专题16：压轴题
一、选择题
1.(2017天津第12题)已知抛物线与轴相交于点（点在点左侧），顶点为.平移该抛物线，使点平移后的对应点落在轴上，点平移后的对应点落在轴上，则平移后的抛物线解析式为（）
A．B．C.D．
【答案】A.
2．(2017福建第10题)如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段和点绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段和点，则点所在的单位正方形区域是（）
A．1区B．2区C．3区D．4区
【答案】D
【解析】如图，根据题意可得旋转中心O，旋转角是90°，旋转方向为逆时针，因此可知点P的对应点落在了4区，故选D.
3.(2017河南第10题)如图，将半径为2，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是（）
A．B．C.D．
【答案】C.
【解析】
考点：扇形的面积计算.
4.（2017湖南长沙第12题）如图，将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合（不与端点重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为（）
A．B．C．D．随点位置的变化而变化
【答案】B
【解析】
试题分析：设正方形ABCD的边长为2a，正方形的周长为m=8a，
设CM=x，DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y，
∵∠EMG=90°，
∴∠DME+∠CMG=90°．
∵∠DME+∠DEM=90°，
∴∠DEM=∠CMG，
又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，
∴,即
∴CG=
△CMG的周长为CM+CG+MG=
在Rt△DEM中，DM2+DE2=EM2
即（2a-x）2+y2=（2a-y）2
整理得4ax-x2=4ay
∴CM+MG+CG==n．
所以，函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是
考点：二次函数与反比例函数的图像的判断.
6.（2017山东临沂第14题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与边长是6的正方形的两边，分别相交于，两点，的面积为10.若动点在轴上，则的最小值是（）
A．B．10C．D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由正方形OABC的边长为6可得M的坐标为（6，），N的坐标为（，6），因此可得BN=6-，BM=6-，然后根据△OMN的面积为，解得k24，得到PM+PN的值最小最后由10，BN=2，根据勾股定理求得NM′=.
故选的图像经过点A（），B（2,2）两点，P为反比例函数图像上的一个动点，O为坐标原点，过P作y轴的垂线，垂足为C，则△PCO的面积为（）
A、2B、4C、8D、不确定
【答案】
【解析】
试题分析：如下图，
把点A（），B（2,2）代入得
，即k=-2,b=-2
所以反比例函数表达式为
设P（m，n）,则，即mn=4
△PCO的面积为OCPC=mn=2
考点：1、一次函数，2、反比例函数图像与性质
8.(2017四川泸州第12题)已知抛物线+1具有如下性质：给抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离相等，如图，点的坐标为，是抛物线上一动点，则周长的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】C.
9.(2017山东滨州第12题)在平面直角坐标系内，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧），并分别与直线y＝x和双曲线y＝相交于点A、B，且AC＋BC＝4，则△OAB的面积为（）
A．2＋3或2－3 B．＋1或－1
C．2－3 D．－1
【答案】A.
【解析】如图，分线段AB在双曲线和直线y=x交点的左右两侧两种情况，设点C的坐标为（m，0），则点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（m，），因AC+BC=4，所以m+=4，解得m=2±，当m=2-时，即线段AB在双曲线和直线y=x交点的左侧，求得AC=2-,BC=2+,所以AB=(2+)-(2-)=2,即可求得△OAB的面积为；当m=2+时，即线段AB在双曲线和直线y=x交点的右侧，求得AC=2+,BC=2-,所以AB=(2+)-(2-)=2,即可求得△OAB的面积为，故选A.
10.(2017山东日照第12题)已知抛物线y=ax2bx+c（a0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：
抛物线过原点；
4a+b+c=0；
a﹣bc＜0；
抛物线的顶点坐标为（2，b）；
当x2时，y随x增大而增大．
其中结论正确的是（）
A． B． C． D．
考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．
11.(2017江苏宿迁第8题)如图，在中，，，．点在边上，从点向点移动，点在边上，从点向点移动，若点、均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接，则线段的最小值是
A．B．C.D．
【答案】C.
【解析】
试题分析：设运动时间为t秒，则AP=t，CQ=t，所以CP=6-t，根据勾股定理可得,即，所以，因t≤2，根据二次函数的性质可得当t=2时，的值最小为20，即可得线段的最小值是cm，故选C.
12．（2017江苏苏州第10题）如图，在菱形中，，，是的中点．过点作，垂足为．将沿点到点的方向平移，得到．设、分别是、的中点，当点与点重合时，四边形的面积为
A．B．C.D．
【答案】A.
【解析】
试题分析：作
在菱形中，，,是的中点
是的中点，
故答案选A.
考点：平行四边形的面积，三角函数.
13.(2017山东菏泽第8题)一次函数和反比例函数在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图c象可能是（）
A．B．C.D．
【答案】C.
14.（2017浙江台州第10题）如图，矩形四个顶点分别在菱形四条边上，将折叠，重叠部分为菱形且面积是菱形的时，则为（）
B．2C.D．4
【答案】A
【解析】
试题分析：依题可得阴影部分是菱形.设S菱形ABCD=16,BE=x.从而得出AB=4，阴影部分边长为4-2x.根据（4-2x）2=1求出x=或x,从而得出.
故选.
考点：1、菱形的性质，2、翻折变换（折叠问题）
15.(2017浙江金华第10题)如图，为了监控一不规则多边形艺术走廊内的活动情况，现已在两处各安装了一个监控探头（走廊内所用探头的观测区为圆心角最大可取到的扇形），图中的阴影部分是处监控探头观测到的区域，要使整个艺术走廊都能被监控到，还需要安装一个监控探头，则安装的位置是（）
A．处B．处C.处D．处
【答案】D.
【解析】
试题分析：根据两点确定一条直线，观察可以摄像头应安装在点H的位置，故选D.
16.（2017浙江湖州第10题）在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在的正方形网格图形中（如图1），从点经过一次跳马变换可以到达点，，，等处．现有的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点经过跳马变换到达与其相对的顶点，最少需要跳马变换的次数是（）
A．B．C.D．
【答案】B
考点：1、勾股定理，2、规律探索
17.(2017浙江舟山第10题)下列关于函数的四个命题：①当时，有最小值10；②为任何实数，时的函数值大于时的函数值；③若，且是整数，当时，的整数值有个；④若函数图象过点和，则.其中真命题的序号是（）
A．①B．②C.③D．④
【答案】C.
