专题06函数的图象与性质
一、选择题
1.（2017贵州遵义第11题）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴l如图所示，则下列结论：abc＞0；a﹣b+c=0；2a+c＜0；a+b＜0，其中所有正确的结论是（）
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】D.
∴6a+3c＜0，∴2a+c＜0，故③正确；
④∵a﹣b+c=0，∴c=b﹣a．
由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，
∴4a+2b+b﹣a＜0，
∴3a+3b＜0，∴a+b＜0，故④正确．
故选D．
考点：二次函数图象与系数的关系．
在直线上方，且，于，若线段，，，则与的函数关系图象大致是（）
A． B．C．D．AB=6，AC=x，
BC=6﹣x，
PC2=x（6﹣x），
PC=，
y=AB?PC=3=3，
故选D．动点问题的函数图象的图象过点，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】C.
【解析】
试题分析：直接把点（1，﹣2）代入反比例函数可得k=-2,故选C.
考点：反比例函数图象上点的坐标特点.
4.（2017湖南常德第7题）将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（）
【答案】．
考点：
5.（2017广西百色第11题）以坐标原点为圆心，作半径为2的圆，若直线与相交，则的取值范围是（）
A．B．C.D．
【答案】D
考点：1.直线与圆的位置关系；一次函数图象与系数的关系．
（2017哈尔滨第题）抛物线顶点坐标是()
A. B. C. D.
【答案】B，﹣3）．
故选B．
考点：二次函数的性质．
（2017哈尔滨第1题）周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离(单位：)与他所用的时间(单位：)之间的关系如图所示，下列说法中正确的是()
A.小涛家离报亭的距离是m
B.小涛从家去报亭的平均速度是
C.小涛从报亭返回家中的平均速度是
D.小涛在报亭看报用了min
【答案】函数的图象．
是腰长的函数，则下列函数中，能正确反映与之间函数关系的图象是（）
A． B． C． D．【答案】D由题意得，2xy=10，所以，y=﹣2x10，
由三角形的三边关系得，，不等式组的解集是2.5x＜5，
正确反映y与x之间函数关系的图象是D选项图象．
故选D．一次函数的图象；三角形三边关系；等腰三角形的性质．（）的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④（为实数）；⑤点，，是该抛物线上的点，则，正确的个数有（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
与直线的交点不可能在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】
试题分析：直线y=4x1过一、二、三象限；
当b0时，直线y=﹣xb过一、二、四象限，
两直线交点可能在一或二象限；
当b0时，直线y=﹣xb过二、三、四象限，
两直线交点可能在二或三象限；
综上所述，直线y=4x1与直线y=﹣xb的交点不可能在第四象限，
故选D．
两条直线相交或平行问题．，在，点的内心，连接作分别交于点的周长的周长，则表示的函数
A． B． C． D．
ABC的周长为8，BC=x，AB+AC=8﹣x，y=8﹣x，AB+AC＞BC，y＞x，8﹣xx，0＜x＜4，
即y与x的函数关系式为y=8﹣x（x4），
故选B．
考点：动点问题的函数图象；三角形的内心；平行线的性质；等腰三角形的判定；三角形的周长满足，且随的增大而减小，则此函数的图象不经过（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
考点：一次函数图象与系数的关系．
的大致图象是（）
A． B．C．D．
【答案】B
【解析】
试题分析：①∵|x|为分母，x|≠0，即x|＞0，A错误；
x2+1＞0，x|＞0，y=＞0，D错误；
当直线经过（0，0）和（1，）时，直线解析式为y=x，
当y=x=时，x=，y=x与y=有交点，C错误；
当直线经过（0，0）和（1，1）时，直线解析式为y=x，
当y=x=时，x无解，y=x与y=没有有交点，B正确；
故选B．
函数的图象．
（2017上海第题）如果一次函数y=kxb（k、b是常数，k0）的图象经过第一、二、四象限，那么k、b应满足的条件是（）
A．k0，且b0 B．k0，且b0 C．k0，且b0 D．k0，且b0
【答案】B
考点：一次函数的性质和图象在同一平面直角坐标系中，函数y=mxm（m0）与（m0）的图象可能是（）
A．B．
C．D．
【答案】．
【解析】
试题分析：A．由反比例函数图象得m0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以A选项错误；
B．由反比例函数图象得m0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以B选项错误；
C．由反比例函数图象得m0，则一次函数图象经过第二、三、四象限，所以C选项错误；
D．由反比例函数图象得m0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，所以D选项正确．
故选D
考点：如图，ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4）．若反比例函数在第一象限内的图象与ABC有交点，则k的取值范围是（）
A．1k≤4 B．2k≤8 C．2k≤16 D．8k≤16
【答案】C.
考点：反比函数的性质有意义，则（）
A．B．C．D．
【答案】D.
