专题10四边形
一、选择题
1．（2017四川省南充市）已知菱形的周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（）
A．2B．C．3D．4
【答案】．
考点：2．（2017四川省广安市）下列说法：
四边相等的四边形一定是菱形
顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形
对角线相等的四边形一定是矩形
经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分
其中正确的有（）个．
A．4B．3C．2D．1
【答案】．
【解析】
试题分析：四边相等的四边形一定是矩形，错误；
顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，错误；
对角线相等的平行四边形才是矩形，错误；
经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，正确；
其中正确的有1个，故选D．
考点：1．中点四边形；2．平行四边形的性质；3．菱形的判定；4．矩形的判定与性质；5．正方形的判定3．（2017四川省眉山市）如图，EF过ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为（）
A．14B．13C．12D．10
【答案】．
考点：4．（2017四川省绵阳市）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=，AEO=120°，则FC的长度为（）
A．1B．2C．D．
【答案】．
【解析】
试题分析：EF⊥BD，AEO=120°，EDO=30°，DEO=60°，四边形ABCD是矩形，OBF=∠OCF=30°，BFO=60°，FOC=60°﹣30°=30°，OF=CF，又Rt△BOF中，BO=BD=AC=，OF=tan30°×BO=1，CF=1，故选A．
考点：1．矩形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．解直角三角形5．（2017四川省达州市）如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（）
A．2017πB．2034πC．3024πD．3026π
【答案】．
考点：1．轨迹；2．矩形的性质；3．旋转的性质；4．规律型；5．综合题6．（2017山东省枣庄市）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数（x0）的图象经过顶点B，则k的值为（）
A．﹣12B．﹣27C．﹣32D．﹣36
【答案】．
【解析】
试题分析：A（﹣3，4），OA==5，四边形OABC是菱形，AO=CB=OC=AB=5，则点B的横坐标为﹣3﹣5=﹣8，故B的坐标为：（﹣8，4），将点B的坐标代入得，4=，解得：k=﹣32．故选C．
考点1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征7．（2017广东省）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：S△ABF=S△ADF；S△CDF=4S△CEF；S△ADF=2S△CEF；S△ADF=2S△CDF，其中正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】．
考点：8．（2017河北省）求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．
求证：ACBD．
以下是排乱的证明过程：
又BO=DO；
AO⊥BD，即ACBD；
四边形ABCD是菱形；
AB=AD．
证明步骤正确的顺序是（）
A．→②→①→④B．→④→①→②
C．→②→④→③D．→④→③→②
【答案】．
【解析】
试题分析：四边形ABCD是菱形，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，BO=DO，AO⊥BD，即ACBD，证明步骤正确的顺序是→④→①→②，故选B．考点：9．（2017河北省）如图是边长为10的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：）不正确的（）
A．．．．1．正方形的性质；2．勾股定理10．（2017浙江省丽水市）如图，在ABCD中，连结AC，ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC的长是（）
B．C．D．
【答案】．
【解析】
试题分析：四边形ABCD是平行四边形，CD=AB=2，BC=AD，D=∠ABC=∠CAD=45°，AC=CD=2，ACD=90°，即ACD是等腰直角三角形，BC=AD==；故选C．
考点：11．（2017浙江省台州市）如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF，将AEH，CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的时，则为（）
A．B．C．D．
【答案】．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．菱形的性质；3．矩形的性质12．（2017重庆市B卷）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，分别以A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（）
B．C．D．
【答案】．
【解析】
试题分析：矩形ABCD，AD=CB=2，S阴影=S矩形﹣S半圆=24﹣π22=8﹣2π，故选C．
考点：1．扇形面积的计算；2．矩形的性质13．（2017四川省南充市）如图，在ABCD中，过对角线BD上一点P作EFBC，GHAB，且CG=2BG，SBPG=1，则SAEPH=．
