答案：C[答案]①②③④第页返回导航数学基础知识导航考点典例领航智能提升返航课时规范训练第3课时函数的奇偶性与周期性关于对称关于对称图象特征都有，那么函数f(x)就叫做偶函数都有，那么函数f(x)就叫做奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x定义偶函数奇函数f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)原点y轴f(x＋T)＝f(x)最小最小正数答案：D答案：B答案：D答案：C答案：0答案：0答案：C[方法探究]
“多法并举”解决抽象函数性质问题
[典例](2017·山东泰安模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1,0]上是增函数，给出下列四个命题：f(x)是周期函数；f(x)的图象关于x＝1对称；f(x)在[1,2]上是减函数；f(2)＝f(0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．
1．函数的奇偶性
考点一判断函数的奇偶性命题点 用函数奇偶性定义判断 2．函数的周期性
(1)周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个就叫做f(x)的最小正周期．
3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(√)
(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√)
(5)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n≠0)也是函数的周期．(√)
(6)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√)
(7)函数f(x)＝0，x(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×)
(8)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)
(9)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√)
(10)若某函数的图象关于y轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√)
[例1](1)下列函数为奇函数的是()
A．y＝B．y＝ex
C．y＝cosxD．y＝ex－e－x
解析：对于A，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B，f(－x)≠－f(x)，故不符合要求；对于C，满足f(－x)＝f(x)，故不符合要求；对于D，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，y＝ex－e－x为奇函数，故选D.
(2)下列函数中为偶函数的是()
A．y＝B．y＝lg|x|
C．y＝(x－1)2D．y＝2x
解析：根据奇、偶函数的定义，可得A是奇函数，B是偶函数，C，D为非奇非偶函数．
(3)函数f(x)＝＋，则()
A．不具有奇偶性B．只是奇函数
C．只是偶函数D．既是奇函数又是偶函数
解析：由得x＝－或x＝.
函数f(x)的定义域为{－，}．
对任意的x{－，}，－x{－，}，且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，f(x)既是奇函数，又是偶函数．
[方法引航]判断函数的奇偶性的三种重要方法
(1)定义法：
?2?图象法：函数是奇?偶?函数的充要条件是它的图象关于原点?y轴?对称.?3?性质法：
①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；
②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；
③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇.
判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)＝(x＋1)；
(2)f(x)＝lg.
解：(1)要使函数有意义，则≥0，
解得－1＜x≤1，显然f(x)的定义域不关于原点对称，
f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)由＞0－1＜x＜1，定义域关于原点对称．
又f(－x)＝lg＝lg－1
＝－lg＝－f(x)，f(－x)≠f(x)．故原函数是奇函数．考点二函数的周期性及应用命题点 1.周期性的简单判断
2.利用周期性求函数值 [例2](1)下列函数不是周期函数的是()
A．y＝sinxB．y＝|sinx|
C．y＝sin|x|D．y＝sin(x＋1)
解析：y＝sinx与y＝sin(x＋1)的周期T＝2π，B的周期T＝π，C项y＝sin|x|是偶函数，x(0，＋∞)与x(－∞，0)图象不重复，无周期．
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且当x[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2017)＋f(2019)的值为________．
解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－，
f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．
f(－2017)＝f(2017)＝f(1)＝log22＝1，
f(2019)＝f(3)＝－＝－1，
f(－2017)＋f(2019)＝0.
[方法引航]?1?利用周期f?x＋T?＝f?x?将不在解析式范围之内的x通过周期变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值.
?2?判断函数周期性的几个常用结论.①f?x＋a?＝－f?x?，则f?x?为周期函数，周期T＝2|a|.f?x＋a?＝?a≠0?，则函数f?x?必为周期函数，2|a|是它的一个周期；f?x＋a?＝－，则函数f?x?必为周期函数，2|a|是它的一个周期.
1．若将本例(2)中“f(x＋2)＝－”变为“f(x＋2)＝－f(x)”，则f(－2017)＋f(2019)＝________.
解析：由f(x＋2)＝－f(x)可知T＝4，f(－2017)＝1，f(2019)＝－1，f(－2017)＋f(2019)＝0.
2．若本例(2)条件变为f(x)对于xR，都有f(x＋2)＝f(x)且当x[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，求f(－2017)＋f(2019)的值．
解：由f(x＋2)＝f(x)，T＝2，f(2019)＝f(1)＝log22＝1，f(－2017)＝f(2017)＝f(1)＝1，f(－2017)＋f(2019)＝2.
考点三函数奇偶性的综合应用命题点 1.已知奇偶性求参数
2.利用奇偶性、单调性求解不等式
3.利用奇偶性求解析式或函数值 [例3](1)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为()
A．(－∞，－1)B．(－1,0)
C．(0,1)D．(1，＋∞)
解析：因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－.化简可得a＝1，则＞3，即－3＞0，即＞0，故不等式可化为＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选C.
