答案：C答案：C答案：C第页返回导航数学基础知识导航考点典例领航智能提升返航课时规范训练第1课时集合确定性互异性a∈Ab?A列举法描述法NZQRA?BB?A任何任何非空A?AA?UA答案：C答案：D答案：－1答案：(5,6]答案：C答案：(－∞，3]解析：P＝{y|y≥1}，Q＝{y|y＞0}，∴P?Q，选A.[易错警示]
空集的呐喊——勿忘我
空集是任何集合的子集，即对于任一集合A，有A.空集是任何非空集合的真子集．当遇到“AB”时，要注意是否需要讨论A＝或A≠两种情况，即“优先原则”．
[典例]若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且SP，则由a的可取值组成的集合为________．
1．元素与集合
(1)集合元素的特性：、、无序性．
(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作；若b不属于集合A，记作.
(3)集合的表示方法：、、图示法．
考点一集合的概念命题点 1.集合元素的特征
2.集合表示方法及意义 (4)常见数集及其符号表示
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N或N＋
2.集合间的基本关系
表示关系 文字语言 记法 集合
间的基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 或
集合
间的基本关系 真子集 集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A AB或BA 相等 集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素 AB且BA?A＝B 空集 空集是集合的子集 A 空集是集合的真子集 B且B≠
3．集合的基本运算
(1)三种基本运算的概念及表示
集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 AB A∩B 若全集为U，则集合A的补集为UA
图形表示 意义 {x|xA，或xB} {x|x∈A，且xB} ?UA＝{x|xU，且xA}
(2)三种运算的常见性质
A∪B＝AB?A，A∩B＝AA?B.
②A∩A＝，A∩＝.
③A∪A＝，A＝.
④A∩?UA＝，AUA＝，U(?UA)＝.
4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．(×)
(2)若a在集合A中，则可用符号表示为aA.(×)
(3)若AB，则AB且A≠B.(√)
(4)NNZ.(√)
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×)
(6)对于任意两个集合A，B，都有(A∩B)(A∪B)成立．(√)
(7)U(A∪B)＝(UA)∩(?UB)，U(A∩B)＝(UA)∪(?UB)．(√)
(8)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)
(9){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(√)
(10)若AB＝AC，则B＝C.(×)
[例1](1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|xA，yA}中元素的个数是()
A．1B．3
C．5D．9
解析：A＝{0,1,2}，B＝{x－y|xA，yA}＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B中有5个元素．
(2)若集合A＝{xR|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()
A.B.
C．0D．0或
解析：当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.
[方法引航]?1?研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件.当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.?2?对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性.1．已知aR，若{－1,0,1}＝，则a＝________.
解析：由题意≠0，a≠0，a2≠－1，所以只有a2＝1.
当a＝1时，＝1，不满足互异性，a＝－1.
2．(2017·福建厦门模拟)已知P＝{x|2＜x＜k，xN}，若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为________．
解析：因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为5＜k≤6.
考点二集合间的关系及应用命题点 1.判断集合的关系
2.应用集合的关系 [例2](1)设P＝{y|y＝－x2＋1，xR}，Q＝{y|y＝2x，xR}，则()
A．PQ B．QP
C．RP?Q D．QRP
解析：因为P＝{y|y＝－x2＋1，xR}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，xR}＝{y|y＞0}，所以RP＝{y|y＞1}，所以RP?Q，选C.
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，则实数m的取值范围为________．
解析：B?A，
若B＝，则2m－1＜m＋1，此时m＜2.
若B≠，则
解得2≤m≤3.
由、可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．
[方法引航]1.集合间基本关系的两种判定方法
(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系
(2)用列举法(或图示法等)表示各个集合，从元素(或图形)中寻找关系．
2．根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．
(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；
(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．
1．在本例(1)中，集合P变为P＝{y|y＝x2＋1}，Q不变，如何选答案．
2．在本例(2)中，若AB，如何求m的取值范围？
解：若AB，
则即
所以m的取值范围为.
②若将本例(2)中的集合A，B分别更换为A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，xR}，如何求m的取值范围？
解：()若B＝，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2；
()若1B，则12＋m＋1＝0，
解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；
()若2B，则22＋2m＋1＝0，
解得m＝－，此时B＝，不合题意．
综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)．
考点三集合的运算命题点 1.数集交、并、补的运算
2.与函数、不等式综合的交、并、补的运算
3.利用集合运算求参数 [例3](1)(2017·山东烟台诊断)若集合A＝，集合B＝{y|y＝2x，xA}，则集合A∩B＝()
A.B.