【解析】
试题分析：根据分母不能为零，可得答案．
由题意，得x﹣10，解得x1，故选D．函数自变量的取值范围分式的意义在双曲线上，则的值是（）
A．B．C.D．
【答案】A.
【解析】
试题分析：根据反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k可得答案．
点P（﹣3，1）在双曲线上，k=﹣31=﹣3，故选A．反比例函数图象上点的坐标特征使函数意义的自变量取值范围是()
A. B. C D.
【答案】C．根据≥0，解得x≤3，故选．已知二次函数图象如图所示，则()
A. B. C. D.
二次函数的图象．函数，图象如图所示，则不等式解集
A．B．C．D．
【答案】A．
【解析】
试题解析：函数y=kx+b的图象经过点（2，0），并且函数值y随x的增大而减小，
所以当x＜2时，函数值大于0，即关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2．
故选A．
考点：一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象．
二、填空题
1.（2017贵州遵义第18题）如图，点E，F在函数y=的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A、B，且BE：BF=1：3，则△EOF的面积是．
【答案】.
考点：反比例函数系数k的几何意义．
如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数y1=（x0）的图象上，顶点B在函数y2=（x0）的图象上，ABO=30°，则=．
=﹣
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
如图示二次函数y=ax2bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：0＜a＜2；﹣1b＜0；c=﹣1；当a|=|b|时x2﹣1；以上结论中正确结论的序号为．
．
抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．将图形分成面积相等的两部分，则将直线向右平移3个单位后所得到直线的函数关系式为.
【答案】
设直线方程为y=kx，
则3=k，
，
直线l解析式为y=x，
将直线l向右平移3个单位后所得直线l′的函数关系式为；
故答案为：．
一次函数图象与几何变换与轴分别交于，与反比例函数的图象在第二象限交于点.过点作轴的垂线交该反比例函数图象于点.若，则点的坐标为.
【答案】（﹣3，4﹣2）反比例函数与一次函数的交点问题向左平移一个单位得到点，则点的坐标为．
【答案】（1，3）．
【解析】
试题分析：由点A（2，3）向左平移1个单位长度，可得点A′的横坐标为2﹣1=1，纵坐标不变，即A′的坐标为（1，3）．
考点：坐标的平移.
7.（2017郴州第10题）函数的自变量的取值范围是．
【答案】x≥﹣1．
【解析】
试题分析：由题意得，x+1≥0，解得x≥﹣1．
考点：函数自变量的取值范围.
8.（2017湖北咸宁第12题）如图，直线与抛物线交于两点，则关于的不等式的解集是．
【答案】x＜﹣1或x＞4．
考点：二次函数与不等式（组）．
9.（2017湖南常德第15题）如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE=x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为．
【答案】（0x＜2）．
考点：y=﹣x2x+3.
【解析】
试题分析：根据题意设抛物线解析式为y=a（x2）（x﹣4），
把C（0，3）代入得：﹣8a=3，即a=﹣，
则抛物线解析式为y=﹣（x2）（x﹣4）=﹣x2x+3.
考点：待定系数法求二次函数解析式．
（2017哈尔滨第1题）函数，自变量取值范围是 【答案】x2
【解析】
试题分析：由x﹣20得，x2
考点：函数自变量的取值范围．
（2017哈尔滨第1题）知反函数图象经过点则值为【答案】反比例函数的图象经过点（1，2），
2=3k﹣1，解得k=1．反比例函数图象上点的坐标特征．
中，自变量的取值范围是．
【答案】x﹣4且x0．由x4≥0且x0，得x﹣4且x0；
函数自变量的取值范围．
的一边在轴的负半轴上，是坐标原点，，反比例函数的图像经过点，与交于点，若的面积为20，则的值等于．
【答案】反比例函数y=的图象经过点C，代入点C得：k=﹣24反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；解直角三角形．中，自变量的取值范围是．
【答案】x≤2．
根据题意得：2﹣x0，解得：x2．函数自变量的取值范围．，当时，的取值范围是．
【答案】0＜y＜2.
考点：反比例函数的性质．
，将直线轴向下平移后的直线恰好经过点且轴交于点轴上存在一点的值最小点坐标为
【答案】（，0）如图所示，作点B关于x轴对称的点B''，连接AB''，交x轴于P，则点P即为所求，
设直线y=﹣x沿y轴向下平移后的直线解析式为y=﹣xa，
把A（2，﹣4）代入可得，a=﹣2，
平移后的直线为y=﹣x﹣2，
令x=0，则y=﹣2，即B（0，﹣2）
B''（0，2），
设直线AB''的解析式为y=kxb，
把A（2，﹣4），B''（0，2）代入可得，，解得，
直线AB''的解析式为y=﹣3x2，
令y=0，则x=，P（，0）
考点：1.最短路线问题一次函数图象与几何变换的运用，在平面直角坐标系中，函数图象经过，若点坐标为的值为．
【答案】
在AOE和BAG中，，AOE≌△BAG（AAS），OE=AG，AE=BG，
点A（n，1），AG=OE=n，BG=AE=1，B（n1，1﹣n），k=n×1=（n1）（1﹣n），
整理得：n2n﹣1=0，
解得：n=（负值舍去），n=，k=.