【解析】
试题分析：①错，理由：当x=时，y取得最小值；②错，理由：因为=3，即横坐标分别为x=3+n,x=3?n的两点的纵坐标相等，即它们的函数值相等；③对，理由：若n>3，则当x=n时，y=n2?6n+10>1，当x=n+1时，y=(n+1)2?6(n+1)+10=n2?4n+5,则n2?4n+5-（n2?6n+10）=2n-5，因为当n为整数时，n2?6n+10也是整数，2n-5也是整数，n2?4n+5也是整数，故y有2n-5+1=2n-4个整数值；④错，理由：当x<3时，y随x的增大而减小，所以当a<3,b<3时，因为y0b，故错误；故选C.
考点：二次函数图象上点的坐标特征.
二、填空题
1.(2017北京第16题)下图是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程
已知：，求作的外接圆
作法：如图．
（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；，交于点；为圆心，为半径.
即为所求作的圆
请回答：该尺规作图的依据是．
【答案】到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线；垂直平分线的定义；90°的圆周角所对弦为直径.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.（答案不唯一）
【解析】找到外接圆的圆心和半径是解本题的关键，由题意得：圆心是线段AB的中点，半径是AB长的一半，所以只需作出AB的中垂线，找到交点O即可.
考点：作图-基本作图；线段垂直平分线的性质
2.(2017天津第18题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上.
（1）的长等于；
（2）在的内部有一点，满足，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：(1)根据勾股定理即可求得AB=；(2)如图，AC与网络线相交，得点D、E，取格点F，连结FB并延长，与网格线相交，得点M、N，连结DN、EM，DN与EM相交于点P，点P即为所求.
3.(2017福建第16题)已知矩形四个顶点在反比例函数，且点横坐标2，矩形面积【答案】中，，，，点，分别是边，上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点始终落在边上.若为直角三角形，则的长为．
【答案】1或.
考点：折叠（翻折变换）.
5.（2017湖南长沙第18题）如图，点是函数与的图象在第一象限内的交点，，则的值为．
【答案】
考点：一次函数与反比例函数
6.（2017广东广州第16题）如图9，平面直角坐标系中是原点，的顶点的坐标分别是，点把线段三等分，延长分别交于点，连接，则下列结论：①是的中点；与相似的面积是；；其中正确的结论是
【答案】①③
【解析】
试题分析：如图，分别过点A、B作于点N，轴于点中，
是线段AB的三等分点，
是①正确
不是菱形.
故和不相似.
则②错误；
由①得点是的中位线
是OB的三等分点，
解得：
四边形是梯形
则③正确
,故④错误.
综上：①③正确.
考点：平行四边形和相似三角形的综合运用
7.（2017山东临沂第19题）在平面直角坐标系中，如果点坐标为，向量可以用点的坐标表示为.
已知：，，如果，那么与互相垂直.
下列四组向量：
①，；
②，；
③，；
④，.
其中互相垂直的是（填上所有正确答案的序号）．
【答案】①③④
【解析】
试题分析：根据向量垂直的定义：
因为2（﹣1）1×2=0，所以与互相垂直；
因为cos30°1+tan45°?sin60°=×1+1×=≠0，所以与不互相垂直；
因为（﹣）（）（﹣2）=3﹣2﹣1=0，所以与互相垂直；
因为π02+2×（﹣1）=2﹣2=0，所以与互相垂直．
综上所述，互相垂直．
故答案是：．平面向量，零指数幂解直角三角形中，已知和分别是边上的中线，且，垂足为，若，则线段的长为．
【答案】4.
【解析】
试题分析：如图，由和分别是边上的中线，可得DE∥BC，且,因，，根据勾股定理可得DE=2，又因，可得BC=4，连结AO并延长AO交BC于点M，由和分别是边上的中线交于点M,可知AM也是△ABC的边BC上的中线，在Rt△BOC中，根据斜边的中线等于斜边的一半可得OM=BC=2，最后根据三角形重心的性质可得AO=2OM=4.
9.(2017山东滨州第18题)观察下列各式：
，
……
请利用你所得结论，化简代数式＋＋＋…＋（n≥3且为整数），其结果为__________．
【答案】.
【解析】根据题目中所给的规律可得,原式====.
10.(2017江苏宿迁第16题)如图，矩形的顶点在坐标原点，顶点、分别在、轴的正半轴上，顶点在反比例函数（为常数，，）的图象上，将矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，若点的对应点恰好落在此反比例函数图象上，则的值是．
【答案】.
【解析】
试题分析：设点A的坐标为（a，b），即可得OB=a，OC=b,已知矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，可得点C、A、B’在一条直线上，点A、C’、B在一条直线上，AC’=a，AB’=b，所以点O’的坐标为）（a+b，b-a），根据反比例函数k的几何意义可得ab=（a+b）（b-a），即可得，解这个以b为未知数的一元二次方程得（舍去），所以所以.
11.(2017辽宁沈阳第16题)如图，在矩形中，,将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，点落在矩形的边上，连接，则的长是.
【答案】.
【解析】
考点：四边形与旋转的综合题.
12.(2017山东日照第16题)如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y=（x0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为，AOB=∠OBA=45°，则k的值为．
【答案】1+.
试题分析：过A作AMy轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，如图所示：则OD=MN，DN=OM，AMO=∠BNA=90°，
AOM+∠OAM=90°，
AOB=∠OBA=45°，
OA=BA，OAB=90°，
OAM+∠BAN=90°，
AOM=∠BAN，
在AOM和BAN中，，
AOM≌△BAN（AAS），
AM=BN=，OM=AN=，
OD=+，OD=BD=﹣，
B（，﹣），
双曲线y=（x0）同时经过点A和B，
（）?（﹣）=k，
整理得：k2﹣2k﹣4=0，
解得：k=1（负值舍去），
k=1+．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
13.（2017江苏苏州第18题）如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点．连接、，若，，，则（结果保留根号）．
【答案】.
