
（结果精确到0.1米，）
A．米B．米C.米D．米
【答案】C．过B作BFCD于F，
∴AB=A′B′=CF=1.6米，
在RtDFB′中，B′F=，
在RtDFB中，BF=DF，
BB′=AA′=20，
BF﹣B′F=DF﹣=20，
DF≈34.1米，
CD=DF+CF=35.7米，
答：楼房CD的高度约为35.7米，
故选C．
已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（）
A.B.C.D.
考点：二次根式的应用.
13.（2017浙江嘉兴第2题）长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（）
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】
试题解析：由三角形三边关系定理得7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9．
因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．
4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，
故选C．
考点：三角形的三边关系.
二、填空题
1.（2017浙江宁波第16题）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为斜坡，从行至已知，则这名滑雪运动员的高度下降了参考数据：，)
【答案】280.
【解析】
试题分析：在RtΔABC中，sin34°=
∴AC=AB×sin34°=500×0.56=280米.
如图，一张三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．现将纸片折叠：使点A与点B重合，那么折痕长等于cm．
【答案】cm．
【解析】
试题解析：如图，折痕为GH，
由勾股定理得：AB==10cm，
由折叠得：AG=BG=AB=×10=5cm，GH⊥AB，
∴∠AGH=90°，
∵∠A=∠A，∠AGH=∠C=90°，
∴△ACB∽△AGH，
∴，
∴，
∴GH=cm．
考点：翻折变换
3.（2017广西贵港第16题）如图，点等边内部，且将绕点顺时针旋转，连接，则为
【答案】
【解析】
试题解析：连接PP′，如图，
∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P''C，
CP=CP′=6，PCP′=60°，
CPP′为等边三角形，
PP′=PC=6，
ABC为等边三角形，
CB=CA，ACB=60°，
PCB=∠P′CA，
在PCB和P′CA中
∴△PCB≌△P′CA，
PB=P′A=10，
62+82=102，
PP′2+AP2=P′A2，
APP′为直角三角形，APP′=90°，
sin∠PAP′=．
旋转的性质；等边三角形的性质；解直角三角形．三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于．
32+42=25=52，
该三角形是直角三角形，
×5=2.5．勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线．如图△ABC中，AB=AC，BAC=120°，DAE=60°，BD=5，CE=8∵AB=AC，∴可把△AEC绕点A顺时针旋转120°得到△AE′B，∴BE′=EC=8，AE′=AE，∠E′AB=∠EAC，∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，∴∠BAD+∠EAC=60°，∴∠E′AD=∠E′AB+∠BAD=60°，在△E′AD和△EAD中
∴△E′AD≌△EAD（SAS），∴E′D=ED，过E′作EF⊥BD于点F，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠C=∠E′BA=30°，∴∠E′BF=60°，∴∠BE′F=30°，∴BF=BE′=4，E′F=4，∵BD=5，∴FD=BD-BF=1，在Rt△E′FD中，由勾股定理可得E′D=，∴DE=7．如图，，请你添加一个适当的条件： .
【答案】CE=BC．本题答案不唯一．添加条件是：CE=BC，
在ABC与DEC中，，
ABC≌△DEC．
故答案为：CE=BC．本题答案不唯一．
在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tanBOD的值等于．
【答案】3.
【解析】
试题解析：平移CD到C′D′交AB于O′，如图所示，
则BO′D′=∠BOD，
tan∠BOD=tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B=，O′D′=，BD′=3a，
作BEO′D′于点E，
则BE=，
O′E=，
tanBO′E=，
tan∠BOD=3.
考点：解直角三角形．在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则1=°．
如图，四边形四边形，位似中心点是，则 .
【解析】
试题解析：如图所示：
四边形ABCD与四边形EFGH位似，
OEF∽△OAB，OFG∽△OBC，
，
．
位似变换．如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，ACDF，请你添加一个适当的条件使得△ABCDEF．
A=∠D．添加A=∠D．理由如下：
FB=CE，
BC=EF．
又AC∥DF，
ACB=∠DFE．
在ABC与DEF中，，
ABC≌△DEF（AAS）．
全等三角形的判定．中，，，，则．
【答案】．sinA=，
A=60°，
sin=sin30°=．
与是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点都在格点上，则点的坐标是.
【答案】（﹣2，）由题意得：A′OB′与AOB的相似比为2：3，
又B（3，﹣2）
B′的坐标是3×，﹣2]，即B′的坐标是（﹣2，）在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BDCE，垂足为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为cm．
4.
