2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，则集合（）
A．B．C．D．
2．设复数z满足，则（）
A．B．C．D．
3.已知，，则（）
A．B．C．D．
4.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）
A．若则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
5.设a,b,c是非零向量，已知命题P：若，，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（）
A．B．C．D．
6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）
A．B．C．D．
7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
8.已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）
A．B．C．D．
9.设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（）
A．B．C．D．
10.已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为（）
A．B．C．D．
11.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
12.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.执行右侧的程序框图，若输入，则输出.
14.已知x，y满足条件，则目标函数的最大值为.
15.已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则.
16.对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）的值.
18.（本小题满分12分）
某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.
19.（本小题满分12分）
如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点.
（Ⅰ）求证：平面BCG；
（Ⅱ）求三棱锥D-BCG的体积.
附：椎体的体积公式，其中S为底面面积，h为高.
20.（本小题满分12分）
圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）.
（Ⅰ）求点P的坐标；
（Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线交于A，B两点，若的面积为2，求C的标准方程.
21.（本小题满分12分）
已知函数，.
证明：（Ⅰ）存在唯一，使；
（Ⅱ）存在唯一，使，且对（1）中的x0，有.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.
（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；
（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
（Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数，，记的解集为M，的解集为N.
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当时，证明：.
参考答案
1.D2.A3.D4.B5.A6.B7.C8.C9.D10.Ａ11.B12.C
13.14.15.16.
(17)解：
（Ⅰ）由得，．又．所以．由余弦定理，得．
又．所以．解得或．因为．所以．
（Ⅱ）在中，．由正弦定理得，．因，所以为锐角．因此
．于是．
18.（Ⅰ）将列联表中的数据代入公式计算．得．由于．所以有
的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
（Ⅱ）从5名数学系的学生任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间，，，．其中表示喜欢甜品的学生，．表示不喜欢甜品的学生，．
由10个基本事件组成，且这些基本事件出现是等可能的．用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则．事件A是由7个基本事件组成．因而．
19.（Ⅰ）证明：由已知得．因此．又为中点，所以；同理；因此平面．又．所以平面BCG．
（Ⅱ）在平面内．作．交延长线于．由平面平面．知平面．
又为中点，因此到平面距离是长度的一半．在中，．
所以．
20.（Ⅰ）设切点坐标为．则切线斜率为．切线方程为．即．此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积．由知当且仅当时，有最大值．即有最小值．因此点的坐标为．
（Ⅱ）设的标准方程为．点．由点在上知．并由得．又是方程的根，因此，由，，得．由点到直线的距离为及得．解得或．因此，（舍）或，
．从而所求的方程为．
21.（Ⅰ）当时，，所以在上为增函数．又．．所以存在唯一，使．
（Ⅱ）当时，化简得．令．记
．．则．由（Ⅰ）得，当时，；当时，．从而在上为增函数，由知，当时，，所以在上无零点．在上为减函数，由及知存在唯一，使得．于是存在唯一，使得．设．
．因此存在唯一的，使得．由于，，所以．
22.（Ⅰ）因为．所以
．由于为切线，所以．又由于，故．
所以
由于，所以，于是．故为圆的直径．
（Ⅱ）连接．由于是直径，故．在和中，，．从而．于是．又因为，所以．故．由于，所以，为直角．于是为直径．由（Ⅰ）得，．
23.（Ⅰ）设为圆上的点，经变换为上点．依题意，得由得．
即曲线的方程为．故C的参数方程为（为参数）．
（Ⅱ）由解得或不妨设．则线段的中点坐标为．
所求直线的斜率为．于是所求直线方程为．化为极坐标方程为
，即．
24.（Ⅰ）当时，由得．故；当时，
由得，故．所以的解集为．
（Ⅱ）由得，解得：．因此，故．
当时，，故．
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