【解析】
试题分析：连接AG,设DG=x,则
在中，，则
考点：旋转的性质，勾股定理.
14.(2017山东菏泽第14题)如图，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，依次进行下去......若点的坐标是，则点的纵坐标为．
【答案】
【解析】
15.(2017浙江金华第16题)在一空旷场地上设计一落地为矩形的小屋，．拴住小狗的长的绳子一端固定在点处，小狗在不能进人小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为.
(1)如图，若，则．
(2)如图,现考虑在(1)中的矩形小屋的右侧以为边拓展一正区域,使之变成落地为五边的小屋,其它条件不变.则在的变化过程中,当取得最小值时，边长的长为．
【答案】.
【解析】
试题分析：（1）在B点处是以点B为圆心，10为半径的个圆；在A处是以A为圆心，4为半径的个圆；在C处是以C为圆心，6为半径的个圆；所以S=；（2）设BC=x,则AB=10-x，?=（-10x+250），当x=时，S最小，即BC=.
16.（2017浙江湖州第16题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线（）分别交反比例函数和在第一象限的图象于点，，过点作轴于点，交的图象于点，连结．若是等腰三角形，则的值是．
【答案】或
【解析】
试题分析：令B点坐标为（a，）或（a，ka），则C点的坐标为（a，），令A点的坐标为（b，kb）或（b，），可知BC=，ka=，kb=，可知，，然后可知BA=，然后由等腰三角形的性质，可列式为=，解得k=或.
考点：反比例函数与k的几何意义
17.(2017湖南湘潭第16题)阅读材料：设，，如果，则.根据该材料填空：已知，，且，则．
【答案】6.
【解析】
试题分析:利用新定义设，，如果，则，2m=4×3,m=6.
18.（2017浙江台州第16题）如图，有一个边长不定的正方形它的个相对的分别在边长为正六边形一组平行的对边上，另外顶点正六边形内部（边界）则正方形边长取值范围是
【答案】（）
【解析】
试题分析：因为AC为对角线，故当AC最小时，正方形边长此时最小.①当A、C都在对边中点时（如下图所示位置时），显然AC取得最小值，
∵正六边形的边长为1，∴AC=,∴a2+a2=AC2=.∴a==.②当正方形四个顶点都在正六边形的边上时，a最大（如下图所示）.设A′（t,）时，正方形边长最大.∵OB′⊥OA′.∴B′（-，t）设直线MN解析式为：y=kx+b,M（-1，0），N（-，-）（如下图）∴.∴.∴直线MN的解析式为：y=（x+1）,将B′（-，t）代入得：t=-.此时正方形边长为A′B′取最大.∴a==3-.故答案为：.
考点：1、勾股定理，2、正多边形和圆，3、计算器—三角函数，4、解直角三角形
三、解答题
1.(2017北京第29题)在平面直角坐标系中的点和图形，给出如下的定义：若在图形上存在一点，使得两点间的距离小于或等于1，则称为图形的关联点．
（1）当的半径为2时，
①在点中，的关联点是_______________．
②点在直线上，若为的关联点，求点的横坐标的取值范围．
（2）的圆心在轴上，半径为2，直线与轴、轴交于点．若线段上的所有点都是的关联点，直接写出圆心的横坐标的取值范围
【答案】（1）①，②－≤x≤－或≤x≤，（2）－2≤x≤1或2≤x≤2
【解析】
本题解析：
（1）,
点与⊙的最小距离为，点与⊙的最小距离为1，点与⊙的最小距离为，
∴⊙的关联点为和．
②根据定义分析，可得当直线y=-x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意；
∴设点P的坐标为P(x,-x),?
当OP=1时，由距离公式可得，OP=，解得，当OP=3时，由距离公式可得，OP=，,解得，
∴点的横坐标的取值范围为－≤x≤－或≤x≤
（2）与轴、轴的交点分别为两点，令得，解得，?
令得，，
(1,0),B(0,1),
分析得：
如图，当圆过点时，此时
∴点坐标为，C(2,0)?
如图2，当圆与小圆相切时，切点为D，
∴CD=1,
?
又直线所在的函数解析式为??
∴直线AB与x轴形成的夹角是45°,
∴RT△°ACD中，CA=，?
∴C点坐标为(1-,0)?
∴C点的横坐标的取值范围为；-2≤≤1-,
如图3，当圆过点A时，AC=1，
C点坐标为(2,0)
如图4,
当圆过点B时，连接BC，此时BC=3,
在Rt△OCB中，由勾股定理得OC=,C点坐标为(2,0)．
∴C点的横坐标的取值范围为2≤≤2；?
∴综上所述点C的横坐标的取值范围为－≤≤－或≤≤．
考点：切线，同心圆，一次函数，新定义.
2.(2017天津第25题)已知抛物线（是常数）经过点.
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P(m，t)关于原点的对称点为.
①当点落在该抛物线上时，求的值；
②当点落在第二象限内，取得最小值时，求的值.
【答案】（1），顶点的坐标为（1，-4）；（3）.
【解析】
试题解析：(1)抛物线经过点，
0=1-b-3，解得b=-2.
抛物线的解析式为，
，
顶点的坐标为（1，-4）.
(2)由点P(m，t)在抛物线上，有.
关于原点的对称点为，有P’（-m，-t）.
，即
解得
由题意知，P’（-m，-t）在第二象限，
-m<0，-t>0，即m>0，t<0.
又抛物线的顶点的坐标为（1，-4），得-4≤t<0.
过点P’作P’Hx轴，H为垂足，有H（-m，0）.
又，，
则
当点A和H不重合时，在Rt△P’AH中，
当点A和H重合时,AH=0,，符合上式.
，即
记，则，
当t=-时，y’取得最小值.