【解析】
试题解析：连接AO并延长，交BC于H，
由勾股定理得，DE=，
BD和CE分别是边AC、AB上的中线，
BC=2DE=4，O是△ABC的重心，
AH是中线，又BDCE，
OH=BC=2，
O是△ABC的重心，
AO=2OH=4.
考点：1.三角形的重心；2.勾股定理．
14.（2017四川自贡第14题）在△ABC中，MNBC分别交AB，AC于点M，N；若AM=1，MB=2，BC=3，则MN的长为．
【答案】
【解析】
试题解析：MN∥BC，
AMN∽△ABC，
，即，
MN=1.
考点：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：
ABC=∠ADC；
AC与BD相互平分；
AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；
四边形ABCD的面积S=AC?BD．
正确的是（填写所有正确结论的序号）
在ABC和ADC中，
，
ABC≌△ADC（SSS），
ABC=∠ADC，
故结论正确；
③由可知：AC平分四边形ABCD的BAD、BCD，
而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；
故结论不正确；
AC⊥BD，
四边形ABCD的面积S=SABD+S△BCD=BD?AO+BD?CO=BD?（AOCO）=AC?BD．
故结论正确；
所以正确的有：中，点分别是的中点，，则．
【答案】14.
【解析】
试题解析：∵D，E分别是△ABC的边AC和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE=7，
∴BC=2DE=14．
考点：三角形中位线定理．
17.（2017江苏徐州第18题）如图，已知，以为直角边作等腰直角三角形.再以为直角边作等腰直角三角形，如此下去，则线段的长度为．
【答案】．OBA1为等腰直角三角形，OB=1，
AA1=OA=1，OA1=OB=；
OA1A2为等腰直角三角形，
A1A2=OA1=，OA2=OA1=2；
OA2A3为等腰直角三角形，
A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2；
OA3A4为等腰直角三角形，
A3A4=OA3=2，OA4=OA3=4．
OA4A5为等腰直角三角形，
A4A5=OA4=4，OA5=OA4=4，
OA5A6为等腰直角三角形，
A5A6=OA5=4，OA6=OA5=8．
OAn的长度为．个边长为1的正方形拼接成一排，求得，，，计算，……按此规律，写出（用含的代数式表示）．
【答案】，作CH⊥BA4于H，
由勾股定理得，BA4=，A4C=，
△BA4C的面积=4-2-=，
∴××CH=，
解得，CH=，
则A4H==，
∴tan∠BA4C==，
1=12-1+1，
3=22-2+1，
7=32-3+1，
∴tan∠BAnC=（1）（2），，，请探索，，满足的等量关系。
【答案】（1）全等；证明见解析；（2）是，理由见解析；（3）c2=a2+ab+b2．
试题解析：（1）△ABDBCE≌△CAF；理由如下：
ABC是正三角形，
CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，
ABD=∠ABC﹣2，BCE=∠ACB﹣3，2=∠3，
ABD=∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
，
ABD≌△BCE（ASA）；
（2）△DEF是正三角形；理由如下：
ABD≌△BCE≌△CAF，
ADB=∠BEC=∠CFA，
FDE=∠DEF=∠EFD，
DEF是正三角形；
（3）作AGBD于G，如图所示：
DEF是正三角形，
ADG=60°，
在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，
在Rt△ABG中，c2=（a+b）2+（b）2，
c2=a2+ab+b2．
考点：1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理.如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用的时间为0.9秒.已知B=30°，C=45°
（1）求B，C之间的距离；（保留根号）
（2）如果此地限速为80km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由.（参考数据：,）
【答案】（1）(10+10)m；（2）超速.
【解析】
试题分析：（1）利用B=30°，C=45°，AD=10，求出BD=10,DC=10,从而得出BC=10+10
(2)利用,，求出BC27,再求出v=108千米/小时>80千米/小时，故超速。
试题解析：（1）如图，过点A作ADBC于点D，则AD=10m
在RtΔACD中，C=45°
∴RtΔACD是等腰直角三角形
CD=AD=10m
在RtΔABD中，tanB=
B=30°
∴
∴BD=10m
∴BC=BD+DC=(10+10)m
(2)这辆汽车超速.理由如下.
由（1）知BC=（10+10）m，又
BC=27m
∴汽车速度v==30（m/s）
又30m/s=108km/h，此地限速为80km/h
108>80
∴这辆汽车超速.