【答案】．
考点：14．（2017四川省南充市）如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：BE=DG；BE⊥DG；，其中正确结论是（填序号）
【答案】．
【解析】
试题分析：设BE，DG交于O，四边形ABCD和EFGC都为正方形，BC=CD，CE=CG，BCD=∠ECG=90°，BCE+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE，即BCE=∠DCG，在BCE和DCG中，，BCE≌△DCG（SAS），BE=DG，1=∠2，1+∠4=∠3+∠1=90°，2+∠3=90°，BOC=90°，BE⊥DG；故正确；
连接BD，EG，如图所示，DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2，EO2OG2=EG2=CG2+CE2=b2，则BG2DE2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+b2，故正确．
故答案为：．
考点：1．旋转的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．正方形的性质15．（2017四川省绵阳市）如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），则点B的坐标是．
【答案】（7，4）．
【解析】
试题分析：四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），BC=OA=6，61=7，点B的坐标是（7，4）；故答案为：（7，4）．
考点：1．平行四边形的性质；2．坐标与图形性质16．（2017四川省达州市）如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作O与AD相切于点P．若AB=6，BC=，则下列结论：F是CD的中点；O的半径是2；AE=CE；．其中正确结论的序号是．
【答案】．
【解析】
试题分析：AF是AB翻折而来，AF=AB=6，AD=BC=，DF==3，F是CD中点；正确；
连接OP，O与AD相切于点P，OP⊥AD，AD⊥DC，OP∥CD，，设OP=OF=x，则，解得：x=2，正确；RT△ADF中，AF=6，DF=3，DAF=30°，AFD=60°，EAF=∠EAB=30°，AE=2EF；
AFE=90°，EFC=90°﹣AFD=30°，EF=2EC，AE=4CE，错误；
连接OG，作OHFG，AFD=60°，OF=OG，OFG为等边；同理OPG为等边；
POG=∠FOG=60°，OH=OG=，S扇形OPG=S扇形OGF，S阴影=（S矩形OPDH﹣S扇形OPG﹣SOGH）（S扇形OGF﹣SOFG）=S矩形OPDH﹣SOFG==．正确；故答案为：．
考点：1．切线的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算；4．翻折变换（折叠问题）；5．综合题17．（2017山东省枣庄市）如图，在ABCD中，AB为O的直径，O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，C=60°，则的长为．
【答案】π．
考点1．切线的性质；2．平行四边形的性质；3．弧长的计算18．（2017山东省枣庄市）在矩形ABCD中，B的角平分线BE与AD交于点E，BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC=．（结果保留根号）
【答案】．
考点1．矩形的性质；2．等腰三角形的判定；3．相似三角形的判定与性质19．（2017广东省）一个n边形的内角和是720°，则n=．
【答案】．
【解析】
试题分析：设所求正n边形边数为n，则（n﹣2）?180°=720°，解得n=6．
考点：20．（2017广东省）如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为．
【答案】．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质；3．综合题21．（2017广西四市）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=2，BD=，将菱形按如图方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为．
【答案】．
【解析】
试题分析：四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=，ABO=∠CBO，ACBD，AO=1，BO=，tan∠ABO==，ABO=30°，AB=2，ABC=60°，由折叠的性质得，EFBO，OE=BE，BEF=∠OEF，BE=BF，EFAC，BEF是等边三角形，BEF=60°，OEF=60°，AEO=60°，AEO是等边三角形，AE=OE，BE=AE，EF是ABC的中位线，EF=AC=1，AE=OE=1，同理CF=OF=1，五边形AEFCD的周长为=11+1+2+2=7．故答案为：7．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．菱形的性质；3．综合题22．（2017江苏省连云港市）如图，在ABCD中，AEBC于点E，AFCD于点F．若EAF=60°，则B=．
【答案】°．
考点：23．（2017浙江省绍兴市）如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为m．
【答案】．
【解析】
试题分析：AB+AG+GE=1500+（AG+GE）=3100，则AG+GE=1600m，小聪走的路程为BA+AD+DE+EF=3000+（DE+EF）．