(2)函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.
确定函数f(x)的解析式；
用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；
解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.
解：在x(－1,1)上f(x)为奇函数，
f(0)＝0，即b＝0
f(x)＝.
又f＝，＝.
解得，a＝1.
∴f(x)＝，经检验适合题意．
证明：由f′(x)＝＝.
x(－1,1)时，1－x2＞0，
f′(x)＞0
f(x)在(－1,1)上为增函数．
③由f(t－1)＋f(t)＜0，
得f(t－1)＜－f(t)，即f(t－1)＜f(－t)．
得0＜t＜.
(3)已知f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝()
A．－x3－ln(1－x)B．x3＋ln(1－x)
C．x3－ln(1－x)D．－x3＋ln(1－x)
解析：当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，
f(x)是R上的奇函数，当x＜0时，
f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]＝x3－ln(1－x)．
[方法引航]?1?根据奇偶性求解析式中的参数，是利用f?－x?＝－f?x?或f?－x?＝f?x?在定义域内恒成立，建立参数关系.?2?根据奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定义进行转化.1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．
解析：a－1＋2a＝0，a＝.
f(x)＝ax2＋bx为偶函数，则b＝0，a＋b＝.
2．定义在R上的偶函数y＝f(x)在[0，＋∞)上递减，且f＝0，则满足f(x)＜0的x的集合为()
A.(2，＋∞)B.∪(1,2)
C.∪(2，＋∞)D.∪(2，＋∞)
解析：选C.由题意可得f＝f(|x|)＜0＝f，又f(x)在[0，＋∞)上递减，所以|x|＞，即x＞或x＜－，解得0＜x＜或x＞2，所以满足不等式f＜0的x的集合为(2，＋∞)．
3．已知函数f(x)＝－x＋log2＋1，则f＋f的值为()
A．2B．－2
C．0D．2log2
解析：选A.由题意知，f(x)－1＝－x＋log2，f(－x)－1＝x＋log2＝x－log2＝－(f(x)－1)，所以f(x)－1为奇函数，则f－1＋f－1＝0，所以f＋f＝2.
[分析关系]f(x＋y)＝f(x)＋f(y)隐含了用什么结论？什么方法探究？
f(x＋2)＝－f(x)，隐含了什么结论？用什么方法探究．
若f(x)的图象关于x＝1对称，其解析式具备什么等式关系？从何处理探究？
f(x)在[－1,0]上的图象与[1,2]上的图象有什么关系？依据什么指导？
f(2)，f(0)从何处计算．
[解析]第一步：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，yR恒成立．
(赋值法)：令x＝y＝0，
f(0)＝0.
令x＋y＝0，y＝－x，
f(0)＝f(x)＋f(－x)．
f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数．
第二步：f(x)在x[－1,0]上为增函数，又f(x)为奇函数，f(x)在[0,1]上为增函数．
第三步：由f(x＋2)＝－f(x)f(x＋4)＝－f(x＋2)
f(x＋4)＝f(x)，
(代换法)周期T＝4，
即f(x)为周期函数．
第四步：f(x＋2)＝－f(x)f(－x＋2)＝－f(－x)．(代换法)
又f(x)为奇函数，
f(2－x)＝f(x)，
关于x＝1对称．
第五步：由f(x)在[0,1]上为增函数，又关于x＝1对称，
[1,2]上为减函数．(对称法)
第六步：由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．(赋值法)
[回顾反思]此题用图象法更直观．
[高考真题体验]
1．(2014·高考课标全国卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：选C.由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.
2．(2016·高考山东卷)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞时，f＝f.则f(6)＝()
A．－2B．－1
C．0D．2
解析：选D.由题意可知，当－1≤x≤1时，f(x)为奇函数，且当x＞时，f(x＋1)＝f(x)，所以f(6)＝f(5×1＋1)＝f(1)．而f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f(6)＝2.故选D.
3．(2016·高考四川卷)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)＝________.
解析：综合运用函数的奇偶性和周期性进行变换求值．
f(x)为奇函数，周期为2，
f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)，f(1)＝0.
f(x)＝4x，x(0,1)，
f＝f＝f＝－f
＝－4＝－2.
f＋f(1)＝－2.
4．(2015·高考课标全国卷)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
解析：由题意得f(x)＝xln(x＋)＝f(－x)＝
－xln(－x)，所以＋x＝，解得a＝1.
5．(2014·高考四川卷)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x[－1,1)时，f(x)＝则f＝________.
解析：由已知易得f＝－4×2＋2＝1，又由函数的周期为2，可得f＝f＝1.
答案：
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