专题10四边形
一、选择题
1.（2017浙江衢州第8题）如图，在直角坐标系中，点A在函数的图象上，AB⊥轴于点B，AB的垂直平分线与轴交于点C，与函数的图象交于点D。连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（）
A.2B.C.4D.
【答案】C．
【解析】
试题解析：设A（a，），可求出D（2a，），
AB⊥CD，
S四边形ACBD=AB?CD=×2a×=4，
故选C．
考点：反比例函数系数k的几何意义.
B.C.D.
【答案】B．
【解析】
试题解析：矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，
AE=AB，E=∠B=90°，
又四边形ABCD为矩形，
AB=CD，
AE=DC，
而AFE=∠DFC，
在△AEF与△CDF中，
，
AEF≌△CDF（AAS），
EF=DF；
四边形ABCD为矩形，
AD=BC=6，CD=AB=4，
Rt△AEF≌Rt△CDF，
FC=FA，
设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，
在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）2，解得x=，
则FD=6﹣x=．
故选B．
考点：1.矩形的性质；2.折叠问题.如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b(a＞b),M在边BC上，且BM=b，连AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF。给出以下五种结论：(MAD=∠AND；(CP=；(ΔABMΔNGF；S四边形AMFN=a2+b2；A，M，P，D四点共线
其中正确的个数是（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
考点:正方形、全等、相似、勾股定理，四边形边长为正方形，点边，过点，分别交于，两点，若分别是的中点，则长为()
A.3 B. C. D.4
【答案】C.
【解析】
试题解析：如图，过N作PQ∥BC，交AB，CD于P，Q，过M作MR∥CD，交EF于J，PQ于H，交BC于R
在正方形ABCD中，BC=CD=6
∴BD=6
∵BE=EG=4
∴BG=4
∴DG=2
∵M是DG的中点
∴MJ=DF=1，JF=1
∵N为EC的中点
∴PN=BC=3
∴QN=3
∴NH=2，MH=3
∴MN=
故选C.
考点：1.正方形的性质;2.三角形的中位线;3.勾股定理.
5.（2017重庆A卷第9题）如图，矩形ABCD的边AB=1，BE平分ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）
A． B． C． D．
矩形ABCD的边AB=1，BE平分ABC，
ABE=∠EBF=45°，ADBC，
AEB=∠CBE=45°，
AB=AE=1，BE=，
点E是AD的中点，
AE=ED=1，
图中阴影部分的面积=S矩形ABCD﹣SABE﹣S扇形EBF
=12﹣1×1﹣
=．
故选B．
，正方形是对角线的交点，边上的动点（点与合），交于点.下列五个结论；②；③；④；⑤若，则的最小值是正确的个数是
A．B．C.D．
【答案】D
【解析】
试题解析：∵正方形ABCD中，CD=BC，BCD=90°，
BCN+∠DCN=90°，
又CN⊥DM，
CDM+∠DCN=90°，
BCN=∠CDM，
又CBN=∠DCM=90°，
CNB≌△DMC（ASA），故正确；
根据CNB≌△DMC，可得CM=BN，
又OCM=∠OBN=45°，OC=OB，
OCM≌△OBN（SAS），
OM=ON，COM=∠BON，
DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即DOM=∠CON，
又DO=CO，
CON≌△DOM（SAS），故正确；
BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，
MON=90°，即MON是等腰直角三角形，
又AOD是等腰直角三角形，
OMN∽△OAD，故正确；
AB=BC，CM=BN，
BM=AN，
又Rt△BMN中，BM2BN2=MN2，
AN2+CM2=MN2，故正确；
OCM≌△OBN，
四边形BMON的面积=BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，
当MNB的面积最大时，MNO的面积最小，
设BN=x=CM，则BM=2﹣x，
MNB的面积=x（2﹣x）=﹣x2x，
当x=1时，MNB的面积有最大值，
此时SOMN的最小值是1﹣=，故正确；
综上所述，正确结论的个数是5个，
故选：D．
如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB的长为（）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
C．
考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
8.（2017湖南怀化第9题）如图，在矩形，角线相交于点，，则长()
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】
试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
OA=OC=OB=OD=3，
AOB=60°，
AOB是等边三角形，
AB=OA=3，
故选A．如图，矩形对线相交于点，，则()
A. B.4 C. D.3
考点:矩形的性质．
10.（2017甘肃兰州第14题）如图，在正方形正方形，点上，将正方形点时针旋转得到正方形此时点上，连接则()
