专题14：阅读理解题
一、选择题
1.(2017四川泸州第9题)已知三角形的三边长分别为，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入的研究，故希腊的几何学甲海伦给出求其面积的海伦公式，其中；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式，若一个三角形的三边分别为，其面积是
（）
A．B．C．D．
【答案】B.
【解析】
试题分析：由题意可得,根据海伦公式可得,故选B.
二、填空题
1.（2017山东临沂第19题）在平面直角坐标系中，如果点坐标为，向量可以用点的坐标表示为.
已知：，，如果，那么与互相垂直.
下列四组向量：
①，；
②，；
③，；
④，.
其中互相垂直的是（填上所有正确答案的序号）．
【答案】①③④
【解析】
考点：1、平面向量，零指数幂解直角三角形
，
……
请利用你所得结论，化简代数式＋＋＋…＋（n≥3且为整数），其结果为__________．
【答案】.
【解析】根据题目中所给的规律可得,原式====.
3.(2017湖南湘潭第16题)阅读材料：设，，如果，则.根据该材料填空：已知，，且，则．
【答案】6.
【解析】
试题分析:利用新定义设，，如果，则，2m=4×3,m=6.
三、解答题
1.(2017北京第29题)在平面直角坐标系中的点和图形，给出如下的定义：若在图形上存在一点，使得两点间的距离小于或等于1，则称为图形的关联点．
（1）当的半径为2时，
①在点中，的关联点是_______________．
②点在直线上，若为的关联点，求点的横坐标的取值范围．
（2）的圆心在轴上，半径为2，直线与轴、轴交于点．若线段上的所有点都是的关联点，直接写出圆心的横坐标的取值范围．
【答案】（1）①，②－≤x≤－或≤x≤，（2）－2≤x≤1或2≤x≤2
【解析】
试题分析：（1）①由题意得，P只需在以O为圆心，半径为1和3两圆之间即可，由的值可知为⊙O的关联点；②满足条件的P只需在以O为圆心，半径为1和3两圆之间即可，所以P横坐标范围是－≤x≤－或≤x≤；（2）.分四种情况讨论即可，当圆过点时B时，详见解析.
本题解析：
（1）,
点与⊙的最小距离为，点与⊙的最小距离为1，点与⊙的最小距离为，
∴⊙的关联点为和．
（2）与轴、轴的交点分别为两点，令得，解得，?
令得，，
(1,0),B(0,1),
分析得：
如图，当圆过点时，此时
∴点坐标为，C(2,0)?
如图2，当圆与小圆相切时，切点为D，
∴CD=1,
?
又直线所在的函数解析式为??
∴直线AB与x轴形成的夹角是45°,
∴RT△°ACD中，CA=，?
∴C点坐标为(1-,0)?
∴C点的横坐标的取值范围为；-2≤≤1-,
如图3，当圆过点A时，AC=1，
C点坐标为(2,0)
如图4,
当圆过点B时，连接BC，此时BC=3,
在Rt△OCB中，由勾股定理得OC=,C点坐标为(2,0)．
∴C点的横坐标的取值范围为2≤≤2；?
∴综上所述点C的横坐标的取值范围为－≤≤－或≤≤．
考点：切线，同心圆，一次函数，新定义.
2.(2017福建第22题)小明在某次作业中得到如下结果：
，
，
，
，
．
据此，小明猜想：对于任意锐角，均有．
（Ⅰ）当时，验证是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立?若成立，若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
【答案】（Ⅰ）成立，证明见解析；（Ⅱ）成立，证明见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）成立，当时，将30°与60°的正弦值代入计算即可得证；
（Ⅱ）成立，如图，△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°-α，正确地表示这两个角的正弦并利用勾股定理即可得证.
试题解析：（Ⅰ）当时，=sin230°+sin260°===1，所以成立；
（Ⅱ）小明的猜想成立.证明如下：
如图，△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°-α，
sin2α+sin2（90°-α）==1
3.（2017湖南长沙第25题）若三个非零实数满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数构成“和谐三数组”．
（1）实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由．
（2）若三点均在函数y=（为常数，）的图象上，且这三点的纵坐标构成“和谐三数组”，求实数的值；
（3）若直线与轴交于点，与抛物线交于两点．
①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成2=1，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围.
