2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
数学（理科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是的共轭复数.若，（（为虚数单位），则（）
B.C.D.
2.函数的定义域为（）
B.C.D.
3.已知函数，，若，则（）
1B.2C.3D.-1
在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若则的面积（）
A.3B.C.D.
一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）
某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，泽宇性别有关联的可能性最大的变量是（）
A.成绩B.视力C.智商D.阅读量
阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）
A.7B.9C.10D.11
8.若则（）
A.B.C.D.1
9.在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（）
A.B.C.D.
如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）
二.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
11(1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（）
A.B.C.D.
11(2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标为（）
B.C.D.
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
12.10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________.
13.若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是________.
14.已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则=
15.过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为
四.简答题
16.已知函数，其中
（1）当时，求在区间上的最大值与最小值；
(2)若，求的值.
17、（本小题满分12分）
已知首项都是1的两个数列（），满足.
令，求数列的通项公式；
若，求数列的前n项和.
18、（本小题满分12分）
已知函数.
当时，求的极值；
若在区间上单调递增，求b的取值范围.
19(本小题满分12分)
如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.
求证：
若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值.
（本小题满分13分）
如图，已知双曲线的右焦点,点分别在的两条渐近线上，轴，∥(为坐标原点）.
求双曲线的方程；
过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值
（满分14分）随机将这2n个连续正整数分成A,B两组，每组n个数，A组最小数为，最大数为；B组最小数为，最大数为，记
当时，求的分布列和数学期望；
令C表示事件与的取值恰好相等，求事件C发生的概率；
对（2）中的事件C,表示C的对立事件，判断和的大小关系，并说明理由。
参考答案
一、1.D2.C3.A4.C5.B6.D7.B8.B9.A10.C
二、11（1）.C11(2).A
三、12.13.（-ln2,2）14.15.
四、
16.解（1）当时，
因为，从而
故在上的最大值为最小值为-1.
（2）由得，又知解得（1）因为，
所以
所以数列是以首项，公差的等差数列，故
（2）由知
于是数列前n项和
相减得
所以
（1）当时，由得或
当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，故在取极小值，在取极大值4.
（2）因为当时,
依题意当时，有，从而
所以b的取值范围为（1）证明：ABCD为矩形，故ABAD，
又平面PAD平面ABCD
平面PAD平面ABCD=AD
所以AB平面PAD，因为PD平面PAD，故ABPD
（2）解：过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.
故PO平面ABCD，BC平面POG,BCPG
在直角三角形BPC中，
设，则，故四棱锥P-ABCD的体积为
因为
故当时，即时，四棱锥的体积P-ABCD最大.
建立如图所示的空间直角坐标系，
故
设平面BPC的法向量，则由,得
解得
同理可求出平面DPC的法向量，从而平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为
（1）设，因为，所以
直线OB方程为，直线BF的方程为，解得
又直线OA的方程为，则
又因为ABOB，所以，解得，故双曲线C的方程为
（2）由（1）知，则直线的方程为，即
因为直线AF的方程为，所以直线与AF的交点
直线与直线的交点为
则
因为是C上一点，则，代入上式得
，所求定值为（1）当时，所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A,B两组，不同的分组方法共有种，所以的分布列为
2 3 4 5 P
（2）和恰好相等的所有可能值为
又和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；
和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；
和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；
所以当时，
当时
（3）由（2）当时，因此
而当时，理由如下：
等价于①
用数学归纳法来证明：
当时，①式左边①式右边所以①式成立
假设时①式成立，即成立
那么，当时，①式左边
=①式右边
即当时①式也成立
综合得，对于的所有正整数，都有成立
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