A. B. C. D.
作G′ICD于I，G′RBC于R，E′HBC交BC的延长线于H．连接RF′．则四边形RCIG′是正方形．
∵∠DG′F′=∠IGR=90°，
DG′I=∠RG′F′，
在G′ID和G′RF中，
G′ID≌△G′RF，
G′ID=∠G′RF′=90°，
点F在线段BC上，
在RtE′F′H中，E′F′=2，E′F′H=30°，
E′H=E′F′=1，F′H=，
易证RG′F′≌△HF′E′，
RF′=E′H，RG′RC=F′H，
CH=RF′=E′H，
CE′=，
RG′=HF′=，
CG′=RG′=，
CE′+CG′=+．
故选A．
如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FEAB，AF=2AE，FC交BD于O，则DOC的度数为（）
A．60° B．67.5° C．75° D．54°
A．如图，连接DF、BF．
FE⊥AB，AE=EB，
FA=FB，
AF=2AE，
AF=AB=FB，
AFB是等边三角形，
AF=AD=AB，
点A是DBF的外接圆的圆心，
FDB=∠FAB=30°，
四边形ABCD是正方形，
AD=BC，DAB=∠ABC=90°，ADB=∠DBC=45°，
FAD=∠FBC，
FAD≌△FBC，
ADF=∠FCB=15°，
DOC=∠OBC+∠OCB=60°．
故选A．正方形的性质．下列命题是真命题的是（）
A．四边都是相等的四边形是矩形B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的平行四边形是矩形
考点：命题与定理.
13.（2017四川泸州第11题）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AEBD，垂足为F，则tanBDE的值是（）
A．B.C.D.
四边形ABCD是矩形，
AD=BC，ADBC，
点E是边BC的中点，
BE=BC=AD，
BEF∽△DAF，
，
EF=AF，
EF=AE，
点E是边BC的中点，
由矩形的对称性得：AE=DE，
EF=DE，设EF=x，则DE=3x，
DF=x，
tan∠BDE= .
故选A．如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（）
A．3 B． C．5 D．
【答案】C
【解析】
试题解析：矩形ABCD，
BAD=90°，
由折叠可得BEF≌△BAE，
EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，
在RtABD中，AB=CD=6，BC=AD=8，
根据勾股定理得：BD=10，即FD=10﹣6=4，
设EF=AE=x，则有ED=8﹣x，
根据勾股定理得：x242=（8﹣x）2，
解得：x=3（负值舍去），
则DE=8﹣3=5，
故选C
考点：，已知，，小明按所给图步骤折叠纸片，则线段长为（）
A． B． C． D．
【答案】A．∵AB=3，AD=2，
∴DA′=2，CA′=1，
∴DC′=1，
∵∠D=45°，
∴DG=DC′=，
故选A．如图，在边长为2的菱形ABCD中，A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为 .
