专题03方程（组）和不等式（组）
一、选择题
1.（2017贵州遵义第7题）不等式6﹣4x≥3x﹣8的非负整数解为（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B.
考点：一元一次不等式的整数解．
关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（）
A．m≤ B．m< C．m≤ D．m<
【答案】B.
【解析】
试题分析：根据题意得△=32﹣4m＞0，
解得m＜．
故选B．
考点：根的判别式．
已知实数a，b满足a1＞b+1，则下列选项错误的为（）
A．ab B．a2＞b+2 C．﹣a﹣b D．2a3b
【答案】D.
【解析】
试题分析：由不等式的性质得ab，a2＞b+2，﹣a﹣b．
故选D．
不等式的性质．
的一元二次方程有实数根，则的取值范围在数轴上表示正确的是（）
A． B． C． D．根的判别式；2在数轴上表示不等式的解集为常数，点在第二象限，则关于的方程根的情况是（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C.没有实数根D．无法判断
【答案】B．
试题分析：已知点P（a，c）在第二象限，可得a＜0，c＞0，所以ac＜0，即可判定△=b2﹣4ac＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选B．
考点：根的判别式；点的坐标．
6.（2017湖南常德第3题）一元二次方程的根的情况为（）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．两个相等的实数根D．两个不相等的实数根
【答案】．
【解析】
试题分析：=（﹣4）2﹣43×1=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选D．
考点：一元一次不等式组的整数解．
（2017哈尔滨第题）的解为()
A. B. C. D.
【答案】C2（x﹣1）=x3，2x﹣2=x3，x=5，
检验：当x=5时（x3）（x﹣1）0，所以故选C解分式方程．
【答案】A设买篮球m个，则买足球（50﹣m）个，根据题意得：
80m50（50﹣m）3000，解得：m16，
m为整数，m最大取16，最多可以买16个篮球．
故选A．一元一次不等式的应用．
的方程有实数根，则实数的取值范围是（）
A．B．或C．D．
【答案】C=0，解得x=；
当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k?（﹣）≥0，解得k≥﹣1，所以k的范围为k≥﹣1．
故选C．
考点：根的判别式．
的解集是（）
A．B．C．D．
【答案】B
考点：解一元一次不等式组．的解集在数上表示正确的是
A． B． C． D．，
解不等式得，x3
解不等式得，x﹣2
在数轴上表示为：
故选D．
考点：在数轴上表示不等式组的解集的解是B．C.D．
【答案】B
考点：分式方程的解法的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（）
A． B． C． D．或
【答案】B
【解析】
试题分析：设方程的两根为x1，x2，根据题意得x1x2=0，所以a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，
当a=2时，方程化为x21=0，=﹣40，故a=2舍去，所以a的值为0．
故选B．
根与系数的关系．
的解集在数轴上表示B．
C.D．
【答案】B
考点：1.解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
小时，根据题意可列出方程为B．C.D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意可得，，故选B．分式方程．
（2017上海第题）下列方程中，没有实数根的是（）
A．x2﹣2x=0 B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x1=0 D．x2﹣2x2=0
【答案】D
【解析】
试题分析：A、=（﹣2）2﹣41×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；
B、=（﹣2）2﹣41×（﹣1）=80，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；
C、=（﹣2）2﹣41×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；
D、=（﹣2）2﹣41×2=﹣40，方程没有实数根，所以D选项正确．
故选D．根的判别式的一元二次方程的两个相等的实数根，则的值是（）
A．B．C.D．
【答案】A.
考点：一元二次方程根的判别式不等式解集在数轴上表示正确的是()
，故选．解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．三角形的两边夹角为满足方程则第三边长的长是()
A. B. C. D.可a=，如图所示，在Rt△ACD中，CD=×cos60°=，BD=2-=，AD=×sin60°=，所以,故选A.
考点：一元二次方程；勾股定理.
21.（2017新疆乌鲁木齐第7题）2017年，在创建，乌鲁木齐市美城市，计划万棵，由于志愿者加入实际每天植比原计划，结果提前完成任务，设原计划每天万棵方程是B．
C.D．
【答案】A.
考点：由实际问题抽象出分式方程．
二、填空题
1.（2017湖南株洲第13题）分式方程的解为．
x=﹣．
试题分析：去分母，得4x8﹣x=0，
移项、合并同类项，得3x=﹣8，
方程两边同时除以3，得x=﹣．
经检验，x=﹣是原方程的解．
故答案为：x=﹣．
解分式方程．
已知“x的3倍大于5，且x的一半与1的差不大于2”，则x的取值范围是．
＜x≤6．
试题分析：依题意有，解得x≤6．
故x的取值范围是x≤6．
故答案为：x≤6．
解一元一次不等式．
的整数解是．
【答案】0，1，2一元一次不等式组的整数解（2017湖南常德第1题）分式方程的解为．
【答案】x=2．
【解析】
试题分析：，方程两边都乘以x得：2x=4，解得：x=2，检验：当x=2时，x0，即x=2是原方程的解，故答案为：x=2．
考点：（2017哈尔滨第1题）等式组解集是
【答案】2x＜3．，
由得：x2，
由得：x3，
则不等式组的解集为2x＜3．解一元一次不等式组．
是方程组的解，则或；
②函数通过配方可化为；
③最小角等于的三角形是锐角三角形．
其中正确命题的序号为．
【答案】②③
考点：命题与定理．
是一元二次方程的两个根，则的值是
【解析】
试题分析：∵x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5=0的两个根，
∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣5，
∴x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=﹣5×（﹣3）=15.
