答案：2x＋1或－2x－3答案：B[答案]C答案：[－3,1]第页返回导航数学基础知识导航考点典例领航智能提升返航课时规范训练第1课时函数及其表示数集集合任意任意f：A→B定义域值域定义域对应关系值域解析法图象法列表法对应关系并集并集f(x)＞0答案：B答案：[0,1)答案：[－1,0]答案：(－1,1)答案：D(2)已知f(1－cosx)＝sin2x，求f(x)的解析式．解析：f(1－cosx)＝sin2x＝1－cos2x，令t＝1－cosx，则cosx＝1－t，t∈[0,2]，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]，即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]．答案：f(x)＝2x－x2，x∈[0,2][思想方法]
分类讨论思想解决分段函数问题——形分而神不分
解决分段函数问题的基本思想是“分段归类”，即自变量在哪一段就充分利用这一段的函数解析式来分析解决问题．既要紧扣“分段”特征，又要将各段有机联系使之整体化、系统化．
1．函数与映射
函数 映射 两集合
A、B 设A，B是两个非空设A，B是两个非空
考点一求函数的定义域命题点 1.已知函数具体解析式求定义域
2.求抽象函数的定义域
3.已知函数定义域求参数 对应关系
f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称为从集合A到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)(xA) 对应f：A→B是一个映射 2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，xA中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的．
(2)函数的三要素：、和．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有、和．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的，其值域等于各段函数的值域的，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．常见函数定义域的求法
类型 x满足的条件 ，nN f(x)≥0 与[f(x)]0 f(x)≠0 logaf(x)(a＞0，a≠1) logf(x)g(x) f(x)＞0，且f(x)≠1，g(x)＞0 tanf(x) f(x)≠kπ＋，kZ
5.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(×)
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(×)
(3)映射是特殊的函数．(×)
(4)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．(×)
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(×)
(6)函数是建立在其定义域到值域的映射．(√)
(7)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．(×)
(8)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．(√)
(9)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．(√)
(10)y＝＝，其定义域为[1，＋∞)(×)
[例1](1)(2017·山东淄博模拟)函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是()
A.B.
C. D.
解析：要使函数有意义，需满足解得－＜x＜1.
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域为________．
解析：由解得0≤x＜1，即函数定义域是[0,1)．
(3)(2016·安徽合肥模拟)若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
解析：由题意可得2x2＋2ax－a－1≥0对xR恒成立．
x2＋2ax－a≥0恒成立，Δ＝4a2＋4a≤0，得－1≤a≤0.
[方法引航]简单函数定义域的类型及求法?1?已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式?组?求解.?2?抽象函数的定义域应注意：无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x的取值集合；对应f下的范围要一致.?3?已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式?组?，进而求范围.1．函数y＝的定义域为________．
解析：由，得－1＜x＜1.
2．已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f＋f的定义域是________．
解析：因为函数f(x)的定义域是[0,2]，
所以函数g(x)＝f＋f中的自变量x需满足
解得：≤x≤，
所以函数g(x)的定义域是.
3．若函数f(x)＝的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为()
A．(－2,2)
B．(－∞，－2)(2，＋∞)
C．(－∞，－2][2，＋∞)
D．[－2,2]
解析：函数的定义域为R等价于对x∈R，x2＋ax＋1≥0，令f(x)＝x2＋ax＋1，结合二次函数的图象(图略)，只需Δ＝a2－4≤0即可，解得实数a的取值范围为[－2,2]，故选D.
考点二求函数解析式命题点 1.用待定系数法求解析式
2.用换元法求解析式
3.用方程组消元法求解析式
4.用转化法求解析式 [例2](1)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式．
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，
f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，
即
f(x)＝x2－x＋2.
(3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)的解析式．
解析：f(x)＋2f＝x，f＋2f(x)＝.
解方程组
得f(x)＝－(x≠0)．
(4)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
解析：设－1≤x≤0，则0≤x＋1≤1，所以f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)．又因为f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝＝－.
[方法引航]函数解析式的求法?1?待定系数法：若已知函数的类型?如一次函数、二次函数?，可用待定系数法；?2?换元法：已知复合函数f?g?x??的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；?3?消去法：已知f?x?与f或f?－x?之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f?x?.?4?转化法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足的等量关系间接获得其解析式.1．若函数y＝f(x)为一次函数且f(f(x))＝4x＋3，则f(x)＝________.
解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
a2x＋ab＋b＝4x＋3.
∴或
f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.
2．已知f＝x2＋，求f(x)的解析式．
解：由于f＝x2＋＝2－2，
所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．
3．已知函数f(x)满足条件：2f(x)－3f(－x)＝2x，则f(x)＝________.