【答案】-1．如图所示：过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，∴∠FMD=30°，∴FD=MD=，∴FM=DM×cos30°=，∴MC=∴EC=MC-ME=-1．（2017重庆A卷第18题）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EFED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是．
如图1，过E作PQDC，交DC于P，交AB于Q，连接BE，
∵DC∥AB，
PQ⊥AB，
四边形ABCD是正方形，
ACD=45°，
PEC是等腰直角三角形，
PE=PC，
设PC=x，则PE=x，PD=4﹣x，EQ=4﹣x，
PD=EQ，DPE=∠EQF=90°，PED=∠EFQ，
DPE≌△EQF，
DE=EF，
易证明DEC≌△BEC，
DE=BE，
EF=BE，
EQ⊥FB，
FQ=BQ=BF，
AB=4，F是AB的中点，
BF=2，
FQ=BQ=PE=1，
CE=，
RtDAF中，DF=，
DE=EF，DEEF，
DEF是等腰直角三角形，
DE=EF=，
PD==3，
如图2，
∵DC∥AB，
DGC∽△FGA，
，
CG=2AG，DG=2FG，
FG=，
AC=，
CG=，
EG=，
连接GM、GN，交EF于H，
GFE=45°，
GHF是等腰直角三角形，
GH=FH=，
EH=EF﹣FH=，
NDE=∠AEF，
tan∠NDE=tan∠AEF=，
，
EN=，
NH=EH﹣EN=，
RtGNH中，GN=，
由折叠得：MN=GN，EM=EG，
EMN的周长=ENMN+EM=．如图所示，正方形ABCD的边长为6，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PDPE的和最小，则这个最小值为．
设BE与AC交于点P，连接BD，
点B与D关于AC对称，
PD=PB，
PD+PE=PB+PE=BE最小．
即P在AC与BE的交点上时，PDPE最小，为BE的长度；
正方形ABCD的边长为6，
AB=6．
又ABE是等边三角形，
BE=AB=6．
故所求最小值为6．
ABCD中，∠D=100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE，若AE=AB，则∠EBC的度数为．
【答案】30°.
【解析】
试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥DC，∠ABC=∠D
∴∠DAB+∠D=180°，
∵∠D=100°，
∴∠DAB=80°,∠ABC=100°
又∵∠DAB的平分线交DC于点E
∴∠EAD=∠EAB=40°
∵AE=AB
∴∠ABE=(180°-40°)=70°
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=100°-70°=30°.
考点：1.解平分线的性质；2.平行四边形的性质.
5.（2017湖南怀化第13题）如图，在平行四边形，对角线相交于点点的中点，则长为cm．
【答案】10
【解析】
试题解析：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO，
∵点E是AB的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴AD=2OE，
∵OE=5cm，
∴AD=10cm．
考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．
6.（2017湖南怀化第16题）如图，在菱形，，点这个菱形内部或边上的一点，若以顶点的三角形是等腰三角形，则(，两点不重合)两点间的最短距离为 cm.10﹣10（cm）
②若以边PB为底，PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP最小，最小值为10﹣10；
若以边PC为底，PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；
综上所述，PD的最小值为10﹣10（cm）
考点：菱形的性质；等腰三角形的性质．平行四边形，对角线相交于点要使四边形正方形，还需添加一组条件。面给出了四组条件：①且②，且③，且④，且其中的序号是 .
．四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
四边形ABCD是菱形，
又AB⊥AD，
四边形ABCD是正方形，正确；
四边形ABCD是平行四边形，AB=BD，ABBD，
平行四边形ABCD不可能是正方形，错误；
四边形ABCD是平行四边形，OB=OC，
AC=BD，
四边形ABCD是矩形，
又OBOC，即对角线互相垂直，
平行四边形ABCD是正方形，正确；
四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
四边形ABCD是菱形，
又AC=BD，四边形ABCD是矩形，
平行四边形ABCD是正方形，正确；
故答案为：．
如图，在菱形ABCD中，若AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积是．
【答案】
【解析】
试题解析：菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，
菱形的面积S=AC?BD=8×6=24．
考点：如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形．请在如图所示的网格中（网格的边长为1）中，用直尺作出这个大正方形．
【答案】
【解析】
试题解析：如图所示：所画正方形即为所求．
考点：—应用与设计.