考点：1.全等三角形的判定与性质反比例函数图象上点的坐标特征解方程在双曲线上，过点作轴，垂足为，的垂直平分线交于点，当时，的周长为
【答案】+1．
考点：1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.线段垂直平分线的性质．
20.（2017青海西宁第19题）若点在直线上，当时，，则这条直线的函数解析式为
【解析】
试题分析：∵点A（m，n）在直线y=kx（k≠0）上，﹣1≤m≤1时，﹣1≤n≤1，
∴点（﹣1，﹣1）或（1，1）都在直线上，
∴k=﹣1或1，
∴y=x或y=﹣x，
考点：1.待定系数法求正比例函数解析式；2.一次函数图象上点的坐标特征．
21.（2017上海第1题）如果反比例函数y=（k是常数，k0）的图象经过点（2，3），那么在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而．（填“增大”或“减小”）
（2017上海第1题）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1），那么这个二次函数的解析式可以是．
该抛武线的解析式为y=ax2﹣1，
又二次函数的图象开口向上，
a＞0，
这个二次函数的解析式可以是y=2x2﹣1，
故答案为：y=2x2﹣1．中，点的坐标分别为，，直线与线段有公共点，则的取值范围为(用含的代数式表示).
【答案】m﹣6b≤m﹣4．
两条直线相交或平行问题在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x﹣1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1x2，则y1y2（填“”，“”或“=”）
.
【解析】
试题分析：根据k=1结合一次函数的性质即可得出y=x﹣1为单调递增函数，再根据x1x2即可得出y1y2，此题得解．
一次函数y=x﹣1中k=1，y随x值的增大而增大．
x1＜x2，y1＜y2．故答案为：．函数的性质与双曲线交于点，则不等式的解集是．
【答案】x＞1.
【解析】
试题分析：根据函数图象位置关系即可得到结论．
直线y=ax与双曲线（x0）交于点A（1，2），不等式ax的解集是x1，
故答案为x1．反比例函数与一次函数的交点问题，过点且对称轴直线有下列结论：
；②；③抛物线经过点点则取何值都经过同一个点，其中所有正确的结论是
【答案】②④⑤．
考点：二次函数图象与系数的关系．
三、解答题
1.（2017贵州遵义第27题）如图，抛物线y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=x+．
（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；
（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；
i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
ii：试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．
【答案】（1）抛物线的函数关系式为：y=﹣x2﹣x+，C（1，0）；（2）当m=﹣4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；(3).存在，理由见解析；（NA+NB）的最小值为.试题解析：（1）在y=x+中，令x=0，则y=，令y=0，则x=﹣6，∴B（0，），A（﹣6，0），
把B（0，），A（﹣6，0）代入y=ax2+bx﹣a﹣b得，
∴，∴抛物线的函数关系式为：y=﹣x2﹣x+，
令y=0，则=﹣x2﹣x+=0，∴x1=﹣6，x2=1，∴C（1，0）；
（2）∵点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，
∴D（m，m+），当DE为底时，
作BG⊥DE于G，则EG=GD=ED，GM=OB=，
∴m++（﹣m2﹣++m+）=，
解得：m1=﹣4，m2=9（不合题意，舍去），
∴当m=﹣4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；
考点：二次函数综合题．如图所示，RtPAB的直角顶点P（3，4）在函数y=（x0）的图象上，顶点A、B在函数y=（x0，0t＜k）的图象上，PAx轴，连接OP，OA，记OPA的面积为SOPA，PAB的面积为SPAB，设w=SOPA﹣SPAB．
求k的值以及w关于t的表达式；
若用wmax和wmin分别表示函数w的最大值和最小值，令T=wmaxa2﹣a，其中a为实数，求Tmin．
求k的值以及w关于t的表达式；Tmin=．
（2）w=﹣t2t=﹣（t﹣6）2，wmax=，
则T=wmaxa2﹣a=a2﹣a=（a﹣）2，
当a=时，Tmin=．
反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特
3.（2017湖南株洲第26题）已知二次函数y=﹣x2bx+c+1，
当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；
若c=b2﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？
若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足，求二次函数的表达式．
二次函数的对称轴的方程为x=；b为2或2﹣时，二次函数的图象与x轴相切二次函数的表达式为y=﹣x2x+1．AB是半圆的直径，AMB=90°，OAM+∠OBM=90°，
AOM=∠MOB=90°，OAM+∠OMA=90°，OMA=∠OBM，
