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2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
如果事件，互斥，那么 的体积公式
其中
?圆柱的体积公式表示圆锥的高.
其中表示棱柱的底面面积，
表示棱柱的高
一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
（1）（）
（A）（B）（C）（D），选A.
（2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（）
（A）（B）（C）（D）时，取得最小值3，选B.
（3）：，总有，则为（）
（A）（B）
（C）（D）
解：依题意知为：，使得，选B.
（4）设，，则（）
（A）（B）（C）（D）
，，，所以，选C.
（5）是首项为，公差为-1的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则（）
（A）（B）（C）（D），所以，解得，选D.
（6）的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）
（A）（B）（C）（D），所以，，选A.
（7）是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下，给出下列四个结论：①平分；②；③；④（）
（A）②（B）③④（C）②③（D）②④
解：由弦切角定理得，又，
所以∽，所以，即，排除A、C.
又，排除B，选D.
（8），，在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为（）
（A）（B）（C）（D），所以得，
所以或，.
因为相邻交点距离的最小值为，所以，，，选C.
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上
3．本卷共12小题，共100分。
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）
（9）4：5：5：6名.
（10）已知一个.
解：该几何体的体积为.
（11）的值为________.
解：时，；时，，所以输出的的值为-4.
（12）的单调递减区间值是________.
解：由复合函数的单调性知，的单调递减区间是.
（13）的边长为2，，点分别在边上，，.若，则的值为_______.
解：因为，菱形的边长为2，所以.
因为，，
所以，解得.
（14）若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为__________.
解：作出的图象，如图
当直线与函数相切时，由可得，所以.
三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
（15）（本小题满分13分）
某和3名女同学，其年级情况如下：
二年级 三年级 男同学 女同学 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选中的可能性相同）.
（Ⅰ）用；
（）为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件发表的概率.
解：（I）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为
{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z}，共15种.选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y}，共6种.因此，事件发生的概率
（16）（本小题满分13分）
在中，内角的对边分别为已知.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值在三角形ABC中，由及，可得又，有，所以
()在三角形ABC中，由，可得，于是，所以
（17）（本小题满分13分）
如图，的底面是平行四边形，，，，分别是棱，的中点.
（Ⅰ）证明平面；
（Ⅱ）为，
（ⅰ）证明平面平面；
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
解：（I）)证明：如图取PB中点M,连接MF,AM.因为F为PC中点，故MF//BC且MF=BC.由已知有BC//AD，BC=AD.又由于E为AD中点，因而MF//AE且MF=AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF//AM,又AM平面PAB,而EF平面PAB,所以EF//平面PAB.连接PE,BE.因为PA=PD,BA=BD,而E为AD中点，故PEAD,BEAD,所以PEB为二面角P-AD-B的平面角.在三角形PAD中，由，可解得PE=2.在三角形ABD中，由,可解得BE=1.在三角形PEB中，PE=2,BE=1,,由余弦定理，可解得PB=，从而，即BEPB,又BC//AD,BEAD,从而BEBC,因此BE平面PBC.又BE平面ABCD，所以平面PBC平面ABCD,连接BF，由知BE平面PBC.所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角，由PB=，PA=,AB=得ABP为直角，而MB=PB=,可得AM=,故EF=,又BE=1，故在直角三角形EBF中，所以，直线EF与平面PBC所成角的正弦值为
（18）（本小题满分13分）
设椭圆（）的左焦点为，，上顶点为.已知.
（Ⅰ）求椭圆的；
（Ⅱ）设为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切于点，，求椭圆的方程.
（Ⅰ），所以，解得，.
（Ⅱ）（Ⅰ）.
因为，所以直线的斜率.
因为，所以直线的斜率，
直线的方程为.
设，则有，解得或（舍），所以.
因为线段的中点为，所以圆的方程为.
因为直线与该圆相切，且，所以，解得.
所以椭圆方程为.
（19）（本小题满分14分）
，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ），都存在，使得.求的取值范围.
（Ⅰ），所以.
令得或.
因为当或时，单调递减，当时，单调递增，
所以，.
（Ⅱ），所以.
（20）（本小题满分14分）
已知和均为给定的大于1的自然数.设集合，集合
（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；
（Ⅱ）设，，，其中，证明：若，则
（Ⅰ）解：当，时，，，
（Ⅱ）证明：，所以，所以，，.
所以
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