答案：C答案：1[答案]C第页返回导航数学基础知识导航考点典例领航智能提升返航课时规范训练第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词真真假假“?”“?”答案：B答案：C答案：C答案：C解析：选C.命题p是一个特称命题，其否定是全称命题，故选C.答案：B[易错警示]
量词的“烦恼”——对量词的否定不当致误
含量词的命题的否定方法是“改量词，否结论”，即把全称量词与存在量词互换，然后否定原命题的结论．
1．命题pq，pq，綈p的真假判断
考点一含逻辑联结词命题的真假判断及应用
命题点 1.判断复合命题的真假
2.利用复合命题真假求参数 p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 假 真 假 真 假 假 真 假 真 假 假 假 真 2.全称量词和存在量词
量词名词 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 用表示 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 用表示 3.全称命题和特称命题
命题名称 命题结构 命题简记 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 x∈M，p(x) 特称命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 x0∈M，p(x0) 4.含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定 x∈M，p(x) x0∈M，綈p(x0) x0∈M，p(x0) x∈M，綈p(x) 5.判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”)
(1)命题pq为假命题，则命题p、q都是假命题．(×)
(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)
(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则pq是真命题．(√)
(4)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．(×)
(5)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．(√)
(6)?x0∈M，p(x0)与x∈M，綈p(x)的真假性相反．(√)
(7)已知命题p：x∈R，x2≠x，则綈p：x∈/R，x2＝x.(×)
(8)命题“存在实数x，使x＞1”的否定是：x0∈R，使x≤1.(×)
(9)“x∈R,2x－1＞0”是真命题．(√)
(10)“全等三角形的面积相等”是全称命题．(√)
[例1](1)给定命题p：函数y＝sin和函数y＝cos的图象关于原点对称；命题q：当x＝kπ＋(kZ)时，函数y＝(sin2x＋cos2x)取得极小值．下列说法正确的是()
A．pq是假命题B．(綈p)q是假命题
C．pq是真命题D．(綈p)q是真命题
解析：命题p中y＝cos＝cos＝cos＝sin与y＝sin关于原点对称，故p为真命题；命题q中y＝(sin2x＋cos2x)＝2sin取极小值时，2x＋＝2kπ－，则x＝kπ－，kZ，故q为假命题，则綈pq为假命题，故选B.
(2)已知命题p：函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点；命题q：函数y＝x2－a在(0，＋∞)上是减函数．若p(綈q)为真命题，则实数a的取值范围是()
A．(1，＋∞)B．(－∞，2]
C．(1,2]D．(－∞，1]
解析：由题意可得，对命题p，令f(0)·f(1)＜0，即－1·(2a－2)＜0，得a＞1；对命题q，令2－a＜0，即a＞2，则綈q对应的a的取值范围是a≤2.p∧(綈q)为真命题，实数a的取值范围是(1,2]．
[方法引航]?1?要判断pq，pq，綈p的真假.首先确定，每个简单命题p，q的真假，然后再判断复合命题的真假.?2?含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假，解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围.1．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()
A．(綈p)qB．pq
C．(綈p)(綈q)D．(綈p)(綈q)
解析：选D.不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有綈p綈q为真命题．
2．已知命题p：“x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是()
A．{a|a≤－2或a＝1}B．{a|a≥1}
C．{a|a≤－2或1≤a≤2}D．{a|－2≤a≤1}
解析：选A.由题意知，p：a≤1，q：a≤－2或a≥1，
“p且q”为真命题，p、q均为真命题，
a≤－2或a＝1.考点二全称命题、特称命题的否定命题点 1.全称命题的否定
2.特称命题的否定 [例2](1)已知命题p：x1，x2R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)≥0，则綈p是()
A．x1，x2R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．x1，x2R，(f(x2)－f(x1)(x2－x1)≤0
C．x1，x2R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0
D．x1，x2R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0
解析：由否命题的定义可得，綈p：x1，x2R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0.
(2)命题“存在实数x，使x＞1”的否定是()
A．对任意实数x，都有x＞1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D.存在实数x，使x≤1
解析：利用特称命题的否定是全称命题求解．“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.
[方法引航]对全?特?称命题进行否定的方法?1?找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定.?2?对原命题的结论进行否定.1．设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：x∈A,2x∈B，则()
A．綈p：x∈A,2x∈BB．綈p：x?A,2x?B
C．綈p：x?A,2x∈B D．綈p：x∈A,2x?B
解析：选D.命题p：x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为x∈A,2x?B，选D.