OAM∽△OMB，，OM2=OA?OB，
二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），
OA=﹣x1，OB=x2，x1x2，=b，x1?x2=﹣（c1），OM=c+1，（c1）2=c1，
解得：c=0或c=﹣1（舍去），c=0，OM=1，
二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足，
AD=BD，DF=4DE，DFOM，BDE∽△BOM，AOM∽△ADF，
，DE=，DF=，×4，OB=4OA，即x2=﹣4x1，
x1?x2=﹣（c1）=﹣1，，解得：，b=﹣2=，
二次函数的表达式为y=﹣x2x+1．
二次函数综合题；二次函数的性质．中，抛物线过点，，与轴交于点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点在抛物线的对称轴上，求的周长的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y=﹣x2x+2（2）△ACD的周长的最小值是22（3）存在，点P的坐标为（1，1）或（1，﹣3）
答：ACD的周长的最小值是22，
（3）存在，
分两种情况：
当ACP=90°时，ACP是直角三角形，如图2，
设P（1，y），
则PEA∽△AOC，
，
，
PE=3，
P（1，﹣3）；
综上所述，ACP是直角三角形时，点P的坐标为（1，1）或（1，﹣3）．
二次函数综合题是任意两个实数，用表示两数中较大者，例如：，，参照上面的材料，解答下列问题：
（1），；
（2）若，求的取值范围；
（3）求函数与的图象的焦点坐标，函数的图象如下图所示，
请你在下图中作出函数的图象，并根据图象直接写出的最小值.
【答案】(1)5；3．x≤0；（3）﹣1．
观察函数图象可知：当x=3时，max﹣x2，x2﹣2x﹣4取最小值﹣1．与轴交于两点，与轴交于点，且，直线与轴交于点，点是抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点.
（1）试求该抛物线的表达式；
（2）如图（1），若点在第三象限，四边形是平行四边形，求点的坐标；
（3）如图（2），过点作轴，垂足为，连接，
①求证：是直角三角形；
②试问当点横坐标为何值时，使得以点为顶点的三角形与相似？
【答案】（1）y=x2+x﹣4点P的坐标为（﹣，﹣）或（﹣8，﹣4），点P的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与ACD相似．
（3）证明：把y=0代入y=﹣x﹣4得：﹣x﹣4=0，解得：x=﹣8．
D（﹣8，0）．
OD=8．
A（2，0），C（0，﹣4），
AD=2﹣（﹣8）=10．
由两点间的距离公式可知：AC2=2242=20，DC2=8242=80，AD2=100，
AC2+CD2=AD2．
ACD是直角三角形，且ACD=90°．
由得ACD=90°．
当ACD∽△CHP时，，即或，
解得：n=0（舍去）或n=﹣5.5或n=﹣10.5．
当ACD∽△PHC时，，即或．
解得：n=0（舍去）或n=2或n=﹣18．
综上所述，点P的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与ACD相似．的图象与性质进行了研究，下面是小慧的研究过程，请补充完成：
⑴函数的自变量的取值范围是；
⑵列表，找出与的几组对应值.
其中，；
⑶在平面直角坐标系中，描出以上表中各队对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
⑷写出该函数的一条性质：.
【答案】（1）任意实数；（2）2；（3）详见解析；（4）函数的最小值为0（答案不唯一）．
考点：一次函数的性质；一次函数的图象．
8.（2017湖北咸宁第22题）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价位元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（天）的试销售，售价为元/件.工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成图象，图中的折线表示日销售量（件）与销售时间（天）之间的函数关系，已知线段表示的函数关系中，时间每增加天，日销售量减少件.
⑴第天的日销售量是件，日销售利润是元；
⑵求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
⑶日销售利润不低于元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？
【答案】（1）330，660；（2）y=；（3）720元．根据题意得：线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y=340﹣5（x﹣22）=﹣5x450．
联立两线段所表示的函数关系式成方程组，
得，解得，
交点D的坐标为（18，360），
y与x之间的函数关系式为y=．
（3）当0x≤18时，根据题意得：（8﹣6）20x≥640，
解得：x16；
当18x≤30时，根据题意得：（8﹣6）（﹣5x450）640，
解得：x26．
16≤x≤26．
26﹣161=11（天），
日销售利润不低于640元的天数共有11天．
点D的坐标为（18，360），
日最大销售量为360件，
3602=720（元），
试销售期间，日销售最大利润是720元．与轴交于两点，与轴交于点，其对称轴交抛物线于点，交轴于点，已知.
⑴求抛物线的解析式及点的坐标；
⑵连接为抛物线上一动点，当时，求点的坐标；
⑶平行于轴的直线交抛物线于两点，以线段为对角线作菱形，当点在轴上，且时，求菱形对角线的长.