把t=-代入，得
解得
由m>0，可知不符合题意
3.(2017福建第25题)已知直线与抛物线点，．
（Ⅰ）求抛物线顶点坐标（用含的代数式表示）
（Ⅱ）说明直线与抛物线点
（）．
（），求长度的范围
（）求面积的最小值
【答案】（Ⅰ）抛物线顶点Q的坐标为（-，-）；（Ⅱ）理由见解析；
（）≤MN≤7.（ii）△QMN面积的最小值为.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由抛物线过点M（1，0），可得b=-2a，将解析式y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a配方得y=a(x+)2-,从而可得抛物线顶点Q的坐标为（-，-）.
（Ⅱ）由直线y=2x+m经过点M（1，0），可得m=-2.
由y=2x-2、y=ax2+ax-2a，可得ax2+（a-2）x-2a+2=0，（），由根的判别式可得方程()有两个不相等的实数根，从而可得直线与抛物线有两个交点.
（）-2，-6）.
（i）根据勾股定理得，MN2=20（）2，再由-1≤a≤-，可得-2≤≤-1，从而可得<0，
继而可得MN=3，交直线y=2x-2于点E，得E（-，-=，S≥，（）把)x-2+=0，所以（x-1）（x+2-）=0,
解得x1=1,x2=-2，所以点N（-2，-6）.
（i）根据勾股定理得，MN2=[（-2）-1]2+（-6）2=20（）2，
因为-1≤a≤-，由反比例函数性质知-2≤≤-1，所以<0，
所以MN=2（）=，所以≤MN≤7.
（ii）作直线x=-交直线y=2x-2于点E，把x=-代入，--2，-6），且由（Ⅱ）知a<0，
所以△QMN的面积S=S△QEN+S△QEM==，）2，
又因为a<0，所以S=>,所以8S-54>0，所以8S-54>0，
所以8S-54≥36，即S，当S=时，由方程（）可得满足题意.
故当a=-，时，△QMN面积的最小值为.
4.(2017河南第23题)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，.
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N，
①点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
②点在轴上自由运动，若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称，，三点为“共谐点”.请直接写出使得，，三点成为“共谐点”的的值.
【答案】（1）B（0，2），；（2）①点M的坐标为（，0）或M（，0）；②m=-1或m=或m=.
【解析】
试题分析：(1)把点代入求得c值，即可得点B的坐标；抛物线经过点，即可求得b值，从而求得抛物线的解析式；（2）由轴，M（m，0），可得N()，①分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况求点M的坐标；②分N为PM的中点、P为NM的中点、M为PN的中点3种情况求m的值.
试题解析：
（1）直线与轴交于点，
∴，解得c=2
∴B（0，2），
∵抛物线经过点，
∴，∴b=
∴抛物线的解析式为；
（2）∵轴，M（m，0），∴N()
①有（1）知直线AB的解析式为，OA=3，OB=2
∵在△APM中和△BPN中，∠APM=∠BPN,∠AMP=90°，
若使△APM中和△BPN相似，则必须∠NBP=90°或∠BNP=90°，
分两种情况讨论如下：
（I）当∠NBP=90°时，过点N作NC轴于点C，
则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，
BC=
∵∠NBP=90°，∴∠NBC+∠ABO=90°，
∴∠BNC=∠ABO，
∴Rt△NCB∽Rt△BOA
∴,即，解得m=0（舍去）或m=
∴M（，0）；
（II）当∠BNP=90°时，BNMN，
∴点N的纵坐标为2，
∴
解得m=0（舍去）或m=
∴M（，0）；
综上，点M的坐标为（，0）或M（，0）；
②m=-1或m=或m=.
考点：二次函数综合题.
5.（2017广东广州第25题）如图14，是的直径，，连接．
（1）求证：；
（2）若直线为的切线，是切点，在直线上取一点，使所在的直线与所在的直线相交于点，连接．
①试探究与之间的数量关系，并证明你的结论；
②是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）①②
【解析】
试题分析：（1）直径所对的圆周角是圆心角的一半，等弧所对的圆周角是圆心角的一半；（2）①等角对等边；②
试题解析：（1）证明：如图，连接BC.
是的直径，
（2）①如图所示，作于F
由（1）可得，为等腰直角三角形.
是的中点.为等腰直角三角形.
又是的切线，
四边形为矩形
②当为钝角时，如图所示，同样，
（3）当D在C左侧时，由（2）知
,
,
在中
当D在C右侧时，过E作于
由（2）得，
在中
考点：圆的相关知识的综合运用
6.（2017湖南长沙第26题）如图，抛物线与x轴交于A,B两点(点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E。
（1）若为等腰直角三角形，求的值；
（2）若对任意，两点总关于原点对称，求点的坐标（用含的式子表示）；
（3）当点运动到某一位置时，恰好使得，且点为线段的中点，此时对于该抛物线上任意一点总有成立，求实数的最小值．
【答案】（1）m=（2）点D的坐标为（8，-16m）（3）
【解析】
试题分析：（1）通过分解因式，令y=0，求得x的值，从而根据等腰三角形的性质求解即可；
（2）根据（1）中C的坐标求出关于原点对称的点E，求出直线AE的解析式，然后根据直线AE和抛物线的交点，联立方程组求解即可求得D点的坐标；
（3）当∠ODB=∠OAD时，可证得△ODB∽△OAD，则根据三角形相似的性质求得OD=4，由于点D为Rt△OAE的斜边AE的中点，求出AE的值，然后由OA=12求得点D的坐标；再将点D的坐标代入抛物线解析式求出m=，得到抛物线的解析式为，最后根据P为抛物线上任意一点，从而必有，然后根据二次函数的最值问题可求解.
m=，令t=-4m-12-50=-2-12-50
由题意可知只要n+即可
由于t=-2-12-50=-2（+3）2+4
又由于
∴=--2（+3）2+4=
∴n+≥，解得n的最小值为
试题解析：（1）令
得，显然点C的坐标为（0，48m）.