2．设命题p：n∈N，n2＞2n，则綈p为()
A．n∈N，n2＞2nB．n∈N，n2≤2n
C．n∈N，n2≤2nD．n∈N，n2＝2n
考点三全称命题、特称命题真假的判断及应用命题点 1.判断全称命题、特称命题的真假
2.应用命题真假求参数 [例3](1)下列命题中的假命题是()
A．x∈R,2x－1＞0
B．x∈N，(x－1)2＞0
C．x0∈R，lnx0＜1
D．x0∈R，tanx0＝2
解析：因为2x－1＞0，对x∈R恒成立，所以A是真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B是假命题；存在0＜x0＜e，使得lnx0＜1，所以C是真命题；因为正切函数y＝tanx的值域是R，所以D是真命题．
(2)已知命题p：x＞0，x＋≥4；命题q：x0∈(0，＋∞)，2x0＝，则下列判断正确的是()
A．p是假命题B．q是真命题
C．p(綈q)是真命题D．(綈p)q是真命题
解析：当x＞0时，x＋≥2＝4，p是真命题；当x＞0时，2x＞1，q是假命题，所以p(綈q)是真命题，(綈p)q是假命题．
(3)由命题“存在x0R，使x＋2x0＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是________．
解析：命题“存在x0R使x＋2x0＋m≤0”是假命题，
命题“x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题，故Δ＝22－4m＜0，即m＞1，故a＝1.
[方法引航]1.全称命题真假的判断方法
(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．
(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．
2．特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
1．在本例(3)中，命题改为：“x∈R，x2＋2x＋m≥0”，求m的范围．
解析：设y＝x2＋2x＋m，要使y≥0恒成立．
Δ＝22－4m≤0，m≥1
2．在本例(3)中，命题改为“x0≤0，使x＋2x0＋m≤0”，求m的范围．
解析：由x＋2x0＋m≤0，可得m≤－x－2x0.
设y＝－x－2x0，由题意可知，m≤ymax.
y＝－(x0＋1)2＋1，当x≤0时，ymax＝f(－1)＝1，
m≤1.
[典例](2017·山东济南检测)已知命题p：“x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“(綈p)q”是真命题，则实数a的取值范围是()
A．a≤－2或a＝1B．a≤2或1≤a≤2
C．a＞1D．－2≤a≤1
[正解]由题意得綈p：x0∈[1,2]，x－a＜0.
a＞x∈[1,4]，a＞1.
q为真，即x2＋2ax＋2－a＝0有根，
Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，a≥1或a≤－2.
(綈p)q是真命题，a＞1.
[易误]写綈p时，命题写错：x∈[1,2]，x2－a≤0，导致a≥1.
x∈[1,2]，x2－a＞0，导致a＜1.
[警示]对量词否定不当导致解题错误．
[高考真题体验]
1．(2016·高考浙江卷)命题“x∈R，n∈N，使得n≥x2”的否定形式是()
A．x∈R，n∈N，使得n＜x2
B．x∈R，n∈N，使得n＜x2
C．x∈R，n∈N，使得n＜x2
D．x∈R，n∈N，使得n＜x2
解析：选D.由特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题得，原命题的否定形式为“x∈R，n∈N，使得n＜x2.”
2．(2015·高考湖北卷)命题“x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是()
A．x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1
B．x?(0，＋∞)，lnx＝x－1
C．x0∈(0，＋∞)，lnx0≠x0－1
D．x0?(0，＋∞)，lnx0＝x0－1
解析：选A.特称命题的否定为全称命题，所以x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1的否定是x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1，故选A.
3．(2014·高考辽宁卷)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若ab，bc，则ac.则下列命题中真命题是()
A．pqB．pq
C．(綈p)(綈q)D．p(綈q)
解析：选A.命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0，错误；命题q：若ab，bc，则ac，正确．因此pq是真命题，其他选项都不正确，故选A.
4．(2014·高考安徽卷)命题“x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()
A．x∈R，|x|＋x2＜0B．x∈R，|x|＋x2≤0
C．x0∈R，|x0|＋x＜0D．x0∈R，|x0|＋x≥0
解析：选C.全称命题的否定是特称命题，即命题“x∈R，|x|＋x2≥0”的否定为“x0∈R，|x0|＋x＜0”．故选C.
5．(2013·高考课标卷)已知命题p：x∈R,2x＜3x；命题q：x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()
A．pq B．綈pq
C．p綈qD．綈p綈q
解析：选B.对于命题p，由于x＝－1时，2－1＝＞＝3－1，所以是假命题，故綈p是真命题；
对于命题q，设f(x)＝x3＋x2－1，由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝1＞0，所以f(x)＝0在区间(0,1)上有解，即存在xR，x3＝1－x2，故命题q是真命题．
综上，綈pq是真命题，故选B.
6．(2015·高考山东卷)若“x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
解析：因为“x∈，tanx≤m”是真命题，所以m≥(tanx)max.当x时，函数y＝tanx是单调增函数，故(tanx)max＝tan＝1，所以m≥1，故m的最小值为1.
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