10.（2017新疆建设兵团第14题）如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是cm2．
考点：二次函数的最值；正方形的性质．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：
ABC=∠ADC；
AC与BD相互平分；
AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；
四边形ABCD的面积S=AC?BD．
正确的是（填写所有正确结论的序号）
在ABC和ADC中，
，
ABC≌△ADC（SSS），
ABC=∠ADC，
故结论正确；
ABC≌△ADC，
BAC=∠DAC，
AB=AD，
OB=OD，ACBD，
而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等，
故结论不正确；
由可知：AC平分四边形ABCD的BAD、BCD，
而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；
故结论不正确；
AC⊥BD，
四边形ABCD的面积S=SABD+S△BCD=BD?AO+BD?CO=BD?（AOCO）=AC?BD．
故结论正确；
所以正确的有：中，，点在对角线上，且，连接并延长，与边交于点，则线段．
【答案】
【解析】
试题解析：∵矩形ABCD中，AB=4，AD=3=BC，
AC=5，
又AQ=AD=3，ADCP，
CQ=5-3=2，CQP=∠AQD=∠ADQ=∠CPQ，
CP=CQ=2，
BP=3-2=1，
Rt△ABP中，AP=个边长为1的正方形拼接成一排，求得，，，计算，……按此规律，写出（用含的代数式表示）．
【答案】，作CH⊥BA4于H，
由勾股定理得，BA4=，A4C=，
△BA4C的面积=4-2-=，
∴××CH=，
解得，CH=，
则A4H==，
∴tan∠BA4C==，
1=12-1+1，
3=22-2+1，
7=32-3+1，
∴tan∠BAnC=（1）（2）∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值；
（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分面积之比为1:2时，求相应t的值。
【答案】（1）3；（2）DEF的大小不变；理由见解析；；（3）或.
【解析】
试题分析：（1）当t=3时，点E为AB的中点，由三角形的中位线定理得出DEEA，DE=OA=4，再由矩形的性质证出DEAB，得出OAB=∠DEA=90°，证出四边形DFAE是矩形，得出DF=AE=3即可；
（2）作DMOA于点M，DNAB于N，证明四边形DMAN是矩形，得出MDN=90°，DMAB，DNOA，由平行线得出比例式，，由三角形中位线定理得出DM=AB=3，DN=OA=4，证明ΔDMFΔDNE，得出，再由三角函数的定义即可得解；
（3）作DMOA于M，DNAB于N，若AD将ΔDEF的面积分为1:2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点.
当点E到达中点之前时，NE=3-t，由ΔDMFΔDNE得：MF＝，求出AF=4+MF=，得出G（，），求出直线AD的解析式为y=-+6，把G（，）代入即可求出t的值；
当点超过中点之后，NE＝t-3，由由ΔDMFΔDNE得：MF＝，求出AF=4-MF=，得出G（，），代入直线AD的解析式y=-+6即可求出t的值；
试题解析：（1）当t=3时，点E为AB的中点，
A（8，0），C（0，6），
OA=8，OC=6，
点D为OB的中点，
DE∥OA，DE=OA=4，
四边形OABC是矩形，
OA⊥AB，
DE⊥AB，
OAB=∠DEA=90°，
又DF⊥DE，
EDF=90°，
四边形DFAE是矩形，
DF=AE=3；
（2）DEF的大小不变；理由如下：
作DMOA于M，DNAB于N，如图2所示：
四边形OABC是矩形，
OA⊥AB，
四边形DMAN是矩形，
MDN=90°，DMAB，DNOA，
，，
点D为OB的中点，
M、N分别是OA、AB的中点，
DM=AB=3，DN=OA=4，
EDF=90°，
FDM=∠EDN，
又DMF=∠DNE=90°，
DMF∽△DNE，
，
EDF=90°，
tan∠DEF=；
（3）作DMOA于M，DNAB于N，
若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，
设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；
当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3﹣t，
由△DMFDNE得：MF=（3﹣t），
AF=4+MF=﹣t+，
点G为EF的三等分点，
G（，），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
把A（8，0），D（4，3）代入得：，
解得：，
直线AD的解析式为y=﹣x+6，
把G（，）代入得：t=；
当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t﹣3，
由△DMFDNE得：MF=（t﹣3），
AF=4﹣MF=﹣t+，
点G为EF的三等分点，
G（，），
代入直线AD的解析式y=﹣x+6得：t=；
综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为或.