连接CG，在正方形ABCD中，∠ADG=∠CDG=45°，AD=CD，在△ADG和△CDG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△ADG≌△CDG，∴AG=CG．
GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD=90°，∴四边形GECF是矩形，∴CG=EF．
CDG=45°，∴DE=GE，∴小聪走的路程为BA+AD+DE+EF=3000+（GE+AG）=3000+1600=4600（m）．
故答案为：4600．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质24．（2017重庆市B卷）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EFED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将EFG沿EF翻折，得到EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则EMN的周长是．
【答案】．
【解析】
试题分析：如图1，过E作PQDC，交DC于P，交AB于Q，连接BE，DC∥AB，PQ⊥AB，四边形ABCD是正方形，ACD=45°，PEC是等腰直角三角形，PE=PC，设PC=x，则PE=x，PD=4﹣x，EQ=4﹣x，PD=EQ，DPE=∠EQF=90°，PED=∠EFQ，DPE≌△EQF，DE=EF，易证明DEC≌△BEC，DE=BE，EF=BE，EQ⊥FB，FQ=BQ=BF，AB=4，F是AB的中点，BF=2，FQ=BQ=PE=1，CE=，RtDAF中，DF==，DE=EF，DEEF，DEF是等腰直角三角形，DE=EF==，PD==3，如图2，DC∥AB，DGC∽△FGA，==2，CG=2AG，DG=2FG，FG==，AC==，CG==，EG==，连接GM、GN，交EF于H，GFE=45°，GHF是等腰直角三角形，GH=FH==，EH=EF﹣FH=﹣=，NDE=∠AEF，tan∠NDE=tan∠AEF=，=，EN=，NH=EH﹣EN=﹣=，RtGNH中，GN===，由折叠得：MN=GN，EM=EG，EMN的周长=ENMN+EM=++=；
故答案为：．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．正方形的性质；3．综合题25．（2017四川省南充市）如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF=AB．
（1）求证：EFAG；
（2）若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EFAG是否成立（只写结果，不需说明理由）？
（3）正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当，求PAB周长的最小值．
【答案】．
【解析】
（2）证明AEF∽△BAG，得出AEF=∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理即可得出结论；
（3）过O作MNAB，交AD于M，BC于N，则MNAD，MN=AB=4，由三角形面积关系得出点P在线段MN上，当P为MN的中点时，PAB的周长最小，此时PA=PB，PM=MN=2，连接EG，则EGAB，EG=AB=4，证明AOF∽△GOE，得出=，证出=，得出AM=AE=，由勾股定理求出PA，即可得出答案．
试题解析：（1）证明：四边形ABCD是正方形，AD=AB，EAF=∠ABG=90°，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF=AB，=，=，，AEF∽△BAG，AEF=∠BAG，BAG+∠EAO=90°，AEF+∠EAO=90°，AOE=90°，EF⊥AG；（2）解：成立；理由如下：
根据题意得：=，=，=，又EAF=∠ABG，AEF∽△BAG，AEF=∠BAG，BAG+∠EAO=90°，AEF+∠EAO=90°，AOE=90°，EF⊥AG；
（3）解：过O作MNAB，交AD于M，BC于N，如图所示：
则MNAD，MN=AB=4，P是正方形ABCD内一点，当SPAB=S△OAB，点P在线段MN上，当P为MN的中点时，PAB的周长最小，此时PA=PB，PM=MN=2，连接EG、PA、PB，则EGAB，EG=AB=4，AOF∽△GOE，=，MN∥AB，=，AM=AE=×2=，由勾股定理得：PA==，PAB周长的最小值=2PAAB=．
考点：1．四边形综合题；2．探究型；3．动点型；4．最值问题26．（2017四川省广安市）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是了AB、AD上的一点，且BFCE，垂足为G，求证：AF=BE．
【答案】．
考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质27．（2017四川省眉山市）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BFDE，垂足为F，BF分别交AC于H，交BC于G．
（1）求证：BG=DE；
（2）若点G为CD的中点，求的值．
【答案】．
【解析】
试题分析：（1）由于BFDE，所以GFD=90°，从而可知CBG=∠CDE，根据全等三角形的判定即可证明BCG≌△DCE，从而可知BG=DE；
（2）设CG=1，从而知CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，由易证ABH∽△CGH，所以，从而可求出HG的长度，进而求出的值．
试题解析：（1）BF⊥DE，GFD=90°，BCG=90°，BGC=∠DGF，CBG=∠CDE，在BCG与DCE中，BCG≌△DCE（ASA），BG=DE；