解析：2f(x)－3f(－x)＝2x，
∴2f(－x)－3f(x)＝－2x.
①＋，得－f(x)－f(－x)＝0，
f(－x)＝－f(x)，
2f(x)＋3f(x)＝2x，
f(x)＝x.
考点三分段函数及应用命题点 1.求分段函数的函数值
2.求分段函数的方程
3.求分段函数的不等式 [例3]已知函数f(x)＝则f(x)－f(－x)＞－1的解集为()
A．(－∞，－1)(1，＋∞)B.∪(0,1]
C．(－∞，0)(1，＋∞)D.∪(0,1)
解析：当－1≤x＜0时，0＜－x≤1，
此时f(x)＝－x－1，f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
f(x)－f(－x)＞－1化为－2x－2＞－1，
解得x＜－，则－1≤x＜－.
当0＜x≤1时，－1≤－x＜0，
此时，f(x)＝－x＋1，f(－x)＝－(－x)－1＝x－1，
∴f(x)－f(－x)＞－1化为－2x＋2＞－1，
解得x＜，则0＜x≤1.
故所求不等式的解集为(0,1]．
[方法引航]分段函数的求法?1?求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f?f?a??的形式时，应从内到外依次求值.?2?求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.1．若本例中函数f(x)不变，求f(1)＋f的值．
解：f(1)＝－1＋1＝0，f＝－－1＝－，
f＝－，
f(1)＋f＝0－＝－.
2．若本例中f(x)不变，求实数a，使f(a)＝a.
解：当0＜a≤1时，f(a)＝－a＋1
－a＋1＝a，即a＝.
当－1≤a＜0时，f(0)＝－a－1＝a.
a＝－.
综上，a＝±.
3．若本例中f(x)不变，解不等式f(x)≥－1.
解：当－1≤x＜0时，－x－1≥－1，x≤0，
－1≤x＜0.
当0＜x≤1时，－x＋1≥－1，x≤2，0＜x≤1.
综上，不等式解集为[－1,0)(0,1].
[典例](2017·福建福州一模)函数f(x)＝在xR内单调递减，则a的范围是()
A.B.
C. D.
[解析]要求此函数的两段均为减函数，并且x＝1时第一段的函数值在第二段的上方或者相等，即
解得故≤a≤.
[回顾反思]此题易忽略“2－8a＋3≥loga1”，不能从整体上把握分段函数为减函数的概念，即“神不分”．
[高考真题体验]
1．(2016·高考全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是()
A．y＝xB．y＝lgx
C．y＝2xD．y＝
解析：选D.函数y＝10lgx的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y＝x，y＝2x的定义域均为R，排除A，C；y＝lgx的值域为R，排除B，函数y＝的定义域、值域均为(0，＋∞)．故选D.
2．(2014·高考上海卷)设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为()
A．[－1,2]B．[－1,0]
C．[1,2]D．[0,2]
解析：选D.当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，又f(0)是f(x)的最小值，a≥0.当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，
解得－1≤a≤2，
a的取值范围是0≤a≤2.
3．(2016·高考江苏卷)函数y＝的定义域是________．
解析：要使函数y＝有意义，则3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，则函数y＝的定义域是[－3,1]．
4．(2016·高考江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝其中aR若f＝f，则f(5a)的值是________．
解析：由题意可得f＝f＝－＋a，
f＝f＝＝，则－＋a＝，a＝，故f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋＝－.
5．(2016·高考浙江卷)设函数f(x)＝x3＋3x2＋1.已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，xR，则实数a＝________，b＝________.
解析：因为f(x)－f(a)＝x3＋3x2－a3－3a2，(x－b)(x－a)2＝(x－b)(x2－2ax＋a2)＝x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b，所以，解得a＝－2，b＝1.
6．(2016·高考天津卷)已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是________．
解析：先根据函数f(x)的单调性确定a的一个取值范围，作出函数y＝|f(x)|，y＝2－的图象，观察图象确定交点的个数，求出a的取值范围．
因为函数f(x)在R上单调递减，
所以解得≤a≤.
作出函数y＝|f(x)|，y＝2－的图象如图．
由图象可知，在[0，＋∞)上，|f(x)|＝2－有且仅有一个解；在(－∞，0)上|f(x)|＝2－同样有且仅有一个解，所以3a＜2，即a＜.综上可得≤a＜，
所以a的取值范围是.
答案：
答案：
答案：f(x)＝x2－x＋2
答案：f(x)＝－(x≠0)
答案：－
答案：x答案：－
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