【答案】（1）y=x2﹣2x﹣6D（2，﹣8）；F点的坐标为（7，）或（5，﹣）；菱形对角线MN的长为1或﹣1．A（﹣2，0），
OA=2，则AG=x2，
B（6，0），D（2，﹣8），
BE=6﹣2=4，DE=8，
当FAB=∠EDB时，且FGA=∠BED，
FAG∽△BDE，
，即=，
当点F在x轴上方时，则有，解得x=﹣2（舍去）或x=7，此进F点坐标为（7，）；
当点F在x轴上方时，则有得x=﹣2（舍去）或x=5，此进F点坐标为（5，﹣）；
设PT=n，则MT=2n，
M（22n，n），
M在抛物线上，
n=（22n）2﹣2（22n）﹣6，解得n=或n=，
MN=2MT=4n=+1；
当MN在x轴下方时，同理可设PT=n，则M（22n，﹣n），
﹣n=（22n）2﹣2（22n）﹣6，解得n=或n=（舍去），
MN=2MT=4n=﹣1；
综上可知菱形对角线MN的长为1或﹣1．（2017湖南常德第1题）如图，已知反比例函数的图象经过点A（4，m），ABx轴，且AOB的面积为2．
（1）求k和m的值；
（2）若点C（x，y）也在反比例函数的图象上，当﹣3x≤﹣1时，求函数值y的取值范围．
【答案】k=4，m=1；（2）﹣4y≤﹣．
考点：k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．（2017湖南常德第题）如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点（2，2），（1，）在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点，过P作PAx轴于A，PCy轴于C，延长PC交抛物线于E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点．
（1）求抛物线的解析式及顶点N的坐标；
（2）求证：四边形PMDA是平行四边形；
（3）求证：DPE∽△PAM，并求出当它们的相似比为时的点P的坐标．
【答案】，N（0，1）P（，4）或（﹣，4）．
（2）证明：设P（t，），则C（0，），PA=，M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点，且N（0，1），M（0，2），OC=，ON=1，DM=CN=﹣1=，OD=，D（0，），DM=2﹣（）==PA，且PMDM，四边形PMDA为平行四边形；
（3）解：同（2）设P（t，），则C（0，），PA=，PC=t|，M（0，2），CM=﹣2=，在RtPMC中，由勾股定理可得PM=====PA，且四边形PMDA为平行四边形，四边形PMDA为菱形，APM=∠ADM=2∠PDM，PE⊥y轴，且抛物线对称轴为y轴，DP=DE，且PDE=2∠PDM，PDE=∠APM，且，DPE∽△PAM；OA=|t|，OM=2，AM=，且PE=2PC=2t|，当相似比为时，则=，即=，解得t=或t=﹣，P点坐标为（，4）或（﹣，4）．
考点：
【答案】（1）反比例函数的解析式为y=；（2）SACD=6．反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转．（2017哈尔滨第题）如图，在平面直角坐标系中，点坐标原点，抛物线轴于两点，交于点直线过两点.
(1)求抛物线的解析式；
2)过点直线交抛物线于另一点点直线方抛物线上的一个动点，在抛物线对称轴的右侧，过点轴于点交于点交点连接点于点设点横坐标为线段长为求之间的函数关系式(不要求写出自变量取值范围)；
(3)在(2)的条件下，连接过点于点(点线段)，于点连接于点当求线段长.