【答案】（1）不可以（2）t=-4，-2或且
（2）分别表示出M、N、R的坐标，然后根据“和谐三组数”求出t的值；
（3）①令y=2bx+2c=0表示出x1然后联立方程组得到然后由韦达定理表示出x2x3的关系，从而判断；
②由已知求出OP表达式，然后根据表达式求范围.
试题解析：（1）由已知1＜2＜3
∴
又∵1≠
∴1
（2）M（t，），N（t+1，），R（t+3，）
，，组成
①若=+，得t4
②若得t2
③若得t2
综上t=-4，-2或2bx+2c=0
∴x1=-
联立
∴
∴由韦达定理可得
∴
∴构成
②∵x2=1
∴a+b+c=0
∴c=-a-b
∴OP==
∵a＞2b＞
∴-＜b＜
∴＜＜
令t，p=2=
∵-＜＜且t≠1或∴＜p＜且p≠1
∴且、是四边形的对角线，若，则线段，，三者之间有何等量关系？
经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长到，使，连接，证得，从而容易证明是等边三角形，故，所以.
小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将绕着点逆时针旋转，使与重合，从而容易证明是等比三角形，故，所以.
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图4，如果把“”改为“”，其它条件不变，那么线段，，三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明.
（2）小华提出：如图5，如果把“”改为“”，其它条件不变，那么线段，，三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明.
【答案】（1）BC+CD=AC（2）BC+CD=2AC?cosα
【解析】
试题分析：（1）先判断出ADE=∠ABC，即可得出ACE是等腰三角形，再得出AEC=45°，即可得出等腰直角三角形，即可；（判断ADE=∠ABC也可以先判断出点A，B，C，D四点共圆）
（2）先判断出ADE=∠ABC，即可得出ACE是等腰三角形，再用三角函数即可得出结论．（1）BCCD=AC；
理由：如图1，
延长CD至E，使DE=BC，
ABD=∠ADB=45°，
AB=AD，BAD=180°﹣ABD﹣ADB=90°，
ACB=∠ACD=45°，
ACB+∠ACD=45°，
BAD+∠BCD=180°，
ABC+∠ADC=180°，
ADC+∠ADE=180°，
ABC=∠ADE，
在ABC和ADE中，，
ABC≌△ADE（SAS），
ACB=∠AED=45°，AC=AE，
ACE是等腰直角三角形，
CE=AC，
CE=CE+DE=CD+BC，
BC+CD=AC；
（2）BCCD=2AC?cosα．
理由：如图2，
延长CD至E，使DE=BC，
ABD=∠ADB=α，
AB=AD，BAD=180°﹣ABD﹣ADB=180°﹣2α，
ACB=∠ACD=α，
ACB+∠ACD=2α，
BAD+∠BCD=180°，
ABC+∠ADC=180°，
ADC+∠ADE=180°，
ABC=∠ADE，
在ABC和ADE中，，
ABC≌△ADE（SAS），
ACB=∠AED=α，AC=AE，
AEC=α，
过点A作AFCE于F，
CE=2CF，在RtACF中，ACD=α，CF=AC?cosACD=AC?cosα，
CE=2CF=2AC?cosα，
CE=CD+DE=CD+BC，
BC+CD=2AC?cosα．
几何变换综合题，全等三角形的判定，四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质
数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题。下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
探究一：求不等式的解集
（1）探究的几何意义
如图①，在以O为原点的数轴上，设点A＇对应点的数为，由绝对值的定义可知，点A＇与O的距离为，
可记为：A＇O=。将线段A＇O向右平移一个单位，得到线段AB，，此时点A对应的数为，点B的对应数是1，
因为AB=A＇O，所以AB=。
因此，的几何意义可以理解为数轴上所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB。
（2）求方程=2的解
因为数轴上3与所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为
（3）求不等式的解集
因为表示数轴上所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点所对应的数的范围。
请在图②的数轴上表示的解集，并写出这个解集
探究二：探究的几何意义
（1）探究的几何意义
如图③，在直角坐标系中，设点M的坐标为，过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则点P点坐标（），Q点坐标（），|OP|=，|OQ|=，
在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y，则
因此的几何意义可以理解为点M与原点O（0,0）之间的距离OM
（2）探究的几何意义
如图④，在直角坐标系中，设点A＇的坐标为，由探究（二）（1）可知，
A＇O=，将线段A＇O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时A的坐标为（），点B的坐标为（1,5）。
因为AB=A＇O，所以AB=，因此的几何意义可以理解为点A（）与点B（1,5）之间的距离。
（3）探究的几何意义
请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程。
（4）的几何意义可以理解为：_________________________.
