2014年普通高等学校统一考试（大纲）
文科
选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
设集合M={1，2，4，6，8},N={2，3，5，6，7},则MN中元素的为
A.2B.3C.5D.7
【答案】B
(2)已知角的终边经过点（-4,3），则cos=
A.B.C.－D.－
【答案】D
(3)不等式组的解集为
A.B.C.D.
【答案】C
（4）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为
A.B.C.D.
【答案】B
(5)函数y=ln()(x>-1)的反函数是
A.B.
C.D..
【答案】D
（6）已知a、b为单位向量，其夹角为60，则（2a－b）·b=
A.－1B.0C.1D.2
【答案】B
(7)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有
A.60种B.70种C.75种D.150种
【答案】C
（8）设等数列{an}的前n项和为Sn，若S2=3，S4=15，则S6=
A.31B.32C.63D.64
【答案】C
(9)已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与AB两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为
A.B.C.D.
【答案】A
（10）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是
A.B.16C.9D.
【答案】A
(11)双曲线C:的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于
A.2B.C.4D.
【答案】C
(12)奇函数f（x）的定义域为R，若f(x+2)为偶函数，则f(1)=1,则f(8)+f(9)=
A.－2B.－1C.0D.1
【答案】D
二、填空题(13)(x-2)的展开式中的系数为.（用数字作答）
【答案】-160
（14）函数的最大值为.
【答案】
（15）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为.
【答案】5
（16）直线l1和l2是圆的两条切线，若l1与l2的交点为（1,3），则l1与l2的交角的正切值
等于.
【答案】
于是an-a1=n2-2n，即an=n2-2n+1+a1.又a1=1，所以{an}的通项公式为an=n2-2n+2.
（18）（本小题满分10分）
△ABC的内角A,B,C的对边分别是a，b，c，已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B.
解：由题设和正弦定理得，3sinAcosC=2sinCcosA,
所以3tanAcosC=2sinC.
因为tanA=，所以cosC=2sinC.
tanC=.
所以tanB=tan[180-(A+C)]
=-tan(a+c)
==-1,
即B=135.
（19）（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90，BC=1，AC=CC1=2.
(1)证明：AC1⊥A1B;
(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1-AB-C的大小.
解法一：（1）∵A1D⊥平面ABC,A1D平面AA1C1C,故平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，因为侧面AA1C1C是棱形，所以AC1⊥A1C,由三垂线定理的AC1⊥A1B.
(2)BC⊥平面AA1C1C，BC平面BCC1B1,故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,
作A1E⊥C1C,E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1,又直线AA1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1间的距离，A1E=，因为A1C为∠ACC1的平分线，故A1D=A1E=,
作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F,由三垂线定理得A1F⊥AB，故∠A1FD为二面角A1-AB-C的平面角，由AD=,得D为AC的中点，DF=,tan∠A1FD=,所以二面角A1-AB-C的大小为arctan.
解法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内.
（1）设A1（a，0，c），由题设有a≤2，A（2,0,0）B（0,1,0），则(-2，1，0),
，，由得，即，于是①,所以.
（2）设平面BCC1B1的法向量，则，,即，因，故y=0，且（a-2）x-cz=0，令x=c，则z=2-a，，点A到平面BCC1B1的距离为，又依题设，点A到平面BCC1B1的距离为，所以c=.代入①得a=3（舍去）或a=1.于是，
设平面ABA1的法向量，则,即.且-2p+q=0，令p=，则q=2，r=1，，又为平面ABC的法向量，故cos，所以二面角A1-AB-C的大小为arccos
20.（本小题满分12分）
设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6，0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，
（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.
解：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i=0,1,2.
B表示事件：甲需使用设备.
C表示事件：丁需使用设备.
D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.
E表示事件：同一工作日4人需使用设备.
F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.
（1）D=A1·B·C+A2·B+A2··C
P(B)=0.6，P(C)=0.4，P(Ai)=.
所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)
=P(A1P)·P(B)·P(C)+P(A2)·P(B)+P(A2)·p()·p(C)=0.31.
(2)由（1）知，若k=3，则P(F)==0.31>0.1.
又E=B·C·A2,P(E)=P(B·C·A2)=P(B)·P(C)·P(A2)=0.06；
若k=4，则P(F)=0.06<0.1.
所以k的最小值为3.
21.（本小题满分12分）函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.
解：（1），的判别式△=36（1-a）.
（i）若a≥1，则，且当且仅当a=1，x=-1，故此时f（x）在R上是增函数.
（ii）由于a≠0，故当a<1时，有两个根：，
若0
当x∈（x2，x1）时，，故f（x）在（x2，x1）上是减函数；
（2）当a>0，x>0时,，所以当a>0时，f（x）在区间（1，2）是增函数.
若a<0时，f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当且，解得.
综上，a的取值范围是.
22.（本小题满分12分）
已知抛物线C:的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.
解：（1）设Q（x0，4），代入由中得x0=，
所以，由题设得，解得p=－2（舍去）或p=2.
所以C的方程为.
（2）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为，（m≠0）代入中得
，
设A（x1,y1）,B(x2,y2),则y1+y2=4m，y1y2=－4，
故AB的中点为D（2m2+1,2m），，
有直线的斜率为－m，所以直线的方程为，将上式代入中，并整理得
.
设M(x3,y3),N(x4,y4),则.
故MN的中点为E（）.
由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于,从而,即，化简得
m2-1=0，解得m=1或m=－1，
所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
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