考点：三角函数的应用在△ABC中，ABM=45°，AMBM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．
（1）如图1，若AB=3，BC=5，求AC的长；
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：BDF=∠CEF．
；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）先由AM=BM=ABcos45°=3可得CM＝２，再由勾股定理可求出AC的长；
（２）延长EF到点G，使得FG=EF，证ΔBMD≌ΔANC得AC=BD，再证ΔBFG≌ΔCFE得BG=CE，∠G=∠E,从而得BD=BG=CE，即可得∠BDG=∠G=∠E.
试题解析：（1）ABM=45°，AMBM，
AM=BM=ABcos45°=3×=3，
则CM=BC﹣BM=5﹣2=2，
AC=；
（2）延长EF到点G，使得FG=EF，连接BG．
由DM=MC，BMD=∠AMC，BM=AM，
BMD≌△AMC（SAS），
AC=BD，
又CE=AC，
因此BD=CE，
由BF=FC，BFG=∠EFC，FG=FE，
BFG≌△CFE，
故BG=CE，G=∠E，
所以BD=BG=CE，
因此BDG=∠G=∠E．如图，已知△ABC，请用圆规和直尺作出△ABC的一条中位线EF（不写作法，保留作图痕迹）．
如图，△ABC的一条中位线EF如图所示，
方法：作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．
考点：作图—复杂作图；三角形中位线定理．
5.（2017甘肃庆阳第22题）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．
【解析】
试题分析：过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x，根据AE=DE，列出方程即可解决问题．
试题解析：过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x，
在Rt△DEB中，tan∠DBE=，
∵∠DBC=65°，
∴DE=xtan65°．
又∵∠DAC=45°，
∴AE=DE．
∴132+x=xtan65°，
∴解得x≈115.8，
∴DE≈248（米）．
∴观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．
考点：解直角三角形的应用
6.（2017湖北武汉第18题）如图，点在一条直线上，，．写出与之间的关系，并证明你的结论．
【答案】证明见解析：
【解析】
试题分析：通过证明ΔCDF≌ΔABE，即可得出结论
试题解析：CD与AB之间的关系是：CD=AB，且CD∥AB
证明：∵CE=BF，∴CF=BE
在ΔCDF和ΔBAE中
∴ΔCDF≌ΔBAE
∴CD=BA，∠C=∠B
∴CD∥BA
考点：全等三角形的判定与性质.
7.（2017湖南怀化第6题）如图，点在一条直线上，，．写出与之间的关系，并证明你的结论．
【答案】证明见解析：
【解析】
试题分析：通过证明ΔCDF≌ΔABE，即可得出结论
试题解析：CD与AB之间的关系是：CD=AB，且CD∥AB
证明：∵CE=BF，∴CF=BE
在ΔCDF和ΔBAE中
∴ΔCDF≌ΔBAE
∴CD=BA，∠C=∠B
∴CD∥BA
考点：全等三角形的判定与性质.
8.（2017江苏无锡第24题）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）作△ABC的外心O；
（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据垂直平分线的作法作出AB，AC的垂直平分线交于点O即为所求；
（2）过D点作DIBC交AC于I，分别以D，I为圆心，DI长为半径作圆弧交AB于E，交AC于H，过E点作EFAC交BC于F，过H点作HGAB交BC于G，六边形DEFGHI即为所求正六边形．
试题解析：（1）如图所示：点O即为所求．
（2）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．
考点：1.作图—复杂作图；2.等边三角形的性质；3.三角形的外接圆与外心．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）
假设点D移到D′的位置时，恰好α=39°，过点D作DEAC于点E，作D′E′AC于点E′，
CD=12米，DCE=60°，
DE=CD?sin60°=12×=6米，CE=CD?cos60°=12=6米．
DE⊥AC，D′E′AC，DD′CE′，
四边形DEE′D′是矩形，
DE=D′E′=6米．
D′CE′=39°，
CE′=≈12.8，
EE′=CE′﹣CE=12.8﹣6=6.8（米）．
答：学校至少要把坡顶D向后水平移动6.8米才能保证教学楼的安全．
为等边三角形，先将三角板中的角与重合，再将三角板绕点按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于）.旋转后三角板的一直角边与交于点.在三角板斜边上取一点，使，线段上取点，使，连接，.
①求的度数；
②与相等吗？请说明理由；
【类比探究】
（2）如图2，为等腰直角三角形，，先将三角板的角与重合，再将三角板绕点按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于）.旋转后三角板的一直角边与交于点.在三角板另一直角边上取一点，使，线段上取点，使，连接，.请直接写出探究结果：
①的度数；
②线段之间的数量关系.