拓展应用：
（1）+的几何意义可以理解为：点A与点E的距离与点AA与点F____________（填写坐标）的距离之和。
（2）+的最小值为____________(直接写出结果)
【答案】探究一（3）解集为：
探究二（3）（）拓展应用（1）（）（2）5
拓展应用：根据题目信息知是与点F（）的距离之和。
+表示点A与点E的距离与点A与点F（）的距离之和。∴最小值为E与点F（）的距离5.
试题解析：探究一
（3）
解集为：
探究二（3）
如图⑤，在直角坐标系中，设点A＇的坐标为，
由探究（二）（1）可知，A＇O=，
将线段A＇O先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，
得到线段AB，此时A的坐标为（），点B的坐标为（）。
因为AB=A＇O，所以AB=，
因此的几何意义可以理解为点A（）与点B（）之间的距离。
拓展应用
（1）（）（2）5
考点：信息阅读题
6.(2017山东日照第21题)阅读材料：
在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线AxBy+C=0的距离公式为：d=．
例如：求点P0（0，0）到直线4x3y﹣3=0的距离．
解：由直线4x3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，
点P0（0，0）到直线4x3y﹣3=0的距离为d==．
根据以上材料，解决下列问题：
问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x的距离为；
问题2：已知：C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，C与直线y=﹣xb相切，求实数b的值；
问题3：如图，设点P为问题2中C上的任意一点，点A，B为直线3x4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出SABP的最大值和最小值．
【答案】（1）4；（2）b=5或15最大值为4，最小值为2（1）点P1（3，4）到直线3x4y﹣5=0的距离d==4
（2）C与直线y=﹣xb相切，C的半径为1，
C（2，1）到直线3x4y﹣b=0的距离d=1，
=1，
解得b=5或15．
（3）点C（2，1）到直线3x4y+5=0的距离d==3，
C上点P到直线3x4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，
S△ABP的最大值=2×4=4，SABP的最小值=2×2=2．，，定义关于“”的一种运算如下：．例如：，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）2017（2）x＜4
考点：1、阅读理解，2、解一元一次方程，3、解不等式
8.（2017浙江台州第24题）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根.比如对于方程，操作步骤是：
第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点；
第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点，另一条直角边恒过点第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在轴上点处时，点的横坐标即为该方程的一个实数根（如图1）；
第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在轴上另—点处时，点的横坐标即为该方程的另一个实数根.
在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点（请保留作点直角三角板两条直角边的痕迹）；
（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的就是方程实数根；上述的关键是定两个位置，若要以此方找到一元二次方程，请你直接写出固定点的坐标；（4）实际上，中的固定点有无数对一般地与之间满足怎样的关系时，点就是符合要求的—对固定？
A（0，1），B（-，）或A（0，），B（-，c）等（4）m1+m2=-，m1m2+n1n2=.
【解析】
试题分析：（1）根据题目中给的操作步骤操作即可得出图2中的图.（2）在图1中，过点B作BD⊥x轴，交x轴于点D.依题意可证△AOC∽△CDB.然后根据相似三角形对应边的比相等列出式子，化简后为m2-5m+2=0，从而得证。（3）将方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化为x2+x+=0.模仿研究小组作法即可得答案。（4）以图3为例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,设方程的根为x，根据三角形相似可得..化简后为x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.又x2+x+=0.再依据相对应的系数相等即可求出。
试题解析：（1）解：如图2所示：（3）解：方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化为x2+x+=0.模仿研究小组作法可得：A（0，1），B（-，）或A（0，），B（-，c）等.（4）解：以图3为例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,设方程的根为x，根据三角形相似可得.上式可化为x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.又ax2+bx+c=0,即x2+x+=0.比较系数可得：m1+m2=-.m1m2+n1n2=.考点：1、一元二次方程的解，2、根与系数的关系，3、作图—基本作图，4、相似三角形的判定与性质
9.(2017湖南湘潭第22题)由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：
示例：分解因式：
（1）尝试：分解因式：______)；
（2）应用：请用上述方法解方程：.
【答案】(1)2,4；（2）.
【解析】
试题分析：(1)把8分解成24，且2+4=6，类比例题即可求解；(2)把-4分解成1（-4），且1+（-4）=-3，类比例题分解因式，利用因式分解法解方程即可.
试题解析：
（1）_2__4_)；
（2）
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