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）d=t；（3）MN=．
（3）如图2，
y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，对称轴为x=1，由抛物线对称性可得D（2，﹣3），CD=2，
过点B作BKCD交直线CD于点K，四边形OCKB为正方形，OBK=90°，CK=OB=BK=3，DK=1，
BQ⊥CP，CQB=90°，
过点O作OHPC交PC延长线于点H，ORBQ交BQ于点I交BK于点R，OHC=∠OIQ=∠OIB=90°，
四边形OHQI为矩形，
OCQ+∠OBQ=180°，OBQ=∠OCH，OBQ≌△OCH，QG=OS，GOB=∠SOC，SOG=90°，
ROG=45°，
OR=OR，OSR≌△OGR，SR=GR，SR=CS+BR，
BOR+∠OBI=90°，IBO+∠TBK=90°，BOR=∠TBK，tan∠BOR=tan∠TBK，=，
BR=TK，
CTQ=∠BTK，QCT=∠TBK，tan∠QCT=tan∠TBK，
设ST=TD=m，SK=2m+1，CS=2﹣2m，TK=m1=BR，SR=3﹣m，RK=2﹣m，
在RtSKR中，SK2+RK2=SR2，（2m1）2（2﹣m）2=（3﹣m）2，解得m1=﹣2（舍去），m2=；
ST=TD=，TK=，tan∠TBK==÷3=，tan∠PCD=，
过点P作PE′x轴于E′交CD于点F′，
CF′=OE′=t，PF′=t，PE′=t+3，P（t，﹣t﹣3），﹣t﹣3=t2﹣2t﹣3，
解得t1=0（舍去），t2=．
MN=d=t=×=．
考点：二次函数综合题．
与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出点和点的坐标；
（3）若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标．
注：二次函数（）的顶点坐标为．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x22x+3；（2）C（0，3），D（1，4）；（3）P（2，3）．二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．米/分的速度到达图书馆．小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程（米）与时间（分钟）的关系如图．请结合图象，解答下列问题：
（1）；；；
（2）若小军的速度是120米/分，求小军在图中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；
（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？
（4）若小军的行驶速度是米/分，且在图中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地），请直接写出的取值范围．
【答案】（1）10；15；200；（2）小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米；（3）爸爸自第二次出发至到达图书馆前，17.5分钟时和20分钟时与小军相距100米；（4）00v＜
（2）线段BC所在直线的函数解析式为y=1500200（x﹣15）=200x﹣1500；
线段OD所在的直线的函数解析式为y=120x．
联立两函数解析式成方程组，，解得：，
3000﹣2250=750（米）．
答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米．
（3）根据题意得：200x﹣1500﹣120x=100，
解得：x1==17.5，x2=20．
答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，17.5分钟时和20分钟时与小军相距100米．
（4）当线段OD过点B时，小军的速度为150015=100（米/分钟）；
当线段OD过点C时，小军的速度为300022.5=（米/分钟）．
结合图形可知，当100v＜时，小军在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地）．
一次函数的应用．(千米)与轿车行驶时间(小时)的函数图象如图所示．请结合图象提供的信息解答下列问题：
（1）请直接写出甲城和乙城之间的路程，并求出轿车和卡车的速度；
（2）求轿车在乙城停留的时间，并直接写出点的坐标；
（3）请直接写出轿车从乙城返回甲城过程中离甲城的路程(千米)与轿车行驶时间(小时)之间的函数关系式．(不要求写出自变量的取值范围)
【答案】（1）甲城和乙城之间的路程为180千米，轿车和卡车的速度分别为120千米/时和60千米/时；
（2）轿车在乙城停留了0.5小时，点D的坐标为（2，120）；
（3）s=180﹣120（t﹣0.5﹣0.5）=﹣120t420．考点：一次函数的应用．
交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，横坐标为的点在直线上方的抛物线上，过点作轴交直线于点，以为直径的圆交直线于另一点．当点在轴上时，求的周长；
（3）将绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转，得到，点的对应点分别是．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为：y=﹣x2x+1；
（2）DEM的周长=；
（3）点A1（，）或（﹣，）．（1）直线y=﹣x1交y轴于点B，B（0，1），
抛物线y=﹣x2bx+c经过点B和点C（4，﹣2）．，解得：，
抛物线的解析式为：y=﹣x2x+1；
（2）如图1，直线y=﹣x1交x轴于点A，
当y=0时，﹣x1=0，x=，A（，0），OA=，
在RtAOB中，OB=1，AB=，sin∠ABO=，cosABO=，
ME∥x轴，
DEM=∠ABO，
以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，
EDM=90°，
DE=ME?cos∠DEM=ME，DM=ME?sinDEM=ME，
如图3，当点A1，B1同时落在抛物线上时，
点B1的纵坐标比点A1的纵坐标大，
