答案：A第页返回导航数学基础知识导航考点典例领航智能提升返航课时规范训练第11课时导数与函数的单调性、极值、最值增函数减函数f′(x)＜0f′(x)＞0f′(x)＞0f′(x)＜0f(a)f(b)f(a)f(b)极值f(a)，f(b)答案：A答案：(2,2a)答案：B答案：－4[规范答题]
用导数研究函数单调性和极值
[典例](2017·山东济南模拟)(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ex＋ax－a(aR且a≠0)．
(1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值；并求此时f(x)在[－2,1]上的最大值；
(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．
1．函数的单调性与导数
在(a，b)内的可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0f(x)在(a，b)上为．
f′(x)≤0f(x)在(a，b)上为．
考点一利用导数研究函数的单调性命题点 1.判断函数的单调性
2.求函数的单调区间
3.利用导数与单调性的关系求参数 2．函数的极值与导数
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
3．函数的最值与导数
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
求f(x)在(a，b)内的；
将f(x)的各极值与进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．(×)
(2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”．(×)
(3)函数的极大值不一定比极小值大．(√)
(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(×)
(5)函数的极大值一定是函数的最大值．(×)
(6)开区间上的单调连续函数无最值．(√)
(7)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．(×)
(8)闭区间上的连续函数一定有最大值，也有最小值．(√)
(9)函数f(x)＝3x＋b，在[m，n]上的极大值点为m.(×)
(10)函数f(x)＝x2－1，其极值点为.(×)
[例1](1)函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是()
A．增函数
B．减函数
C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减
D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增
解析：f′(x)＝1－cosx＞0恒成立，
f(x)在R上递增，在(0,2π)上为增函数．
(2)设函数f(x)＝x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a＞1，则f(x)的单调减区间为________．
解析：f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)，
由a＞1知，当x＜2时，f′(x)＞0，
故f(x)在区间(－∞，2)上是增函数；
当2＜x＜2a时，f′(x)＜0，
故f(x)在区间(2,2a)上是减函数；
当x＞2a时，f′(x)＞0，
故f(x)在区间(2a，＋∞)上是增函数．
综上，当a＞1时，
f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增函数，
在区间(2,2a)上是减函数．
(3)函数f(x)＝x3－ax为R上增函数的一个充分不必要条件是()
A．a≤0B．a＜0
C．a≥0D．a＞0
解析：函数f(x)＝x3－ax为R上增函数的一个充分不必要条件是f′(x)＝3x2－a＞0在R上恒成立，所以a＜(3x2)min.因为(3x2)min＝0，所以a＜0.故选B.
[方法引航]?1?利用导数的符号来判断函数的单调性；?2?已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；?3?f?x?为增函数的充要条件是对任意的x?a，b?都有f′?x?≥0且在?a，b?内的任一非空子区间上f′?x?≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.1．若将本例(2)改为已知函数f(x)＝x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a.(aR)，求f(x)的单调区间．
解：xR，f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2a)(x－2)，
令f′(x)＝0，得x1＝2a，x2＝2，
当2a＞2，即a＞1时由f′(x)＞0得x＞2a或x＜2；
由f′(x)＜0得2＜x＜2a.
当2a＝2，即a＝1时，f′(x)≥0恒成立；
当2a＜2，即a＜1时，由f′(x)＞0得x＞2或x＜2a；
由f′(x)＜0得2a＜x＜2.
综上所述，当a＞1时，增区间为(2a，＋∞)，(－∞，2)；
减区间为(2,2a)．
当a＝1时，增区间为(－∞，＋∞)，无减区间．
当a＜1时，增区间为(－∞，2a)，(2，＋∞)，减区间为(2a,2)．
2．若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为________．
解析：f(x)＝x3－x2＋ax＋4，
f′(x)＝x2－3x＋a，又函数f(x)恰在[－1,4]上单调递减，－1,4是f′(x)＝0的两根，a＝(－1)×4＝－4.
考点二利用导数求函数的极值命题点 1.求函数的极值
2.已知极值求参数 [解](1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex＋a，1分
f′(0)＝e0＋a＝0，a＝－1.2分
f′(x)＝ex－1，
在(－∞，0)上f′(x)＜0，f(x)单调递减，在(0，＋∞)上f′(x)＞0，f(x)单调递增，
当x＝0时，f(x)取极小值．a＝－1.3分
易知f(x)在[－2,0]上单调递减，在(0,1]上f(x)单调递增，
且f(－2)＝＋3，f(1)＝e，f(－2)＞f(1).4分
∴f(x)在[－2,1]的最大值为＋3.5分
(2)f′(x)＝ex＋a，由于ex＞0.
当a＞0时，f′(x)＞0，f(x)是增函数，7分
且当x＞1时，f(x)＝ex＋a(x－1)＞0.8分
当x＜0时，取x＝－，则f＜1＋a＝－a＜0，
函数f(x)存在零点，不满足题意.9分
②当a＜0时，令f′(x)＝ex＋a＝0，x＝ln(－a)．
在(－∞，ln(－a))上f′(x)＜0，f(x)单调递减，在(ln(－a)，＋∞)上f′(x)＞0，f(x)单调递增，
x＝ln(－a)时，f(x)取最小值.11分
函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(－a))＝eln(－a)＋aln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)＞0，解得－e2＜a＜0.