（2）设CG=1，G为CD的中点，GD=CG=1，由（1）可知：BCG≌△DCE（ASA），CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，sin∠CDE=，GF=，AB∥CG，ABH∽△CGH，，BH=，GH=，=．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．正方形的性质28．（2017四川省绵阳市）如图，已知ABC中，C=90°，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动，到达点B停止运动，在点M的运动过程中，过点M作直线MN交AC于点N，且保持NMC=45°，再过点N作AC的垂线交AB于点F，连接MF，将MNF关于直线NF对称后得到ENF，已知AC=8cm，BC=4cm，设点M运动时间为t（s），ENF与ANF重叠部分的面积为y（cm2）．
（1）在点M的运动过程中，能否使得四边形MNEF为正方形？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
（2）求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围；
（3）当y取最大值时，求sinNEF的值．
【答案】；（2）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）由已知得出CN=CM=t，FNBC，得出AN=8﹣t，由平行线证出ANF∽△ACB，得出对应边成比例求出NF=AN=（8﹣t），由对称的性质得出ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，由正方形的性质得出OE=ON=FN，得出方程，解方程即可；
（3）当点E在AB边上时，y取最大值，连接EM，则EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，得出方程，解方程求出CN=CM=2，AN=6，得出BM=2，NF=AN=3，因此EM=2BM=4，作FDNE于D，由勾股定理求出EB==，求出EF==，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出DF=HF=，在RtDEF中，由三角函数定义即可求出sinNEF的值．
试题解析：（1）能使得四边形MNEF为正方形；理由如下：
连接ME交NF于O，如图1所示：
C=90°，NMC=45°，NFAC，CN=CM=t，FNBC，AN=8﹣t，ANF∽△ACB，=2，NF=AN=（8﹣t），由对称的性质得：ENF=∠MNF=∠NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，四边形MNEF是正方形，OE=ON=FN，t=×（8﹣t），解得：t=；
即在点M的运动过程中，能使得四边形MNEF为正方形，t的值为；
（2）分两种情况：
当0t≤2时，y=（8﹣t）t=，即（0t≤2）；
当2t≤4时，如图2所示：作GHNF于H，由（1）得：NF=（8﹣t），GH=NH，GH=2FH，GH=NF=（8﹣t），y=NF′GH=×（8﹣t）（8﹣t）=，即（2t≤4）；．
考点：1．四边形综合题；2．最值问题；3．动点型；4．存在型；5．分类讨论；6．压轴题29．（2017四川省达州市）如图，在ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EFBC分别交ACB、外角ACD的平分线于点E、F．
（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；
（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【答案】当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
【解析】
试题分析：（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出OEC=∠OCE，OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；
（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
连接AE、AF，如图所示：
当O为AC的中点时，AO=CO，EO=FO，四边形AECF是平行四边形，ECF=90°，平行四边形AECF是矩形．
考点：1．矩形的判定；2．平行线的性质；3．等腰三角形的判定与性质；4．探究型；5．动点型30．（2017山东省枣庄市）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC．
（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；
（2）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断ACE的形状，并说明理由；
（3）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分AEC时，设AB=a，BP=b，求a：b及AEC的度数．【答案】ACE是直角三角形：1．
【解析】
试题分析：（1）由正方形的性质证明APE≌△CFE，可得结论；
（2）分别证明PAE=45°和BAC=45°，则CAE=90°，即ACE是直角三角形；
（2）ACE是直角三角形，理由是：
如图2，P为AB的中点，PA=PB，PB=PE，PA=PE，PAE=45°，又BAC=45°，CAE=90°，即ACE是直角三角形；