﹣x2x+1+=﹣（x1）2（x1）1，
解得：x=﹣，
此时A1（﹣，），
综上所述，点A1（，）或（﹣，）．
二次函数综合题．
中，规定的伴随直线为.例如：抛物线，即抛物线与其伴随直线的交点坐标为和；
（2）如图，顶点与其伴随直线相交于点(点在点的右侧)与轴交于点
①若求的值；
②如果点是直线上方抛物线的一个动点，的面积记为，当取得最大值时，求
【答案】（1）（﹣1，﹣4）；y=x﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）；（2）m=﹣；m=﹣2．
∴AC2+AB2=BC2，即416m2+1+m2=9+9m2，解得m=（抛物线开口向下，舍去）或m=﹣，
当CAB=90°时，m的值为﹣；
设直线BC的解析式为y=kxb，B（2，﹣3m），C（﹣1，0），，解得，
直线BC解析式为y=﹣mx﹣m，
过P作x轴的垂线交BC于点Q，如图，
点P的横坐标为x，
P（x，m（x﹣1）2﹣4m），Q（x，﹣mx﹣m），
P是直线BC上方抛物线上的一个动点，
PQ=m（x﹣1）2﹣4mmx+m=m（x2﹣x﹣2）=m（x﹣）2﹣，
S△PBC=×[（2﹣（﹣1）PQ=（x﹣）2﹣m，
当x=时，PBC的面积有最大值﹣m，
S取得最大值时，即﹣m=，解得m=﹣2．
考点：二次函数的综合应用（为常数）．
（1）若点和点是该反比例函数图象上的两点，试利用反比例函数的性质比较和的大小；
（2）设点（）是其图象上的一点，过点作轴于点，若，（为坐标原点），求的值，并直接写出不等式的解集．
【答案】（1）y1y2；（2）k=1，当k=﹣1时，解集为x﹣或0x＜；当k=1时，则解集为：x0．
考点：1.反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形．中，抛物线与轴交于点，其顶点记为，自变量和对应的函数值相等．若点在直线：上，点在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设对称轴右侧轴上方的图象上任一点为，在轴上有一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出相应的点横坐标的取值范围；
（3）直线与抛物线另一点记为，为线段上一动点（点不与重合）．设点坐标为，过作轴于点，将以点，，，为顶点的四边形的面积表示为的函数，标出自变量的取值范围，并求出可能取得的最大值．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=4x2﹣16x8；（2）当x=时，PCO=∠ACO，当2＜x＜时，PCO＜∠ACO，当x＜4时，PCO＞∠ACO；（3）（1）根据已知条件得到抛物线的对称轴为x=2．设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣8．将（3，﹣4）代入得抛物线的解析式为y=4（x﹣2）2﹣8，即可得到结论；
（2）由题意得：C（0，8），M（2，﹣8），如图，当PCO=∠ACO时，过P作PHy轴于H，设CP的延长线交x轴于D，则ACD是等腰三角形，于是得到OD=OA=，根据相似三角形的性质得到x=，过C作设抛物线与x轴交于F，B，则B（2，0），y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，
当x=时，PCO=∠ACO，
当2＜x＜时，PCO＜∠ACO，
当x＜4时，PCO＞∠ACO；
（3）解方程组，解得：，D（﹣1，28），
Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合），Q（t，﹣12t16）（﹣1t＜2），
当﹣1t＜0时，S=（﹣t）（﹣12t16﹣8）8（﹣t）=6t2﹣12t=6（t﹣1）2﹣6，
﹣1t＜0，当t=-1时，S最大=18；
当0t＜时，S=t?8t（﹣12t16）=﹣6t212t=﹣6（t﹣1）26，0＜t＜，当t=1时，S最大=6；
当t＜2时，S=t?8（12t﹣16）=6t2﹣4t=6（t﹣）2﹣，
＜t＜2，此时S=为最大值．
二次函数综合题．（小时），两车之间的距离（千米），如图中的折线表示与之间的函数关系
根据图象进行以下探究：
【信息读取】
（1）西宁到西安两地相距_________千米，两车出发后___________小时相遇；
（2）普通列车到达终点共需__________小时，普通列车的速度是___________千米/小时.
【解决问题】
（3）求动车的速度；
（4）普通列车行驶小时后，动车的达终点西宁，求此时普通列车还需行驶多少千米到达西安？；（3）动车的速度为250千米/小时；
（4）此时普通列车还需行驶千米到达西安．
（3）设动车的速度为x千米/小时，
根据题意，得：3x+3×=1000，解得：x=250，
答：动车的速度为250千米/小时；
（4）∵t==4（小时），∴4×=（千米），
∴1000﹣=（千米），
∴此时普通列车还需行驶千米到达西安．
考点：一次函数的应用．
22.（2017青海西宁第28题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴，.若抛物线经过两点，且顶点在边上，对称轴交于点，点的坐标分别为
（1）求抛物线的解析式；
（2）猜想的形状并加以证明；在对称轴右侧的抛物线上，点在轴上，请问是否存在以点的坐标；若不存在，请说明理由x2+3x；（2）△EDB为等腰直角三角形，证明见解析；（3）存在．点M坐标为（，2）或（，﹣2）．
①当AF为平行四边形的一边时，则M到x轴的距离与F到x轴的距离相等，即M到x轴的距离为2，
∴点M的纵坐标为2或﹣2，
在y=﹣x2+3x中，令y=2可得2=﹣x2+3x，解得x=，
∵点M在抛物线对称轴右侧，
∴x＞2，
∴x=，
∴M点坐标为（，2）；
在y=﹣x2+3x中，令y=﹣2可得﹣2=﹣x2+3x，解得x=，
∵点M在抛物线对称轴右侧，
∴x＞2，
∴x=，
∴M点坐标为（，﹣2）；
考点：二次函数综合题．
23.（2017上海第题）甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．
甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系，如图所示．
乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．