若△OAC为等腰三角形，则有48m=12，故m=；
（2）由（1）可知点C（0，48m）
因为对于任意m＞0，C、E两点关于原点对称，则必有E（0，-48m）
设直线AE的方程为y=kx+b，
将E（0，-48m），A（12，0）的坐标代入可求得直线AE的方程为y=4mx-48m
因为点D是直线AE与抛物线的交点，所以由
，解得
即点D的坐标为（8，-16m）
（3）当∠ODB=∠OAD时，又因为∠DOB=∠AOD，所以可得△ODB∽△OAD，则OD2=OA·OB=x1·x2=48，解得OD=4，
由于点D为Rt△OAE的斜边AE的中点，所以AE=8
又因为OA=12，所以OE=4，∠OAE=30°
从而求得点D的坐标为（6，-2）
将点D的坐标代入抛物线解析式，得m=
所以抛物线的解析式为
因为P为抛物线上任意一点，从而必有
m=，令t=-4m-12-50=-2-12-50
由题意可知只要n+即可
由于t=-2-12-50=-2（+3）2+4
又由于
∴=--2（+3）2+4=
∴n+≥，解得n的最小值为
考点：二次函数的综合
7.（2017山东临沂第26题）如图，抛物线经过点，与轴负半轴交于点，与轴交于点，且.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在轴上，且，求点的坐标；
（3）点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在。求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；D1（0，1），D2（0，﹣1）；M（4，5）或（﹣2，5）或（0，﹣3）（1）待定系数法即可得到结论；
（2）连接AC，作BFAC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AFx轴，得到F（﹣1，﹣3），设D（0，m），则OD=m|即可得到结论；
（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），以AB为边，则ABMN，AB=MN，如图，过M作ME对称轴y于E，AFx轴于F，于是得到ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（﹣2，5）；以AB为对角线，BN=AM，BNAM，如图，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论．（1）由y=ax2bx﹣3得C（0．﹣3），
OC=3，
OC=3OB，
OB=1，
B（﹣1，0），
把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=ax2bx﹣3得，
，
抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）设连接AC，作BFAC交AC的延长线于F，
A（2，﹣3），C（0，﹣3），
AF∥x轴，
F（﹣1，﹣3），
BF=3，AF=3，
BAC=45°，
设D（0，m），则OD=m|，
BDO=∠BAC，
BDO=45°，
OD=OB=1，
m|=1，
m=±1，
D1（0，1），D2（0，﹣1）；
（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），
以AB为边，则ABMN，AB=MN，如图2，过M作ME对称轴y于E，AFx轴于F，
则ABF≌△NME，
NE=AF=3，ME=BF=3，
a﹣1=3，
a=4或a=﹣2，
M（4，5）或（﹣2，5）；
以AB为对角线，BN=AM，BNAM，如图3，
则N在x轴上，M与C重合，
M（0，﹣3），
综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，5）或（0，﹣3）．
待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质
已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一条直线上，AB＝EF＝6cm，BC＝FP＝8cm，∠EFP＝90°。如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；EP与AB交于点G．同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s。过Q作QM⊥BD，垂足为H，交AD于M，连接AF，PQ，当点Q停止运动时，△EFP也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BD？
（2）设五边形AFPQM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在PG的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）t=；（2）（3）t=2，9:8（4）t=
【解析】
试题解析：（1）若PQ∥BD，则△CPQ∽△CBD，可得，即，解得t=；
（2）由∠MQD+∠CDB=∠CBD+∠CDB=90°，可得∠MQD=∠CBD，
又∠MDQ=∠C=90°，∴△MDQ∽△CBD，
∴
即
解得MD=（6-t），
所以
=
=
即
（3）假使存在t，使
则，即
整理得，解得
答：当t=2，
（4）易证△PBG∽△PEF，
∴，即，∴
则
作MN⊥BC于N点，则四边形MNCD为矩形
所以MN=CD=6，CN=，故：PN=
若M在PG的垂直平分线上，则GM=PM，
所以，所以
即：
整理得：，解得。
考点：1、矩形，2、相似三角形，3、二次函数，4、运动型
9.(2017四川泸州第25题)如图，已知二次函数的图象经过三点.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点是该二次函数图象上的一点，且满足(是坐标原点)，求点的坐标；
（3）点是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接分别交轴与点若的面积分别为求的最大值.
【答案】（1）；（2）满足条件的点有：；（3）当时，有最大值，最大值为：.
【解析】
试题解析：
（1）由题意得：设抛物线的解析式为：；
因为抛物线图像过点,
解得
所以抛物线的解析式为：
即：
(2)设直线与轴的交点为
当时，直线解析式为：
所以，点
当时，直线解析式为：
所以，点
综上：满足条件的点有：
（3）：过点P作PH//轴交直线于点，设
BC直线的解析式为故：
AP直线的解析式为：
故：
；
即：
所以，当时，有最大值，最大值为：.