C. D．{0,1}
解析：B＝{y|y＝2x，xA}＝，所以A∩B＝，故选C.
(2)(2017·安徽合肥模拟)已知全集U＝R，A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2－2x＞0}，则U(A∪B)＝()
A．{x|x≤2}B．{x|x≥1}
C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}
解析：由x2－2x＞0得x＞2或x＜0，即B＝{x|x＜0，或x＞2}，A∪B＝{x|x＜0，或x＞1}，U(A∪B)＝{x|0≤x≤1}．
(3)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若PM＝P，则a的取值范围是()
A．(－∞，－1]B．[1，＋∞)
C．[－1,1]D．(－∞，－1][1，＋∞]
解析：由PM＝P，得MP.又P＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，－1≤a≤1，故选C.
[方法引航](1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．(3)对于混合运算，有括号者，先运算括号里面的．
1．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，则AB＝()
A．(－1,3)B．(－1,0)
C．(0,2)D．(2,3)解析：选A.将集合A与B在数轴上画出(如图)．由图可知AB＝(－1,3)，故选A.2．已知集合A＝{－1,0,4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，xN}，全集为Z，则图中阴影部分表示的集合是()A．{4}B．{4，－1}
C．{4,5}D．{－1,0}
解析：选B.B＝{x|x2－2x－3≤0，xN}＝{x|－1≤x≤3，xN}＝{0,1,2,3}，阴影部分为A∩(ZB)＝{4，－1}．
3．(2017·宁夏银川一中模拟)已知集合A＝{a，b,2}，B＝{2，b2,2a}，且A∩B＝AB，则a＝________
解析：因为A∩B＝AB，所以A＝B，则或解得或所以a的值为0或.
[正解]P＝{－3,2}．当a＝0时，S＝，满足SP；
当a≠0时，方程ax＋1＝0的解集为x＝－，
为满足SP可使－＝－3或－＝2，
即a＝或a＝－.
故所求集合为.
[易误]在解答本题时，易出现两个典型错误．一是易忽略对空集的讨论，如S＝时，a＝0；二是易忽略对字母的讨论．如－可以为－3或2.
[警示](1)从集合的关系看，SP，则S＝或S≠，勿遗忘S＝的情况．
(2)对含字母的问题，注意分类讨论．
[高考真题体验]
1．(2016·高考全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝()
A．{－2，－1,0,1,2,3}B．{－2，－1,0,1,2}
C．{1,2,3}D．{1,2}
解析：选D.B＝{x|x2＜9}＝{x|－3＜x＜3}．又A＝{1,2,3}，A∩B＝{1,2}．
2．(2016·高考全国乙卷)设集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝()
A．{1,3}B．{3,5}
C．{5,7}D．{1,7}
解析：选B.A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，
A∩B＝{3,5}．
3．(2016·高考全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，xZ}，则AB＝()
A．{1}B．{1,2}
C．{0,1,2,3}D．{－1,0,1,2,3}
解析：选C.B＝{x|－1＜x＜2，xZ}＝{0,1}．又A＝{1,2,3}，A∪B＝{0,1,2,3}．
4．(2016·高考全国丙卷)设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则AB＝()
A．{4,8}B．{0,2,6}
C．{0,2,6,10}D．{0,2,4,6,8,10}
5．(2016·高考浙江卷)已知集合P＝{xR|1≤x≤3}，Q＝{xR|x2≥4}，则P(?RQ)＝()
A．[2,3]
B．(－2,3]
C．[1,2)
D．(－∞，－2][1，＋∞)
解析：选B.根据补集和并集的概念进行运算，也可以借助数轴求解．
Q＝{xR|x2≥4}，
RQ＝{xR|x2＜4}＝{x|－2＜x＜2}．
P＝{xR|1≤x≤3}，
P∪(?RQ)＝{x|－2＜x≤3}＝(－2,3]．
6．(2016·高考山东卷)设集合A＝{y|y＝2x，xR}，B＝{x|x2－1＜0}，则AB＝()
A．(－1,1)B．(0,1)
C．(－1，＋∞)D．(0，＋∞)
解析：选C.先化简集合A，B，再利用并集的定义求解．
由已知得A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则AB＝{x|x＞－1}．故选C.
答案：0或
[答案]
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