考点：根与系数的关系．
8.（2017上海第题）不等式组的解集是．
9．（2017上海第题）方程=1的解是．
x=2
【解析】
试题分析：=1，两边平方得，2x﹣3=1，
解得，x=2；
经检验，x=2是方程的根；
故答案为x=2．（2017湖南张家界第题）不等式组的解集是．
【答案】x1．
【解析】
试题分析：不等式组的解集是：x1．故答案为：x1．
考点：已知一元二次方程的两根是m，n，则=．
【答案】．
【解析】
试题分析：m，n是一元二次方程的两个根，m+n=3，mn=﹣4，则==98=17．故答案为：17．
考点：的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为．
【答案】c＜1.
考点：根的判别式张，乙种票买了张，依据题意，可列方程组为.
【答案】.
【解析】
试题分析：设甲种票买了x张，乙种票买了y张，根据“36名学生购票恰好用去860元”作为相等关系列方程组．
设甲种票买了x张，乙种票买了y张，根据题意，得：
，故答案为．由实际问题抽象出二元一次方程组不等式2x1＞0的解集是．
.
考点：一元一次不等式的解法的解为 .
﹣2．两边都乘以x﹣，得：2﹣=x2﹣，解得：x=﹣2，x=1
检验：当x=﹣2时，x﹣3=﹣5≠0，当x=时，x﹣0，故方程的解为x=﹣2分式方程衣服售价为，六折销售，仍获利衣服的进价是元为厉行节能减排，倡导绿色出行，今年3月以来．“共享单车”（俗称“小黄车”）公益活动登陆我市中心城区，某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”，这批自行车包括A、B两种不同款型，请回答下列问题：
问题1：单价
该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A、B两型自行车各50辆，投放成本共计7500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A、B两型自行车的单价各是多少？
问题2：投放方式
该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放a辆“小黄车”，乙街区每1000人投放辆“小黄车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，如果两个街区共有15万人，试求a的值．
【答案】问题1：A、B两型自行车的单价分别是70元和80元；问题2：a的值为15．
考点：分式方程的应用；二元一次方程组的应用．
；⑵解方程：.
【答案】（1）1﹣3；（2）x=﹣1．
试题分析：（1）根据实数的运算法则，零指数幂的性质计算即可；（2）根据分式方程的解法即可得到结论．
试题解析：
（1）原式=﹣4+1=1﹣3；
（2）方程两边通乘以2x（x﹣3）得，x﹣3=4x，
解得：x=﹣1，
检验：当x=﹣1时，2x（x﹣3）≠0，
∴原方程的根是x=﹣1．
考点：实数的运算；解分式方程.
3.（2017湖南常德第18题）求不等式组的整数解．
【答案】0，1，2．
考点：（1）九年级师生表演的歌唱类节目有12个，舞蹈类节目有8个；（2）参与的小品类节目最多能有3个．（1）设九年级师生表演的歌唱类节目有x个，舞蹈类节目有y个，根据“两类节目的总数为20个、唱歌类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个”列方程组求解可得；
（2）设参与的小品类节目有a个，根据“三类节目的总时间交接用时150”列不等式求解可得．（1）设九年级师生表演的歌唱类节目有x个，舞蹈类节目有y个，
一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
（2017哈尔滨第题）丽商场销售种商品，售出商品和商品所得利润为；售出商品和商品所得利润为.