10.(2017山东滨州第24题)（本小题满分14分）
如图，直线y＝kx＋b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A(－4，0)、B(0，3)，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C．
（1）求直线y＝kx＋b的解析式；
（2）若点P(x，y)是抛物线y＝－x2＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（3）若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．
【答案】(1)y＝x＋3；（2）P(，)；（3）．
【解析】
试题分析：（1）将A、B两点坐标代入y＝kx＋b中，求出k、b的值；（2）作出点P到直线AB的距离后，由于∠AHC＝90°，考虑构造“K形”相似，得到△MAH、△OBA、△NHP三个三角形两两相似，三边之比都是3∶4∶5．由“”可得，整理可得d关于x的二次函数，配方可求出d的最小值；（3）如果点C关于直线x＝1的对称点C′，根据对称性可知，CE＝C′E．当C′F⊥AB时，CE＋EF最小．
试题解析：
解：（1）∵y＝kx＋b经过A(－4，0)、B(0，3),
∴，解得k＝，b＝3．
∴y＝x＋3．
（2）过点P作PH⊥AB于点H，过点H作x轴的平行线MN，分别过点A、P作MN的垂线段，垂足分别为M、N．
设H(m，m＋3)，则M(－4，m＋3)，N(x，m＋3)，P(x，－x2＋2x＋1)．
∵PH⊥AB，∴∠CHN＋∠AHM＝90°，∵AM⊥MN，∴∠MAH＋∠AHM＝90°．
∴∠MAH＝∠CHN，∵∠AMH＝∠CNH＝90°，∴△AMH∽△HNP．
∵MA∥y轴，∴△MAH∽△OBA．∴△OBA∽△NHP．
∴．
∴．
整理得：，所以当x＝，即P(，)．
（3）作点C关于直线x＝1的对称点C′，过点C′作C′F⊥AB于F．过点F作JK∥x轴，，分别过点A、C′作AJ⊥JK于点J，C′K⊥JK于点K．则C′(2，1)
设F(m，m＋3)
∵C′F⊥AB，∠AFJ＋∠C′FK＝90°，∵CK⊥JK，∴∠C′＋∠C′FK＝90°．
∴∠C′＝∠AFJ，∵∠J＝∠K＝90°，∴△AFJ∽△FC′K．
∴，∴，解得m＝或－4（不符合题意）．
∴F(，)，∵C′(2，1)，∴FC′＝．
∴CE＋EF的最小值＝C′E＝．
11.(2017山东日照第22题)如图所示，在平面直角坐标系中，C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．
（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN=8SQAB，且QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)CD=，P（2，﹣1）；y=x2﹣4x3；存在满足条件的点Q，其坐标为（2，﹣1）．
试题分析：（1）连接OC，由勾股定理可求得MN的长，则可求得OC的长，由垂径定理可求得OD的长，在RtOCD中，可求得CD的长，则可求得PD的长，可求得P点坐标；（2）可设抛物线的解析式为顶点式，再把N点坐标代入可求得抛物线解析式；（3）由抛物线解析式可求得A、B的坐标，由S四边形OPMN=8SQAB可求得点Q到x轴的距离，且点Q只能在x轴的下方，则可求得Q点的坐标，再证明QAB∽△OBN即可．（1）如图，连接OC，
M（4，0），N（0，3），
OM=4，ON=3，
MN=5，
OC=MN=，
CD为抛物线对称轴，
OD=MD=2，
在RtOCD中，由勾股定理可得CD==，
PD=PC﹣CD=﹣=1，
P（2，﹣1）；
（2）抛物线的顶点为P（2，﹣1），
设抛物线的函数表达式为y=a（x﹣2）2﹣1，
抛物线过N（0，3），
3=a（0﹣2）2﹣1，解得a=1，
抛物线的函数表达式为y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x3；
（3）在y=x2﹣4x3中，令y=0可得0=x2﹣4x3，解得x=1或x=3，
A（1，0），B（3，0），
AB=3﹣1=2，
ON=3，OM=4，PD=1，
S四边形OPMN=SOMP+S△OMN=OM?PD+OM?ON=×4×1+×4×3=8=8S△QAB，
S△QAB=1，
设Q点纵坐标为y，则2×|y|=1，解得y=1或y=﹣1，
当y=1时，则QAB为钝角三角形，而OBN为直角三角形，不合题意，舍去，
当y=﹣1时，可知P点即为所求的Q点，
D为AB的中点，
AD=BD=QD，
QAB为等腰直角三角形，
ON=OB=3，
OBN为等腰直角三角形，
QAB∽△OBN，
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（2，﹣1）．是坐标原点，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，连接，点分别是的中点.，且始终保持边经过点，边经过点，边与轴交于点，边与轴交于点.
（1）填空，的长是，的度数是度
（2）如图2，当，连接
①求证：四边形是平行四边形；
②判断点是否在抛物线的对称轴上，并说明理由；
（3）如图3，当边经过点时（此时点与点重合），过点作，交延长线上于点，延长到点，使，过点作，在上取一点，使得（若在直线的同侧），连接，请直接写出的长.
【答案】(1)8，30；（2）①详见解析；②点D在该抛物线的对称轴上，理由详见解析；（3）12.
【解析】
试题分析：（1）根据抛物线的解析式求得点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，8），即可得OA=8,根据锐角三角函数的定义即可求得=30°；（2）①由，根据平行线分线段成比例定理可得,又因OM=AM,可得OH=BH,再由BN=AN，根据三角形的中位线定理可得，即可判定四边形AMHN是平行四边形；②点D在该抛物线的对称轴上，如图，过点D作DRy轴于点R，由可得∠NHB=∠AOB=90°，由，可得∠DHB=∠OBA=30°，又因，根据全等三角形的性质可得∠HDG=∠OBA=30°，即可得∠HDN=∠HND，所以DH=HN=OA=4，在Rt△DHR中，DR=DH=,即可判定点D的横坐标为-2.又因抛物线的对称轴为直线，所以点D在该抛物线的对称轴上；
试题解析：(1)8，30；
（2）①证明：∵，
∴,
又∵OM=AM,
∴OH=BH,
又∵BN=AN
∴
∴四边形AMHN是平行四边形
②点D在该抛物线的对称轴上，理由如下：
如图，过点D作DRy轴于点R，
∵
∴∠NHB=∠AOB=90°，
∵，
∴∠DHB=∠OBA=30°，
又∵
∴∠HDG=∠OBA=30°，
∴∠HDG=∠DHB=30°，
∴∠HGN=2∠HDG=60°，
∴∠HNG=90°-∠HGN=90°-60°=30°，
∴∠HDN=∠HND，
∴DH=HN=OA=4
在Rt△DHR中，DR=DH=,
∴点D的横坐标为-2.
又因抛物线的对称轴为直线，
∴点D在该抛物线的对称轴上.
(3)12.
考点：二次函数综合题.
13.(2017江苏宿迁第26题)（本题满分10分）
如图，在矩形纸片中，已知，，点在边上移动，连接，将多边形沿直线折叠，得到多边形，点、的对应点分别为点、．
（1）当恰好经过点时（如图1），求线段的长；
（2）若分别交边、于点、，且（如图2），求的面积；
（3）在点从点移动到点的过程中，求点运动的路径长．
【答案】(1)；（2）；（3）.
【解析】
试题解析：
(1)如图1，由折叠得，,,,,
由勾股定理得，,
所以，
因为,所以,
又因,所以
又，所以
所以,即，所以
(2)如图2-1，连接AC，因为∠BAC=，所以∠BAC=60°，
故∠DAC=30°，又，所以,
由折叠得，,所以,
所以,即,,
因为,所以;
(3)如图2-2，连接A，则,
所以点的运动路径是以点A为圆心，以AC为半径的圆弧；当点E运动到点D时，点恰好在CD的延长线上，此时,
所以点的运动路径长是.