【答案】(1)①120°；DE=EF；理由90°；AE2+DB2=DE2．（1）ABC是等边三角形，
AC=BC，BAC=∠B=60°，
DCF=60°，
ACF=∠BCD，
在ACF和BCD中，，
ACF≌△BCD（SAS），
CAF=∠B=60°，
EAF=∠BAC+∠CAF=120°；
DE=EF；理由如下：
DCF=60°，DCE=30°，
FCE=60°﹣30°=30°，
DCE=∠FCE，
在DCE和FCE中，，
DCE≌△FCE（SAS），
DE=EF；
（2）ABC是等腰直角三角形，ACB=90°，
AC=BC，BAC=∠B=45°，
DCF=90°，
ACF=∠BCD，
在ACF和BCD中，，
ACF≌△BCD（SAS），
CAF=∠B=45°，AF=DB，
EAF=∠BAC+∠CAF=90°；
AE2+DB2=DE2，理由如下：
DCF=90°，DCE=45°，
FCE=90°﹣45°=45°，
DCE=∠FCE，
在DCE和FCE中，，
DCE≌△FCE（SAS），
DE=EF，
在RtAEF中，AE2AF2=EF2，
又AF=DB，
AE2+DB2=DE2．如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AF=DC，A=∠D，BCEF，求证：AB=DE．
考点：全等三角形的判定与性质．
12.（2017四川泸州第22题）如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．
渔船此时与C岛之间的距离为50海里．过点C作CDAB于点D，由题意得：
∠BCD=30°，设BC=x，则：
在Rt△BCD中，BD=BC?sin30°=x，CD=BC?cos30°=x；
AD=30+x，
AD2+CD2=AC2，即：（30+x）2+（x）2=702，
解之得：x=50（负值舍去），
答：渔船此时与C岛之间的距离为50海里．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，A=∠D，ACDF．求证：BE=CF．
【答案】
【解析】
试题解析：AC∥DF，
ACB=∠F，
在ABC和DEF中，
，
ABC≌△DEF（AAS）；
BC=EF，
BC﹣CE=EF﹣CE，
即BE=CF．
考点：如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边去两点B、C测得α=30°，β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．
【答案】河的宽度为50（1）m．
【解析】直接过点A作ADBC于点D，利用tan30°=，进而得出答案．
试题解析：过点A作ADBC于点D，
∵∠β=45°，ADC=90°，
AD=DC，
设AD=DC=xm，
则tan30°=，
解得：x=50（1），
答：河的宽度为50（1）m．
考点：如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角EAD为45°，在B点测得D点的仰角CBD为60°，求这两座建筑物的高度（结果保留根号）
乙建筑物的高度为30m；甲建筑物的高度为（30﹣30）m．如图，过A作AFCD于点F，
在RtBCD中，DBC=60°，BC=30m，
=tan∠DBC，
CD=BC?tan60°=30m，
乙建筑物的高度为30m；
在RtAFD中，DAF=45°，
DF=AF=BC=30m，
AB=CF=CD﹣DF=（30﹣30）m，
甲建筑物的高度为（30﹣30）m．
，垂足为，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接.
（1）线段；
（2）求线段的长度.
【答案】（1）4；（2）.
【解析】
（2）作DEBC于点E．ACD是等边三角形，
ACD=60°，
又AC⊥BC，
DCE=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°，
Rt△CDE中，DE=DC=2，
CE=DC?cos30°=4×，
BE=BC-CE=3-2=．
Rt△BDE中，BD=．）靠墙摆放，高，宽，小强身高，下半身，洗漱时下半身与地面成（），身体前倾成（），脚与洗漱台距离（点，，，在同一直线上）．
（1）此时小强头部点与地面相距多少？
（2）小强希望他的头部恰好在洗漱盆的中点的正上方，他应向前或后退多少？
（，，，结果精确到）
【答案】(1)小强头部E点与地面DK相距约为144.5cm．他应向前10.5cm．（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．
∵EF+FG=166，FG=100，
∴EF=66，
∵∠FK=80°，
∴FN=100?sin80°≈98，
∵∠EFG=125°，
∴∠EFM=180°-125°-10°=45°，
∴FM=66?cos45°=33≈46.53，
∴MN=FN+FM≈114.5，
∴此时小强头部E点与地面DK相距约为144.5cm．
（2）过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H．
∵AB=48，O为AB中点，
∴AO=BO=24，∵EM=66?sin45°≈46.53，
∴PH≈46.53，
∵GN=100?cos80°≈18，CG=15，
∴OH=24+15+18=57，OP=OH-PH=57-46.53=10.47≈10.5，
∴他应向前10.5cm．
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