答案：C答案：(0,1)∪(1,2)答案：D第页返回导航数学基础知识导航考点典例领航智能提升返航课时规范训练第7课时函数的图象定义域解析式f(x－a)f(x)＋bf(ωx)Af(x)－f(x)f(－x)－f(－x)f(|x|)|f(x)|答案：D答案：C答案：B[思想方法]
数形结合思想——柳暗花明
有些数学问题，如果只从代数的角度难以入手或者太麻烦，可考虑借助函数图象，用数形结合思想“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题形象化．
[典例]a为实数，函数f(x)＝|x2－ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a)．当a＝________时，g(a)的值最小．
1．描点法作图
方法步骤：
(1)确定函数的；
(2)化简函数的；
(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；
(4)描述连线，画出函数的图象．
考点一作函数图象命题点 1.利用基本函数和性质作图
2.利用基本函数和变换作图 2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换：
y＝f(x)y＝；
y＝f(x)y＝.
(2)伸缩变换：
y＝f(x)
y＝；
y＝f(x)＝．
(3)对称变换：
y＝f(x)y＝；
y＝f(x)y＝；
y＝f(x)y＝．
(4)翻折变换：
y＝f(x)y＝；
y＝f(x)＝.
3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当x(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(×)
(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a＞0且a≠1)的图象相同．(×)
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(×)
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(√)
(5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．(×)
(6)将函数y＝f(x)的图象向上平移c个单位，得到y－c＝f(x)(c＞0)．(√)
(7)y＝x与y＝的图象是相同的．(×)
(8)函数y＝＋的图象是一个点．(√)
(9)函数y＝x2与y＝的图象是关于y轴对称的抛物线．(×)
(10)函数y＝的图象关于(1,0)点对称．(√)
[例1]作出下列函数的图象，并标明与x轴、y轴的交点．
(1)y＝x2－2|x|－1；解：y＝x2－2|x|－1＝
关于y轴对称，先作出x≥0时的图象再作关于y轴对称部分，如图．(2)y＝|log2(x＋1)|.
解：由y＝log2x向左平移1个单位，然后保留x轴上方的图象，并把x轴下方图象沿x轴翻折到x轴上方，如图．
[方法引航]?1?常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋?m＞0?的函数是图象变换的基础；?2?掌握平移变换、伸缩变换、对称变换等常用方法技巧，可以帮助我们简化作图过程.
1．作函数y＝sin|x|的图象
解：当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sinx的图象完全相同，
又y＝sin|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，其图象如图．
2．作函数y＝的图象
解：因y＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝的图象，如图．
考点二识图与辨图命题点 1.已知具体的函数解析式，识别图象
2.已知含参数的两个函数解析式识别图象
3.无函数解析式用函数关系识别图象 解析：f(x)为奇函数，所以不等式＜0化为＜0，即xf(x)＜0，f(x)的大致图象如图所示．所以xf(x)＜0的解集为(－1,0)(0,1)．
[解析]对a分类画出函数f(x)的图象，由图象确定函数的单调性，由单调性确定最大值g(a)，求出函数g(a)的解析式后，再确定g(a)最小时对应的a的值．
(1)当a＝0时，f(x)＝x2,函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，故g(a)＝f(1)＝1.
(2)当a＜0时，函数f(x)的图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，故g(a)＝f(1)＝1－a.
(3)当0＜a＜1时，函数f(x)的图象如图(2)所示，f＝，f(1)＝1－a，f－f(1)＝－(1－a)＝.
①当0＜a＜2－2时，因为f－f(1)＜0，即f＜f(1)，所以g(a)＝f(1)＝1－a；
当2－2≤a＜1时，因为f－f(1)≥0，即f≥f(1)，所以g(a)＝f＝.
(4)当1≤a＜2时，函数f(x)的图象如图(3)所示，因为函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，故g(a)＝f＝.
(5)当a≥2时，函数f(x)的图象如图(4)所示，因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，故g(a)＝f(1)＝a－1.
综上，g(a)＝
当a＜2－2时，g(a)＞g(2－2)＝3－2；
当2－2≤a＜2时，g(a)≥g(2－2)＝3－2；
当a≥2时，g(a)≥g(2)＝1＞3－2.
综上，当a＝2－2时，g(a)min＝3－2.
[高考真题体验]
1．(2013·高考福建卷)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是()
解析：选A.函数f(x)＝ln(x2＋1)的定义域为(－∞，＋∞)，又因为f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数且f(0)＝ln1＝0，综上选A.
2．(2016·高考全国乙卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为()
解析：选D.当x＝2时，y＝8－e2(0,1)，排除A，B；易知函数y＝2x2－e|x|为偶函数，当x[0,2]时，y＝2x2－ex，求导得y′＝4x－ex，当x＝0时，y′＜0，当x＝2时，y′＞0，所以y＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C，故选D.
3．(2015·高考课标卷)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝()
A．－1B．1
C．2D．4
解析：选C.在y＝f(x)的图象上任取一点P(x0，y0)，则P(x0，y0)关于直线y＝－x对称的点为P′(－y0，－x0)，所以P′必在y＝2x＋a的图象上，即－x0＝2－y0＋a，
所以－y0＋a＝log2(－x0)，即y0＝a－log2(－x0)，
所以f(x)＝a－log2(－x)，又f(－2)＋f(－4)＝1，
所以2a－log22－log24＝1，
即2a－1－2＝1，解得a＝2，故选C.
4．(2015·高考课标卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()
解析：选B.当x时，f(x)＝tanx＋，图象不会是直线段，从而排除A，C.