14．(2017山东菏泽第24题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴正半轴于点，与过点的直线相交于另一点，过点作轴，垂足为.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点在线段上（不与点、重合），过作轴，交直线于，交抛物线于点，连接，求面积的最大值；
（3）若是轴正半轴上的一动点，设的长为，是否存在，使以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；（2）当m=时，；（3）当时，以点为顶点的四边形是平行四边形.
【解析】
试题分析：（1）把点，代入抛物线得方程组，解方程组求得a、b的值，即可求得抛物线的表达式；（2）求的直线AD的表达式，设（0
试题解析：
（1）把点，代入抛物线可得，
解得，
∴；
（2）∵,
∴A(0,1).
设直线AD的表达式为y=kx+b，
把A(0,1)，代入得，，
解得，，
∴
设（0
∴MP=，
∵,
∴PC=,
∴，
∴二次函数的顶点坐标为（）
即当m=时，；
（3）存在.
①点P在点C的左边，
∵OP的长为t，设（0
∴MN=，
∵MN=CD=,
∴，
∵△=-39，
∴方程无解；
②点P在点C的右边，
OP的长为t，设（t>3），则,，
∴MN=，
∵MN=CD=,
∴，
解得（舍去），；
综上所述，当时，以点为顶点的四边形是平行四边形.
15.（2017江苏苏州第28题）（本题满分10分）如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，．点在函数图像上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．
（1）求、的值；
（2）如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；
（3）如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．
【答案】（1），；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为和
【解析】
试题分析：（1）根据二次函数的对称轴公式，抛物线上的点代入，即可；（2）先求F的对称点，代入直线BE，即可；（3）构造新的二次函数，利用其性质求极值.
试题解析：.解：（1）轴，，抛物线对称轴为直线
点的坐标为
解得或（舍去
（2）设点的坐标为对称轴为直线点关于直线的对称点的坐标.
直线经过点利用待定系数法可得直线的表达式为.
因为点在上，即点的坐标为
（3）存在点满足题意.设点坐标为，则
垂足为
①点在直线的左侧时，点的坐标为点的坐标为点的坐标为在中，时，取最小值.此时点的坐标为
②点在直线的右侧时，点的坐标为同理，时，取最小值.此时点的坐标为
综上所述：满足的坐标为和
考点：二次函数的综合运用.
16.(2017浙江舟山第24题)如图，某日的钱塘江观测信息如下：
按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地质检的距离（千米）与时间（分钟）的函数关系用图3表示.其中：“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点，点坐标为，曲线可用二次函数：s=，（是常数）刻画.
（1）求值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；
（2）11:59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与潮头相遇？
（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为千米/分，小红逐渐落后.问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度，是加速前的速度）.
【答案】（1）m=30，0.4；（2）小红5分钟后与潮头相遇；（3）小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需26分钟.
【解析】
试题分析：（1）11:40到12:10的时间是30分钟，由图3可得甲乙两地的距离是12km，则可求出速度；（2）此题是相遇问题，求出小红出发时，她与潮头的距离；再根据速度和×时间=两者的距离，即可求出时间；（3）由（2）中可得小红与潮头相遇的时间是在12:04，则后面的运动过程为12:04开始，小红与潮头并行6分钟到12:10到达乙地，这时潮头开始从0.4千米/分加速到0.48千米/分钟，由题可得潮头到达乙后的速度为v=，在这段加速的过程，小红与潮头还是并行，求出这时的时间t1，从这时开始，写出小红离乙地关于时间t的关系式s1，由s-s1=1.8，可解出的时间t2（从潮头生成开始到现在的时间），所以可得所求时间=6+t2-30。
试题解析：（1）解：11:40到12:10的时间是30分钟，则B（30,0），潮头从甲地到乙地的速度==0.4（千米/分钟）.（2）解：∵潮头的速度为0.4千米/分钟，∴到11:59时，潮头已前进19×0.4=7.6（千米），∴此时潮头离乙地=12-7.6=4.4（千米），设小红出发x分钟与潮头相遇，∴0.4x+0.48x=4.4，∴x=5,∴小红5分钟后与潮头相遇.（3）解：把（30,0），C（55,15）代入s=，解得b=，c=,∴s=.∵v0=0.4，∴v=,当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分，即v=0.48时，=0.48，∴t=35，∴当t=35时，s==，∴从t=35分钟（12:15时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，但小红仍以0.48千米/分的速度匀速追赶潮头.设小红离乙地的距离为s1,则s1与时间t的函数关系式为s1=0.48t+h(t≥35)，当t=35时，s1=s=,代入得：h=,所以s1=最后潮头与小红相距1.8千米时，即s-s1=1.8，所以,，解得t1=50,t2=20（不符合题意，舍去）∴t=50,小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6分钟，∴共需要时间为6+50-30=26分钟，∴小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需26分钟.?
考点：二次函数的应用，二次函数与一次函数的交点问题
17.(2017浙江金华第24题)如图1，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为，动点与同时从点出发，运动时间为秒，点沿方向以单位长度/秒的速度向点运动，点沿折线运动，在上运动的速度分别为（单位长度/秒）.当中的一点到达点时，两点同时停止运动.
（1）求所在直线的函数表达式；
（2）如图2，当点在上运动时，求的面积关于的函数表达式及的最大值；
（3）在，的运动过程中，若线段的垂直平分线经过四边形的顶点，求相应的值.
【答案】(1)y=x+2;(2),当t=5时，S有最大值；最大值为;(3)t的值为.
【解析】
试题分析：（1）用待定系数法求直线AB的解析式即可；（2）根据三角形的面积公式得到关于t的二次三项式，再由二次函数图像的性质求出S的最大值即可；（3）根据t的值分情况讨论，依题意列出不同的方程从而求出t的值.