考点：四边形综合题.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ.过点E作EFAB交PQ于F，连接BF,
(1)求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随着移动.
当点Q与点C重合时，（如图2），求菱形BFEP的边长；
如限定P，Q分别在BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）菱形BFEP的边长为cm.点E在边AD上移动的最大距离为2cm.
【解析】
试题分析：（1）利用定理:四条边都相等的四边形是菱形，证明四边形BFEP为菱形；
在直角三角形APE中，根据勾股定理求出EP=
分两种情况讨论：第一：点Q和点C重合；第二：点P和点A重合
试题解析：（1）折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ
点B与点E关于PQ对称
PB=PE，BF=EF，BPF=∠EPF
又EF∥AB
∴∠BPF=∠EFP
∴∠EPF=∠EFP
∴EP=EF
∴BP=BF=FE=EP
∴四边形BFEP为菱形.
（2）如图2
四边形ABCD是矩形
BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，A=∠D=90°
∵点B与点E关于PQ对称
CE=BC=5cm
在RtΔCDE中，DE2=CE2-CD2，即DE2=52-32
DE=4cm
∴AE=AD-DE=5cm-4cm=1cm
在RtΔAPE中，AE=1，AP=3-PB=3-PE
EP2=12+（3-EP）2，解得：EP=cm.
菱形BFEP的边长为cm.
当点Q与点C重合时，如图2，点E离A点最近，由知，此时AE=1cm.
当点P与点A重合时，如图3.点E离A点最远，此时，四边形ABQE是正方形.
AE=AB=3cm
∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm.
考点：折叠问题，矩形的性质，菱形的性质与判定，分类讨论思想一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：
，将矩形四边、、分别延长至、、，使得，连接，，.
求证：四边形平行四边形；
若矩形边长为正方形，且，求长.
【答案】（1）证明见解析；（2）2
【解析】
试题分析：（1）易证AH=CF，结合已知条件由勾股定理可得EH=FG，同理可得EF=GH，从而得证.
（2）设AE=x，则BE=x+1，由可得DH=x+1，AH=x+2,由可求出结果.
试题分析：（1）在矩形ABCD中，AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°
又∵BF=DH
∴AD+DH=BC+BF
即AH=CF
在RtΔAEH中，EH=
在RtΔCFG中，FG=
∵AE=CG
∴EH=FG
同理得：EF=HG
∴四边形EFGH为平行四边形．
（2）在正方形ABCD中，AB=AD=1
设AE=x,则BE=x+1
∵在RtΔBEF中，
∴BE=BF
∵BF=DH
∴DH=BE=x+1
∴AH=AD+DH=x+2
∵
∴AH=2AE
∴2+x=2x
∴x=2
即AE=2
考点：1.矩形的性质；2.平行四边形的判定；3.正方形的性质；4.解直角三角形.
4.（2017甘肃庆阳第26题）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
．
【解析】
试题分析：（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．
（2）当四边形BEDF是菱形时，BE⊥EF，
设BE=x，则DE=x，AE=6﹣x，
在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+（6﹣x）2，
解得：x=，
∵BD=，
∴OB=BD=，
∵BD⊥EF，
∴EO=，
∴EF=2EO=．
考点：矩形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质．
5.（2017广西吴江第26题）已知，在，边上的一个动点，将所在直线折叠，使点处.
