[答案]C答案：(0,2)第页返回导航数学基础知识导航考点典例领航智能提升返航课时规范训练第8课时函数与方程f(x)＝0x轴零点f(a)·f(b)＜0(a，b)f(c)＝0c210f(a)·f(b)＜0一分为二零点答案：C答案：C答案：A[思想方法]
唇齿相依的函数与方程——函数与方程思想
函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．
方程的思想，就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程(组)或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(xD)，把使的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)的图象与有交点函数y＝f(x)有．
考点一函数零点的判断和求解命题点 1.判断函数零点所在区间
2.判断函数零点个数
3.求函数零点 (3)函数零点的判定(零点存在性定理)
一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c(a，b)，使得，这个也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数
3．二分法
(1)定义：对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；
求区间(a，b)的中点c；
计算f(c)；
(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
()若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0(a，c))；
()若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0(c，b))．
判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复.
4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(×)
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点．(√)
(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(×)
(5)函数y＝2sinx－1的零点有无数多个．(√)
(6)函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则－1＜k＜－.(×)
(7)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)＜0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点．(×)
(8)已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是(－2,0)．(√)
(9)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是y＝f(x)与y＝g(x)的交点．(×)
(10)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．(√)
[例1](1)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()
A．(0,1)B．(1,2)
C．(2,4)D．(4，＋∞)
解析：因为f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)＝－log24＝－＜0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)．
(2)函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为()
A．4B．5
C．6D．7
解析：当x＝0时，f(x)＝0.又因为x[0,4]，
所以0≤x2≤16.因为5π＜16＜，
所以函数y＝cosx2在x2取，，，，时为0，
此时f(x)＝0，所以f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为6.
(3)若f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－x的零点为________．
解析：求函数g(x)＝f(x)－x的零点，即求f(x)＝x的根，
或
解得x＝1＋或x＝1.
g(x)的零点为1＋，1.
[方法引航]?1?直接求零点：令f?x?＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.?2?零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f?a?·f?b?＜0，还必须结合函数的图象与性质?如单调性、奇偶性?才能确定函数有多少个零点.?3?利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.1．(2017·浙江温州十校联考)设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()
A．(0,1)B．(1,2)
C．(2,3)D．(3,4)
解析：选B.法一：f(1)＝ln1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln2＞0，f(1)·f(2)＜0，
函数f(x)＝lnx＋x－2的图象是连续的，
函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)．
法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，
可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．
2．函数y＝|log2x|－x的零点个数是()
A．0B．1
C．2D．4
解析：选C.令y＝|log2x|－x＝0，即|log2x|＝x，在同一坐标系下作出y＝|log2x|和y＝x的图象(图略)，易知两图象有2个交点，即函数有2个零点．
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()
A．{1,3}B．{－3，－1,1,3}
C．{2－，1,3}D．{－2－，1,3}
解析：选D.法一：求出当x＜0时f(x)的解析式，分类讨论解方程即可．
令x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x.
因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．所以当x＜0时，f(x)＝－x2－3x.所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x＜0时，g(x)＝－x2－4x＋3.
令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋＞0(舍去)或x＝－2－.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－，1,3}．
法二：令g(x)＝0，即f(x)－x＋3＝0，
f(x)＝x－3，
作y＝f(x)与y＝x－3的图象，由图象可知有3个交点．
y轴右侧有2个交点，其零点为1或3.y轴左侧一个零点x＜－3，故选D.
考点二二次函数零点问题命题点 1.判断二次函数零点问题
2.已知二次函数零点求参数 [例2](1)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析：本题考查零点的存在性定理．依题意得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－b)(c－a)＞0，因此由零点的存在性定理知f(x)的零点位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.
(2)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
解：令f(x)＝0，则Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝92＋＞0，
即f(x)＝0有两个不相等的实数根，
若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．
f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，a≤－或a≥1.
检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1，所以f(x)＝x2＋x.
令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.
方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠1.
(2)当f(3)＝0时，a＝－，此时f(x)＝x2－x－.
令f(x)＝0，即x2－x－＝0，解得x＝－或x＝3.
方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠－.
综上所述，a＜－或a＞1.
[方法引航]解决二次函数的零点问题的方法?1?可利用一元二次方程的求根公式；?2?可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；?3?利用二次函数的图象列不等式组.1．在本例(2)中，若a＝0，求f(x)在[－1,3]上的零点．
解析：当a＝0时，f(x)＝x2－2x－1＝0，
(x－1)2＝2，x＝1＋[－1,3]，
x＝1－∈[－1,3]．
故f(x)在[－1,3]上的零点为1±.
2．在本例(2)中，条件不变，若f(x)在[－1,3]内有两个不同零点，求a的范围．
解析：由题意得
即解得－≤a≤1.
[典例]设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是()
A.B.
C. D．[1，＋∞)
[解析]利用分段函数求值的基本方法分段求解．
由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.
当a＜1时，有3a－1≥1，a≥，≤a＜1.
当a≥1时，有2a≥1，a≥0，a≥1.
综上，a≥，故选C.
[回顾反思]首先用函数思想处理f(f(a))的表达式：结合分段函数，讨论自变量a的取值，求函数值f(a)的取值进而确定f(f(a))表达式，其次，再将方程f(f(a))＝2f(a)转化为函数h(a)＝f(f(a))－2f(a)，研究函数零点，确定方程根．
[高考真题体验]
1．(2016·高考全国甲卷)已知函数f(x)(xR)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝()
A．0B．m
C．2mD．4m
解析：选B.因为f(x)＋f(－x)＝2，y＝＝1＋，所以函数y＝f(x)与y＝的图象都关于点(0,1)对称，所以i＝0，i＝×2＝m，所以(xi＋yi)＝m，故选B.
2．(2015·高考安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()
A．y＝cosxB．y＝sinx
C．y＝lnxD．y＝x2＋1
解析：选A.y＝cosx是偶函数且有无数多个零点，y＝sinx为奇函数，y＝lnx既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，故选A.
3．(2014·高考山东卷)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()
A.B.
C．(1,2)D．(2，＋∞)解析：选B.在同一坐标系中分别画出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y＝kx的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y＝x－1的斜率时符合题意，故＜k＜1.4．(2015·高考湖南卷)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
解析：令|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b，由题意可知函数y＝|2x－2|与y＝b的图象有两个交点，结合函数图象(图略)可知，0＜b＜2.
5．(2016·高考浙江卷)已知a＞b＞1.若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
解析：由于a＞b＞1，则logab(0,1)，因为logab＋logba＝，即logab＋＝，所以logab＝或logab＝2(舍去)，所以＝b，即a＝b2，所以ab＝(b2)b＝b2b＝ba，所以a＝2b，b2＝2b，所以b＝2(b＝0舍去)，a＝4.
6．(2016·高考山东卷)已知函数f(x)＝其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
解析：f(x)＝当x＞m时，f(x)＝x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，其顶点为(m,4m－m2)；当x≤m时，函数f(x)的图象与直线x＝m的交点为Q(m，m)．当即0＜m≤3时，函数f(x)的图象如图1所示，易得直线y＝b与函数f(x)的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；②当即m＞3时，函数f(x)的图象如图2所示，则存在实数b满足4m－m2＜b≤m，使得直线y＝b与函数f(x)的图象有三个不同的交点，符合题意．综上，m的取值范围为(3，＋∞)．
答案：1＋，1
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