试题解析：
（1）解：把A（3，3），B（9，5）代入y=kx+b,得;
解得：;∴y=x+2;（2）解：在△PQC中，PC=14-t,PC边上的高线长为;∴∴当t=5时，S有最大值；最大值为.（3）解：a.当0＜t≤2时，线段PQ的中垂线经过点C（如图1）；可得方程解得：（舍去），此时t=.b.当2＜t≤6时，线段PQ的中垂线经过点A（如图2）可得方程,解得：（舍去），此时；c.当6＜t≤10时，①线段PQ的中垂线经过点C（如图3）可得方程14-t=25-;解得：t=.②线段PQ的中垂线经过点B（如图4）可得方程;解得（舍去）；此时；综上所述：t的值为.
18.（2017浙江湖州第24题）（本小题12分）
如图，在平面直角坐标系中，已知，两点的坐标分别为，，是线段上一点（与，点不重合），抛物线（）经过点，，顶点为，抛物线（）经过点，，顶点为，，的延长线相交于点．
（1）若，，求抛物线，的解析式；
（2）若，，求的值；
（3）是否存在这样的实数（），无论取何值，直线与都不可能互相垂直？若存在，请直接写出的两个不同的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线1的解析式为y，抛物线2的解析式为y（2）m=±2（3）存在
【解析】
试题分析：（1）把a、m代入得到已知点，把点代入函数的解析式，然后构成方程组，根据待定系数法可求出函数的解析式；
（2）如图，过点D作DG⊥x轴于点1代入函数解析式然后结合4，0）代入可求解出函数解析式L1，然后分别求出2，求得EH，BH的长，再根据三角形相似的判定与性质构造方程求解即可；
（3）根据前面的解答，直接写出即可.
试题解析：（1）由题意得
解得
所以抛物线1的解析式为y
同理
解得
∴所以抛物线2的解析式为y
（2）如图，过点D作DG⊥x轴于点由题意得
解得
抛物线1的解析式为y2+（m-4）x+4m
∴点，）
∴DG=，AG=
同理可得抛物线2的解析式为y2+（m+4）x-4m
EH=，BH=
∵AF⊥BF，DG⊥x轴
∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°
∴∠ADG=∠ABF=90°-∠BAF
∴△ADG∽△EBH
∴
∴
解得m±2
（3）存在，例如：a=-，a=-.（答案不唯一）
考点：二次函数的综合
19.（2017浙江台州第24题）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根.比如对于方程，操作步骤是：
第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点；
第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点，另一条直角边恒过点第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在轴上点处时，点的横坐标即为该方程的一个实数根（如图1）；
第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在轴上另—点处时，点的横坐标即为该方程的另一个实数根.
在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点（请保留作点直角三角板两条直角边的痕迹）；
（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的就是方程实数根；上述的关键是定两个位置，若要以此方找到一元二次方程，请你直接写出固定点的坐标；（4）实际上，中的固定点有无数对一般地与之间满足怎样的关系时，点就是符合要求的—对固定？
A（0，1），B（-，）或A（0，），B（-，c）等（4）m1+m2=-，m1m2+n1n2=.
【解析】
试题分析：（1）根据题目中给的操作步骤操作即可得出图2中的图.（2）在图1中，过点B作BD⊥x轴，交x轴于点D.依题意可证△AOC∽△CDB.然后根据相似三角形对应边的比相等列出式子，化简后为m2-5m+2=0，从而得证。（3）将方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化为x2+x+=0.模仿研究小组作法即可得答案。（4）以图3为例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,设方程的根为x，根据三角形相似可得..化简后为x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.又x2+x+=0.再依据相对应的系数相等即可求出。
试题解析：（1）解：如图2所示：（2）证明：在图1中，过点B作BD⊥x轴，交x轴于点D.根据题意可证△AOC∽△CDB.∴.∴.∴m（5-m）=2.∴m2-5m+2=0.∴m是方程x2-5x+2=0的实数根.（3）解：方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化为x2+x+=0.模仿研究小组作法可得：A（0，1），B（-，）或A（0，），B（-，c）等.（4）解：以图3为例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,设方程的根为x，根据三角形相似可得.上式可化为x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.又ax2+bx+c=0,即x2+x+=0.比较系数可得：m1+m2=-.m1m2+n1n2=.考点：1、一元二次方程的解，2、根与系数的关系，3、作图—基本作图，4、相似三角形的判定与性质
20.(2017湖南湘潭第26题)如图，动点在以为圆心，为直径的半圆弧上运动（点不与点及的中点重合），连接.过点作于点，以为边在半圆同侧作正方形，过点作的切线交射线于点，连接、.
（1）探究：如左图，当动点在上运动时；
①判断是否成立？请说明理由；
②设，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
③设，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
（2）拓展：如右图，当动点在上运动时；
分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由）
【答案】(1)①成立，理由见解析；②为定值1；③为定值45°；（2）不发生变化.
【解析】
试题解析：
（1）①成立，理由如下：
过点M作ME⊥AB于点E，以BE为边在半圆同侧作正方形BCDE，
∴∠MEO=∠MDN=90°，
∴∠MOE+∠EMO=90°
过M点的的切线交射线DC于点N，
∴∠OMN=90°，
∴∠DMN+∠EMO=90°
∴∠MOE=∠DMN
∴△OEM∽△MDN
②k是定值1，理由如下：
过点B作BG⊥MN,
∵过M点的的切线交射线DC于点N，
∴∠OMN=90°，
∵BG⊥MN,
∴∠BGM=90°，
∴∠OMN=∠BGM=90°，
∴OM∥BG
∴∠OMB=∠MBG,
∵OM=OB
∴∠OMB=∠OBM,
∴∠OBM=∠MBG,
∴△BME≌△BMG,
∴BM=MG,BG=BE,
∵正方形BCDE，
∴BG=BC
∴△BNG≌△BCN,
∴GN=CN
∴MN=MG+NG=ME+CN
即
③为定值45°，理由如下：
由②知：∠OBM=∠MBG,△BNG≌△BCN,
∴∠GBN=∠CBN,
∵正方形BCDE，
∴∠EBC=90°，
∴∴∠MBN=
(2)不发生变化.
2017年月日，天气：阴；能见度：1.8千米
11:40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地；
12:10时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续向西；
12:35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”.
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