（1）如图1，若点中点，连接.的长：四边形平行四边形，过点交的延长线于点求长BD=，BP=2．．（1）分别在RtABC，RtBDC中，求出AB、BD即可解决问题；
想办法证明DPBC，DP=BC即可；
（2）如图2中，作DNAB于N，PEAC于E，延长BD交PA于M．设BD=AD=x，则CD=4﹣x，在RtBDC中，可得x2=（4﹣x）222，推出x=，推出DN=，由BDN∽△BAM，可得，由此求出AM，由ADM∽△APE，可得，由此求出AE=，可得EC=AC﹣AE=4﹣=由此即可解决问题．
（1）在RtABC中，BC=2，AC=4，
AB=，
AD=CD=2，
BD=，
由翻折可知，BP=BA=2．
如图1中，
BCD是等腰直角三角形，
BDC=45°，
ADB=∠BDP=135°，
PDC=135°﹣45°=90°，
BCD=∠PDC=90°，
DP∥BC，PD=AD=BC=2，
四边形BCPD是平行四边形．
（2）如图2中，作DNAB于N，PEAC于E，延长BD交PA于M．
设BD=AD=x，则CD=4﹣x，
在RtBDC中，BD2=CD2+BC2，
x2=（4﹣x）222，
x=，
DB=DA，DNAB，
BN=AN=，
在RtBDN中，DN=，
由BDN∽△BAM，可得，
∴AM=2，
AP=2AM=4，
由ADM∽△APE，可得，
，
AE=，
EC=AC﹣AE=4﹣=，
易证四边形PECH是矩形，
PH=EC=．如图，DBAC，且DB=AC，E是AC的中点，
（1）求证：BC=DE；
（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给ABC添加什么条件，为什么？
（1）证明：E是AC中点，
EC=AC．
DB=AC，
DB∥EC．
又DB∥EC，
四边形DBCE是平行四边形．
BC=DE．
（2）添加AB=BC．
理由：DB∥AE，DBAE
∴四边形DBEA是平行四边形．
BC=DE，AB=BC，
AB=DE．
ADBE是矩形．
矩形的判定；平行四边形的判定与性质．的一组对边的延长线相交于点．
（1）如图1，若，求证；
（2）如图2，若，，，，的面积为6，求四边形的面积；
（3）如图3，另一组对边的延长线相交于点，若，，，直接写出的长（用含的式子表示）．
【答案】(1)证明见解析；（2）75-18；（3）
【解析】
试题解析：（1）∵∠ADC=90°
∴∠EDC=90°
∴∠ABE=∠CDE
又∵∠AEB=∠CED
∴ΔEAB∽ΔECD
∴
∴
(2)过点C作CG⊥AD于点G，过点A作AH⊥BC于点H，
∵CD=5，cos∠ADC=
∴DG=3，CG=4
∵SΔCED=6
∴ED=3
∴EG=6
∵AB=12∠ABC=120°
∴BH=6AH=6
由（1）有：ΔECG∽ΔEAH
∴
∴EH=9
∴S四边形ABCD＝SΔAEH－SΔECG-SΔABH
=
=75-18
(3)
考点：相似三角形的判定与性质.
8.（2017湖南怀化第19题）如图，四边形正方形，等边三角形.
(1)求证：
(2)求度数.
150°．（1）根据正方形、等边三角形的性质，可以得到AB=BE=CE=CD，ABE=∠DCE=30°，由此即可证明；
（2）只要证明EAD=∠ADE=15°，即可解决问题；（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABC是等边三角形，
BA=BC=CD=BE=CE，ABC=∠BCD=90°，EBC=∠ECB=60°，
ABE=∠ECD=30°，
在ABE和DCE中，
，
ABE≌△DCE（SAS）．
（2）BA=BE，ABE=30°，
BAE=（180°﹣30°）=75°，
BAD=90°，
EAD=90°﹣75°=15°，同理可得ADE=15°，
AED=180°﹣15°﹣15°=150°．
已知，如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连DE并延长交AB的延长线于点F，求证：AB=BF．
【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析：根据线段中点的定义可得CE=BE，根据平行四边形的对边平行且相等可得ABCD，AB=CD，再根据两直线平行，内错角相等可得DCB=∠FBE，然后利用“角边角”证明△CED和△BEF全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=BF，从而得证．
试题解析：E是BC的中点，
CE=BE，
四边形ABCD是平行四边形，
AB∥CD，AB=CD，
DCB=∠FBE，
在△CED和△BEF中，
，
CED≌△BEF（ASA），
CD=BF，
AB=BF．
考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定与性质．如图，矩形ABCD中，ABD、CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，理由见解析.