（3）设CE交AB于G，EP平分AEC，EPAG，AP=PG=a﹣b，BG=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a，PE∥CF，，即，解得：a=b，a：b=：1，作GHAC于H，CAB=45°，HG=AG=（2b﹣2b）=（2﹣）b，又BG=2b﹣a=（2﹣）b，GH=GB，GHAC，GBBC，HCG=∠BCG，PE∥CF，PEG=∠BCG，AEC=∠ACB=45°．
考点1．四边形综合题；2．探究型；3．变式探究31．（2017山东省济宁市）实验探究：
（1）如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN．请你观察图1，猜想MBN的度数是多少，并证明你的结论．
（2）将图1中的三角形纸片BMN剪下，如图2，折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系，写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．
【答案】MBN=30°；（2）MN=BM．
【解析】
试题分析：（1）猜想：MBN=30°．只要证明ABN是等边三角形即可；
（2）结论：MN=BM．
折纸方案：如图2中，折叠BMN，使得点N落在BM上O处，折痕为MP，连接OP．
理由：由折叠可知MOP≌△MNP，MN=OM，OMP=∠NMP=∠OMN=30°=∠B，MOP=∠MNP=90°，BOP=∠MOP=90°，OP=OP，MOP≌△BOP，MO=BO=BM，MN=BM．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质；3．剪纸问题32．（2017广东省）如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，BAD=∠FAD，BAD为锐角．
（1）求证：ADBF；
（2）若BF=BC，求ADC的度数．
【答案】150°．
【解析】
试题分析：（1）连结DB、DF．根据菱形四边相等得出AB=AD=FA，再利用SAS证明BAD≌△FAD，得出DB=DF，那么D在线段BF的垂直平分线上，又AB=AF，即A在线段BF的垂直平分线上，进而证明ADBF；
（2）如图，设ADBF于H，作DGBC于G，则四边形BGDH是矩形，DG=BH=BF．BF=BC，BC=CD，DG=CD．在直角CDG中，CGD=90°，DG=CD，C=30°，BC∥AD，ADC=180°﹣C=150°．
考点：33．（2017广西四市）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF．
（1）求证：AE=CF；
（2）若AB=6，COD=60°，求矩形ABCD的面积．
【答案】．
【解析】
试题分析：（1）由矩形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，ABC=90°，证出OE=OF，由SAS证明AOE≌△COF，即可得出AE=CF；
（2）证出AOB是等边三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在RtABC中，由勾股定理求出BC，即可得出矩形ABCD的面积．
试题解析：（1）证明：四边形ABCD是矩形，OA=OC，OB=OD，AC=BD，ABC=90°，BE=DF，OE=OF，在AOE和COF中，，AOE≌△COF（SAS），AE=CF；
（2）解：OA=OC，OB=OD，AC=BD，OA=OB，AOB=∠COD=60°，AOB是等边三角形，OA=AB=6，AC=2OA=12，在RtABC中，BC==，矩形ABCD的面积=AB?BC=6=．
考点：1．矩形的性质；2．全等三角形的判定与性质34．（2017江苏省盐城市）如图，矩形ABCD中，ABD、CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．
【答案】ABE=30°．
【解析】
试题分析：（1）由矩形可得ABD=∠CDB，结合BE平分ABD、DF平分BDC得EBD=∠FDB，即可知BEDF，根据ADBC即可得证；
（2）当ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，BE平分ABD，ABD=2∠ABE=60°，EBD=∠ABE=30°，四边形ABCD是矩形，A=90°，EDB=90°﹣ABD=30°，EDB=∠EBD=30°，EB=ED，又四边形BEDF是平行四边形，四边形BEDF是菱形．
考点：1．矩形的性质；2．平行四边形的判定与性质；3．菱形的判定；4．探究型35．（2017江苏省盐城市）（探索发现】
如图，是一张直角三角形纸片，B=60°，小明想从中剪出一个以B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为．
【拓展应用】
如图，在ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）
【灵活应用】
如图，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
【实际应用】
如图，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．
【答案】探索发现】【拓展应用】【灵活应用】【实际应用】1944．
【拓展应用】：由APN∽△ABC知，可得PN=a﹣PQ，设PQ=x，由S矩形PQMN=PQ?PN，据此可得；
【灵活应用】：添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE=EH20、CD=DH=16，分别证AEF≌△HED、CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现】结论解答即可；
【实际应用】：延长BA、CD交于点E，过点E作EHBC于点H，由tanB=tanC知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，继而求得BE=CE=90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用】结论解答可得．