当x时，f＝f＝1＋，
f＝2.2＜1＋，f＜f＝f，从而排除D，故选B.
5．(2013·高考课标卷)函数f(x)＝(1－cosx)sinx在[－π，π]的图象大致为()
解析：选C.因为f(－x)＝[1－cos(－x)]sin(－x)＝－(1－cosx)·sinx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除选项B；当x(0，π)时，1－cosx＞0，sinx＞0，所以f(x)＞0，排除选项A；又函数f(x)的导函数f′(x)＝sinx·sinx＋(1－cosx)·cosx，所以f′(0)＝0，排除D.故选C.
6．(2016·高考浙江卷)函数y＝sinx2的图象是()
解析：选D.排除法．由y＝sinx2为偶函数判断函数图象的对称性，排除A，C；当x＝时，y＝sin2＝sin≠1，排除B，故选D.
[例2](1)函数f(x)＝cosx(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为()
解析：因为函数f(x)＝cosx(－π≤x≤π且x≠0)为奇函数，所以排除选项A，B；当x＝π时，f(x)＝cosπ＝－π＜0，排除选项C，故选D.
(2)(2017·福建三明调研)函数y＝ax2＋bx与函数y＝xa＋b(a≠0)在同一坐标系中的图象可能为()
解析：y＝ax2＋bx＝a2－，对于A，由二次函数图象可知，a＜0，－＜0，所以b＜0，函数y＝xa＋b不符合要求，同理B不符合要求；对于C，D，由二次函数图象可知，a＜0，－＞0，所以b＞0，比较选项C，D可知C符合要求．
(3)如图，在一个盛满水的圆柱形容器的水面以下，有一个用细线吊着的下端开了一个很小的孔的充满水的薄壁小球，当慢慢地匀速地将小球从水下向水面上拉动时，圆柱形容器内水面的高度与时间的函数图象大致是()解析：球拉出水面开始时球上半部较小，因而水递减较缓慢．球中部拉出水面时水递增的速度较快，最后球中的水全部放回，水面基本持平(因为球是薄壁的)，故选B.
[方法引航]函数图象的识辨可从以下几方面入手：?1?从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；?2?从函数的单调性，判断图象的变化趋势；?3?从函数的奇偶性，判断图象的对称性；?4?从函数的周期性，判断图象的循环往复；?5?从函数的特征点，排除不合要求的图象.1．函数y＝的图象大致是()
解析：选C.由3x－1≠0得x≠0，函数y＝的定义域为{x|x≠0}，可排除选项A；当x＝－1时，y＝＝＞0，可排除选项B；当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝，但从选项D的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.
2．函数y＝xa与y＝logax的图象在同一坐标系中的图象可能为()
解析：选D.函数y＝xa(x≥0)与y＝logax(x＞0)，选项A中没有幂函数图象，不符合；对于选项B，y＝xa(x≥0)中a＞1，y＝logax(x＞0)中0＜a＜1，不符合；对于选项C，y＝xa(x≥0)中，0＜a＜1，y＝logax(x＞0)中a＞1，不符合，对于选项D，y＝xa(x≥0)中0＜a＜1，y＝logax(x＞0)中，0＜a＜1，符合，故选D.
3．(2017·安徽合肥调研)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()
解析：选A.前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.考点三函数图象的应用命题点 1.用图象研究函数性质
2.用图象研究方程的根
3.用图象求解不等式
4.用图象求函数解析式 [例3](1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
解析：将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得
f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
(2)已知函数y＝的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
解析：将函数y＝化成分段函数，并作出其图象如图所示．利用图象可得实数k的取值范围为(0,1)(1,2)．
(3)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为()
A．(－1,0)(1，＋∞)B．(－∞，－1)(0,1)
C．(－∞，－1)(1，＋∞)D．(－1,0)(0,1)
(4)如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________．解析：当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b，
则得y＝x＋1.
当x＞0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1，
图象过点(4,0)，0＝a(4－2)2－1，得a＝.
[方法引航]?1?根据图象的左右上下的取值可看出函数的定义域、值域、最值.根据图象的对称性可看出奇偶性，根据图象的上升、下降可看出单调性.?2?利用函数的图象研究方程根的个数,当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f?x?＝0的根就是函数f?x?的图象与x轴交点的横坐标，方程f?x?＝g?x?的根就是函数f?x?与g?x?图象交点的横坐标.?3?利用函数的图象研究不等式,当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.?4?根据图象反映的性质或特殊点用待定系数法求解析式.1．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是()
A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)解析：选D.根据所给分段函数解析式，画出函数图象解答．画函数f(x)＝
的图象如图所示，由图象知只有D正确．
2．函数f(x)＝3x|logx|－1的零点个数为()
A．0B．1
C．4D．2
解析：选D.令f(x)＝0，得＝x，在同一坐标系内作出函数y＝与y＝x的大致图象，结合图象可知它们共有两个不同的交点，因此函数f(x)的零点个数是2，故选D.
3．不等式logax＞(x－1)2恰有三个整数解，则a的取值范围为()
A．[，]B．[，]
C．(1，]D．(1，]解析：选B.不等式logax＞(x－1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a＞1，其整数解集为{2,3,4}，则应满足
得≤a＜，故选B.4．(2017·贵州七校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝－1
D．f(x)＝x－
解析：选A.由图象知函数为奇函数，排除B、C；当x→＋∞时，f(x)→0；D选项中f(x)→＋∞，排除D，故选A.
答案：f(x)＝
[答案]2－2
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