试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC、AD∥BC，
∴∠ABD=∠CDB，
∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，
∴∠EBD=∠ABD，∠FDB=∠BDC，
∴∠EBD=∠FDB，
∴BE∥DF，
又∵AD∥BC，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴∠EDB=90°-∠ABD=30°，
∴∠EDB=∠EBD=30°，
∴EB=ED，
又∵四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形．
考点：矩形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．
11.（2017甘肃兰州第26题）如图，1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点.
(1)求证：是等腰三角形；
(2)如图2，过点作，交于点，连结交于点.
①判断四边形的形状，并说明理由；
②若，，求的长.
．（1）证明：如图1，根据折叠，DBC=∠DBE，
又ADBC，
DBC=∠ADB，
DBE=∠ADB，
DF=BF，
BDF是等腰三角形；
（2）四边形ABCD是矩形，
AD∥BC，
FD∥BG，
又FD∥BG，
四边形BFDG是平行四边形，
DF=BF，
四边形BFDG是菱形；
AB=6，AD=8，
BD=10．
OB=BD=5．
假设DF=BF=x，AF=AD﹣DF=8﹣x．
在直角ABF中，AB2A2=BF2，即62（8﹣x）2=x2，
解得x=，
即BF=，
FO==，
FG=2FO=．
如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF．
求证：ABF=∠CBE．
【答案】
【解析】
考点：菱形的性质
13.（2017江苏徐州第23题）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交延长线于点连接.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，则当时，四边形是矩形.
【答案】（1）证明见解析；（2）100°
【解析】
试题分析：（1）由AAS证明△BOECOD，得出OE=OD，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出BCD=∠A=50°，由三角形的外角性质求出ODC=∠BCD，得出OC=OD，证出DE=BC，即可得出结论．（1）四边形ABCD为平行四边形，
AB∥DC，AB=CD，
OEB=∠ODC，
又O为BC的中点，
BO=CO，
在△BOE和△COD中，，
BOE≌△COD（AAS）；
OE=OD，
四边形BECD是平行四边形；
（2）若A=50°，则当BOD=100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：
四边形ABCD是平行四边形，
BCD=∠A=50°，
BOD=∠BCD+∠ODC，
ODC=100°-50°=50°=∠BCD，
OC=OD，
BO=CO，OD=OE，
DE=BC，
四边形BECD是平行四边形，
四边形BECD是矩形；
是的中线，是线段上一点（不与点重合）．交于点，，连结．
（1）如图1，当点与重合时，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，当点不与重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.
（3）如图3，延长交于点，若，且．
①求的度数；
②当，时，求的长．
【答案】（1）证明见解析（2）成立，理由见解析；（3）①30°．1+．（1）只要证明AE=BM，AE∥BM即可解决问题；
（2）成立．如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．由四边形DMGE是平行四边形，推出ED=GM，且ED∥GM，由（1）可知AB=GM，AB∥GM，可知AB∥DE，AB=DE，即可推出四边形ABDE是平行四边形；
（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，只要证明MI=AM，MI⊥AC，即可解决问题；
②设DH=x，则AH=x，AD=2x，推出AM=4+2x，BH=4+2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出DF∥AB，推出，可得，解方程即可；
（2）结论：成立．理由如下：
如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．
∵CE∥AM，
∴四边形DMGE是平行四边形，
∴ED=GM，且ED∥GM，
由（1）可知AB=GM，AB∥GM，
∴AB∥DE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，
∵BM=MC，
∴MI是△BHC的中位线，
∴∥BH，MI=BH，
∵BH⊥AC，且BH=AM．
∴MI=AM，MI⊥AC，
∴∠CAM=30°．
②设DH=x，则AH=x，AD=2x，
∴AM=4+2x，
∴BH=4+2x，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴DF∥AB，
∴，
∴，
解得x=1+或1-（舍弃），
∴DH=1+．
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