综上所述，所求的实数a的取值范围是－e2＜a＜0.13分
[规范建议](1)正确求导和f′(0)．
(2)通过极值并检验a的值．
(3)利用单调变化求最大值．
(4)讨论a，确定单调变化与最值，构建关于a的不等式．
(5)注意(1)与(2)两问无关系．
[高考真题体验]
1．(2016·高考全国乙卷)若函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是()
A．[－1,1]B.
C. D.
解析：选C.f′(x)＝1－cos2x＋acosx＝1－(2cos2x－1)＋acosx＝－cos2x＋acosx＋
f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立，令cosx＝t，t[－1,1]，则－t2＋at＋≥0在[－1,1]上恒成立，即4t2－3at－5≤0在[－1,1]上恒成立，
令g(t)＝4t2－3at－5，则
解得－≤a≤，故选C.
2．(2014·高考课标卷)设函数f(x)＝alnx＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.
(1)求b；
(2)若存在x0≥1，使得f(x0)＜，求a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b.
由题设知f′(1)＝0，解得b＝1.
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f(x)＝alnx＋x2－x，f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1)．
()若a≤，则≤1，故当x(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f′(x)在(1，＋∞)上单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)＜的充要条件为f(1)＜，即－1＜，解得－－1＜a＜－1.
()若＜a＜1，则＞1，故当x时，f′(x)＜0；当x时，f′(x)＞0.f(x)在上单调递减，在上单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)＜的充要条件为f＜.
而f＝aln＋＋＞，所以不合题意．
()若a＞1，则f(1)＝－1＝＜.
综上，a的取值范围是(－－1，－1)(1，＋∞)．
3．(2013·高考课标全国卷)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
令f′(x)＝0，得x＝－ln2或x＝－2.
从而当x(－∞，－2)(－ln2，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x(－2，－ln2)时，f′(x)＜0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，
在(－2，－ln2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．[例2](1)求函数f(x)＝x2＋2mlnx(m＜0)的极值．
解：由条件知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
因为m＜0，则f′(x)＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0，) (，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 极小值 由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)．
当x＝时，f(x)极小值＝()2＋2mln＝－m＋mln(－m)．
(2)已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
求a和b的值；
设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．
解：由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0.
解得a＝0，b＝－3.
由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.
当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．
当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点．
所以g(x)的极值点为－2.
[方法引航]1.求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义区间，求导函数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用函数的导数值为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检查在方程根的左右f′(x)的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点．
2．已知极值求参数时，要注意检验所求是否有极值的条件．
1．若本例(1)中函数不变，m变为“m≥0”，其极值如何．
解：当m＝0时，f(x)＝x2，
在(－∞，0)，f(x)为减函数，(0，＋∞)为增函数，
当x＝0时，f(x)极小值为0，无极大值．
当m＞0时，f′(x)＝2x＋＞0恒成立．
f(x)在(0，＋∞)上为增函数，无极值．
2．若本例(2)改为已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于()
A．11或18B．11
C．18D．17或18
解析：选C.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，f(1)＝10，且f′(1)＝0，
即解得或
而当时，函数在x＝1处无极值，故舍去．
f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，f(2)＝18.
考点三利用导数求函数的最值命题点 1.求函数的最值
2.利用最值求参数 [例3](1)已知函数f(x)＝ex，g(x)＝lnx＋1，对a∈R，b∈(0，＋∞)，使得f(a)＝g(b)，则b－a的最小值为()
A．1B．2
C．2－1D．e2－1
解析：设f(a)＝g(b)＝t，即ea＝lnb＋1＝t(t＞0)，所以a＝lnt，b＝et－1，则b－a＝et－1－lnt＝h(t)，h′(t)＝′－＝et－1－，令h′(t)＝0，得t＝1，可判断t＝1为函数h(t)的极小值点，所以所求的最小值为h(1)＝1.
(2)设函数f(x)＝xex－x＋2.
若a＝1，求f(x)的单调区间；
当x≥0时，f(x)≥x2－x＋2恒成立，求a的取值范围．
解：a＝1，f(x)＝xex－x＋2＝xex－x2－x＋2，
f′(x)＝(ex－1)(x＋1)，当－1≤x≤0时，f′(x)≤0；
当x≤－1或x≥0时，f′(x)≥0，
f(x)在[－1,0]上单调递减，在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增．
由f(x)≥x2－x＋2，得x≥0，即要满足
ex≥x，
当x＝0时，显然成立；当x＞0时，即≥，
记g(x)＝，则g′(x)＝，
易知g(x)的最小值为g(1)＝e，≤e，得
a≤2(e－1)．
[方法引航]设函数f?x?在[a，b]上连续，在?a，b?内可导，则求f?x?在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：?1?求f?x?在?a，b?内的极值，若函数f?x?中含有参数，则需要讨论参数的范围，从而决定极值存在的位置；?2?将f?x?的各极值与f?a?、f?b?比较，得出函数f?x?在[a，b]上的最值.1．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是()
A．－B．－
C．－4D．－
解析：选A.f′(x)＝x2＋2x－3，
令f′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)，
又f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－.
故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－.
2．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意的x[－1,2]，都有f(x)＞a，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得3x2－x－2＝0，
解得x＝1或x＝－，
又f(1)＝，f＝，
f(－1)＝，f(2)＝7，故f(x)min＝，a＜.
答案：
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