(1)求每件商品和每件商品售出后所得利润分别为多少元？
(2)由于需求量大，种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进商品共，如果将这商品全部售完后所得利润不低于，那么丽商场至少需购进多少件商品？
【答案】（1）A种商品售出后所得利润为200元，B种商品售出后所得利润为100元．
（2）威丽商场至少需购进6件A种商品．（1）设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元．由售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以；
（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件．根据获得的利润不低于4000元，建立不等式求出其解即可．（1）设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元．由题意，得，解得：，
答：A种商品售出后所得利润为200元，B种商品售出后所得利润为100元．
（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件．由题意，得
200a100（34﹣a）4000，
解得：a6
答：威丽商场至少需购进6件A种商品．一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．的一元二次方程．
（1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求的值．
【答案】（1）当m﹣时，方程有两个不相等的实数根；（2）m的值为﹣4．根的判别式；根与系数的关系；菱形的性质．（1）甲每天修路1.5千米，则乙每天修路1千米；（2）甲工程队至少修路8天．分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
关于一元二次方程两个实数根.的取值范围；
（2）若满足，求m≤5；（）（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出=20﹣4m0，解之即可得出结论；
（2）由根与系数的关系可得x1x2=6①、x1x2=m4②，分x20和x20可找出3x1=x22③或3x1=﹣x22④，联立或求出x1、x2的值，进而可求出m的值．
：（1）关于x的一元二次方程x2﹣6xm+4=0有两个实数根x1，x2，
=（﹣6）2﹣4（m4）=20﹣4m0，
解得：m5，
m的取值范围为m5．
（2）关于x的一元二次方程x2﹣6xm+4=0有两个实数根x1，x2，
x1+x2=6①，x1x2=m4②．
3x1=|x2|+2，
当x20时，有3x1=x22③，
联立解得：x1=2，x2=4，
8=m+4，m=4；
当x20时，有3x1=﹣x22④，
联立解得：x1=﹣2，x2=8（不合题意，舍去）．
符合条件的m的值为4．
考点：根与系数的关系；根的判别式，两种商品．已知在打折前，买60件商品和30件商品用了1080元，买50件商品和10件商品用了840元；，两种商品打相同折以后，某人买500件商品和450件商品一共比不打折少花1960元，计算打了多少折？
【答案】打了八折．二元一次方程组的应用．
的不等式．
（1）当时，求该不等式的解集；
（2）取何值时，该不等式有解，并求出解集．
【答案】（1）x2；（2）当m﹣1时，不等式有解，当m﹣1时，不等式解集为x2；当x﹣1时，不等式的解集为x2．不等式的解集．
（2017上海第题）解方程：．
某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后了出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如下表：
假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件？
【答案】黑色文化衫60件，白色文化衫80件．
考点：.
【答案】2＜x＜4.
【解析】
试题分析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解析：解不等式2x﹣31，得：x2，
解不等式，得：x4，
不等式组的解集为2x＜4.
考点：解一元一次不等式组
考点：分式方程的应用在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙两种车辆参加运土，已知5辆甲种车和2辆乙种车一次共可运土64立方米，3辆甲种车和1辆乙种车一次共可运土36立方米，求甲、乙两种车每辆一次分别可运土多少立方米．
甲种车辆一次运土8立方米，乙车辆一次运土12立方米．
设甲种车辆一次运土x立方米，乙车辆一次运土y立方米，根据题意所述的两个等量关系得出方程组，解出即可得出答案．
：设甲种车辆一次运土x立方米，乙车辆一次运土y立方米，
由题意得，，
解得：．
答：甲种车辆一次运土8立方米，乙车辆一次运土12立方米．二元一次方程组的应用.
【答案】0.5＜x＜2.
考点：解一元一次不等式组元，用元购得的排球数量与用元购得的足球数量相等.
⑴排球和足球的单价各是多少元？
⑵若恰好用去元，有哪几种购买方案？
【答案】(1)排球单价是50元，则足球单价是80元2)有两种方案：购买排球5个，购买足球16个
②购买排球10个，购买足球8个
【解析】
试题分析：（1）设排球单价是x元，则足球单价是（x30）元，根据题意可得等量关系：500元购得的排球数量=800元购得的足球数量，由等量关系可得方程，再求解即可；
（2）设恰好用完1200元，可购买排球m个和购买足球n个，根据题意可得排球的单价排球的个数m足球的单价足球的个数n=1200，再求出整数解．
解析：设排球单价为x元，则足球单价为（x30）元，由题意得：
，
解得：x=50，
经检验：x=50是原分式方程的解，
则x30=80．
答：排球单价是50元，则足球单价是80元；
（2）设设恰好用完1200元，可购买排球m个和购买足球n个，
由题意得：50m80n=1200，整理得：m=24﹣n，
m、n都是正整数，n=5时，m=16，n=10时，m=8；
有两种方案：
购买排球5个，购买足球16个；
购买排球10个，购买足球8个．分式方程的应用；二元一次方程的应用甲乙两个施工队在六安(六盘水——安顺)城际高铁施工中，每天甲队比乙队多铺设钢轨，甲队铺设的距离刚好等于乙队铺设的距离，若设甲队每天铺设，乙队每天铺设.
(1)依题意列出二元一次方程(2)求出甲乙两施工队每天各铺设多少米？每天甲队比乙队多铺设钢轨甲队铺设的距离刚好等于乙队铺设的距离．
(2)
解得，
答：甲施工队每天各铺设600米，乙施工队每天各铺设米二元一次方程．不等式组：.1＜x＜4．所以，不等式组的解集为1x＜4．
古代《算经》有兔同笼”：有兔同笼上有三十五头下有十，问鸡兔各几何”意思是：和兔关在一个笼子里看有头从下面条腿，鸡或兔各有多少只？ 笼中鸡有23只，兔有12只．二元一次方程组的应用．
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