试题解析：【探索发现】
EF、ED为ABC中位线，ED∥AB，EFBC，EF=BC，ED=AB，又B=90°，四边形FEDB是矩形，则===，故答案为：；
【拓展应用】
PN∥BC，APN∽△ABC，，即，PN=a﹣PQ，设PQ=x，则S矩形PQMN=PQ?PN=x（a﹣x）==，当PQ=时，S矩形PQMN最大值为，故答案为：；
【灵活应用】
如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，
由题意知四边形ABCH是矩形，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，EH=20、DH=16，AE=EH、CD=DH，在AEF和HED中，，AEF≌△HED（ASA），AF=DH=16，同理CDG≌△HDE，CG=HE=20，BI=（AB+AF）=24，BI=24＜32，中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KLBC于点L，由【探索发现】知矩形的最大面积为BG?BF=×（4020）（3216）=720，答：该矩形的面积为720；
【实际应用】
如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EHBC于点H，tanB=tanC=，B=∠C，EB=EC，BC=108cm，且EHBC，BH=CH=BC=54cm，tanB==，EH=BH=×54=72cm，在RtBHE中，BE==90cm，AB=50cm，AE=40cm，BE的中点Q在线段AB上，CD=60cm，ED=30cm，CE的中点P在线段CD上，中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BC?EH=1944cm2．
答：该矩形的面积为1944cm2．
考点：1．四边形综合题；2．阅读型；3．探究型；4．最值问题；5．压轴题36．（2017江苏省连云港市）问题呈现：
如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE=DG，求证：．（S表示面积）
实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AHBF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1，得到矩形A1B1C1D1．
如图2，当AHBF时，若将点G向点C靠近（DGAE），经过探索，发现：2S四边形EFGH=S矩形ABCDS．
如图3，当AHBF时，若将点G向点D靠近（DGAE），请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与S之间的数量关系，并说明理由．
迁移应用：
请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：
（1）如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AHBF，AEDG，S四边形EFGH=11，HF=，求EG的长．
（2）如图5，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E、H分别在边AB、AD上，BE=1，DH=2，点F、G分别是边BC、CD上的动点，且FG=，连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．
【答案】；实验探究：；迁移应用：（1）EG=；（2）．
（2）分两种情形探究即可解决问题．
试题解析：问题呈现：证明：如图1中，四边形ABCD是矩形，AB∥CD，A=90°，AE=DG，四边形AEGD是矩形，S△HGE=S矩形AEGD，同理SEGF=S矩形BEGC，S四边形EFGH=SHGE+S△EFG=S矩形BEGC．
实验探究：结论：2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣．
理由：=，=，=，=，S四边形EFGH=++﹣，2S四边形EFGH=22+2+2﹣2，2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣．
迁移应用：解：（1）如图4中，2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣，=25﹣211=3=A1B1A1D1，正方形的面积为25，边长为5，A1D12=HF2﹣52=29﹣25=4，A1D1=2，A1B1=，EG2=A1B12+52=，EG=．
（2）2S四边形EFGH=S矩形ABCD，四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大．
如图5﹣1中，当G与C重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大．
此时矩形A1B1C1D1面积=1（﹣2）=
如图5﹣2中，当G与D重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大．
此时矩形A1B1C1D1面积=21=2，2＞，矩形EFGH的面积最大值=．
考点：1．四边形综合题；2．最值问题；3．阅读型；4．探究型；5．压轴题37．（2017浙江省丽水市）如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连接AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设．
（1）求证：AE=GE；
（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示的值；
（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）=；（3）n=16或．
【解析】
试题分析：（1）因为GF⊥AF，由对称易得AE=EF，则由直角三角形的两个锐角的和为90度，且等边对等角，即可证明E是AG的中点；（2）可设AE=a，则AD=na，即需要用n或a表示出AB，由BE⊥AF和∠BAE==∠D=90°，可证明△ABE~△DAC，，因为AB=DC，且DA，AE已知表示出来了，所以可求出AB，即可解答；（3）求以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形时的n，需要分类讨论，一般分三个，∠FCG=90°，∠CFG=90°，∠CGF=90°；根据点F在矩形ABCD的内部就可排除∠FCG=90°，所以就以∠CFG=90°和∠CGF=90°进行分析解答．
试题解析：（1）证明：由对称得AE=FE，∴∠EAF=∠EFA，∵GF⊥AE，∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°，∴∠FGA=∠EFG，∴EG=EF，∴AE=EG．
2）解：设AE=a，则AD=na，当点F落在AC上时（如图1），由对称得BE⊥AF，∴∠ABE+∠BAC=90°，∵∠DAC+∠BAC=90°，∴∠ABE=∠DAC，又∵∠BAE=∠D=90°，∴△ABE~△DAC，∴
AB=DC，∴AB2=AD·AE=na·a=na2，AB>0，∴AB=，∴=，∴=．
考点：1．矩形的性质；2．解直角三角形的应用；3．相似三角形的判定与性质；4．分类讨论；5．压轴题38．（2017浙江省绍兴市）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，ABC=90°．
①若AB=CD=1，ABCD，求对角线BD的长．
若ACBD，求证：AD=CD（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．
【答案】；②证明见解析；（2）5或6.5．
【解析】
试题分析：（1）只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；
只要证明ABD≌△CBD，即可解决问题；
（2）如图1中，连接AC、BD．
AB=BC，ACBD，ABD=∠CBD，BD=BD，ABD≌△CBD，AD=CD．
（2）若EFBC，则AEEF，BFEF，四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．
若EF与BC不垂直，当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，AE=AB=5．
当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，BF=AB=5，DE∥BF，BF=PB=1：2，DE=2.5，AE=9﹣2.5=6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．
考点：1．四边形综合题；2．分类讨论；3．新定义；4．压轴题39．（2017浙江省绍兴市）如图，已知点（1求）落在上，求（3）如图作y轴的平行线PM，过将求
【答案】，3）或（-，4）或（，4）．
【解析】
试题分析：1）点P在BC上，要使PD=CD，只有P与C重合；
（3）在不同边上，根据图象，点M翻折后，点M’落在x轴还是y轴，可运用相似求解．
试题解析：，设P（a，-2a-2），且-3≤a≤1．
若点P关于x轴对称点Q1（a，2a+2）在直线y=x-1上，∴2a+2=a-1，解得a=-3，此时P（-3，4）．
若点P关于y轴对称点Q2（-a，-2a-2）在直线y=x-1上，∴-2a-2=-a-1，解得a=-1，此时P（-1，0）．
②当点P在边AB上时，设P（a，-4），且1≤a≤7．
若点P关于x轴对称点Q3（a，4）在直线y=x-1上，∴4=a-1，解得a=5，此时P（5，-4）．
若点P关于y轴对称点Q4（-a，-4）在直线y=x-1上，∴-4=-a-1，解得a=3，此时P（3，-4）．
综上所述，点P的坐标为（-3，4）或（-1，0）或（5，-4）或（3，-4）．
（3）因为直线AD为y=-2x-2，所以G（0，-2P在CD边上时，可设P（m，4），-3≤m≤3，M′P=PM=4+2=6，MG=GM=|m|，易证得△OGM′∽△HM′P，则，，则OM′=，在Rt△OGM′中，由勾股定理得，，解得m=-或，则P（-，4）或（，4）；
②如下图，当点P在AD边上时，设P（m，-2m-2，PM′=PM=|-2m|，GM′=MG=|m|，OGM′∽△HM′P，则，，则OM′=，在Rt△OGM′中，由勾股定理得，，整理得m=-，P（-，3）；
如下图，当点P在AB边上时，设P（m，-4），此时M′在y轴上，则四边形PM′GM是正方形，所以GM=PM=4-2=2，则P（2，-4）．
综上所述，点P的坐标为（2，-4）或（-，3）或（-，4）或（，4）．
考点：1．一次函数综合题；2．平行四边形的性质；3．翻折变换（折叠问题）；4．动点型；5．分类讨论；6．压轴题40．（2017湖北省襄阳市）如图，AEBF，AC平分BAE，且交BF于点C，BD平分ABF，且交AE于点D，连接CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若ADB=30°，BD=6，求AD的长．
【答案】．
【解析】
试题分析：（1）由平行线的性质和角平分线定义得出ABD=∠ADB，证出AB=AD，同理：AB=BC，得出AD=BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；
（2）解：四边形ABCD是菱形，BD=6，AC⊥BD，OD=OB=BD=3，ADB=30°，cos∠ADB=，AD==．
考点：
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