（1）求如图所示的y与x的函数解析式：（不要求写出定义域）；
（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
（1）y=5x400；（2）选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．（2017上海第题）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=﹣x2bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B．
（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示AMB的余切值；
（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．
（1）抛物线的解析式为y=﹣x22x+2．顶点B坐标为（1，3）．
（2）cotAMB=m﹣2．
（3）点Q的坐标为（，﹣）或（，﹣）．（3）抛物线的顶点坐标为（1，3），平移后抛物线的顶点坐标在x轴上，
抛物线向下平移了3个单位．
平移后抛物线的解析式为y=﹣x22x﹣1，PQ=3．
OP=OQ，点O在PQ的垂直平分线上．
又QP∥y轴，点Q与点P关于x轴对称．
点Q的纵坐标为﹣．
将y=﹣代入y=﹣x22x﹣1得：﹣x22x﹣1=﹣，解得：x=或x=．
点Q的坐标为（，﹣）或（，﹣）．已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．
（1）求c1的解析式；
（2）若直线l1：y=xm与c1仅有唯一的交点，求m的值；
（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：两个交点；三个交点；四个交点；
（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使PAB为等腰三角形．
【答案】；（2）；（3）①4；②3；③3＜n＜4或n3；（4）（﹣5，0）或（3﹣，0）或（3，0）或（﹣1，0）．
（4）如图，若c2与x轴正半轴交于B，B（3，0），OB=3，AB==：
①当AP=AB=时，PB=8，P1（﹣5，0）当AB=BP=时，P2（3﹣，0）或P3（3，0）当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，PA=PB=4，P4（﹣1，0）综上所述，点P的坐标为（﹣5，0）或（3﹣，0）或（3，0）或（﹣1，0）时，PAB为等腰三角形．
考点：中，双曲线经过□的顶点.点的坐标为，点在轴上，且轴，.
（1）填空：点的坐标为；
（2）求双曲线和所在直线的解析式.
【答案】（1）（0，1）；（）.
（2）双曲线经过点D（2，1），k=2×1=2，双曲线为，
D（2，1），ADx轴，AD=2，S?ABCD=5，AE=，
OE=，B点纵坐标为，
把y=代入得，=，解得x=，B（，），
设直线AB得解析式为y=axb，
代入A（0，1），B（，）得：，解得，
AB所在直线的解析式为．
待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质．中，抛物线的开口向上，且经过点.
（1）若此抛物线经过点，且与轴相交于点.
①填空：（用含的代数式表示）；
②当的值最小时，求抛物线的解析式；
（2）若，当，抛物线上的点到轴距离的最大值为3时，求的值.
【答案】（1）﹣2a﹣1，②抛物线解析式为y=x2﹣3x；（）1或﹣5
②由可得抛物线解析式为y=ax2﹣（2a1）x，
令y=0可得ax2﹣（2a1）x=0，
=（2a1）2﹣4a=4a2﹣2a1=4（a﹣）2＞0，
方程有两个不相等的实数根，设为x1、x2，
x1+x2=，x1x2=，
EF2=（x1﹣x2）2=（x1x2）2﹣4x1x2=，
二次函数综合题一元二次方程根的判别式抛物线y=ax2bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）该抛物线与直线相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PMy轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．
连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；
连结PB，过点C作CQPM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得CNQ与PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
）（）①；②存在，（2，）或（，）
（2）点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，
可设P（t，）（1t＜5），
直线PMy轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，
M（t，0），N（t，），
PN=.
联立直线CD与抛物线解析式可得，解得或，
C（0，3），D（7，），
分别过C、D作直线PN的直线，垂足分别为E、F，如图1，
存在．
CQN=∠PMB=90°，
当CNQ与PBM相似时，有或两种情况，
CQ⊥PM，垂足为Q，
Q（t，3），且C（0，3），N（t，），
CQ=t，NQ=﹣3=，
，
P（t，），M（t，0），B（5，0），
二次函数的综合应用，待定系数法函数图象的交点二次函数的性质相似三角形的判定和性质方程思想分类讨论思想．的解析式为，分别交轴、轴于点.
⑴写出两点的坐标，并画出直线的图象；
⑵将直线向上平移个单位得到，交轴于点.作出的图象，的解析式是．
⑶将直线绕点顺时针旋转得到，交于点.作出的图象，．
【答案】（1）A（1，0）B（0，2）图象见解析（）y=﹣2x6；（3）
【解析】
试题分析：（1）分别令x=0求得y、令y=0求得x，即可得出A、B的坐标，从而得出直线l的解析式；
（2）将直线向上平移4个单位可得直线l1，根据“上加下减”的原则求解即可得出其解析式；
（3）由旋转得出其函数图象及点B的对应点坐标，待定系数法求得直线l2的解析式，继而求得其与y轴的交点，根据tanCAD=tan∠EAO=可得答案．
解析：（1）当y=0时，﹣2x2=0，解得：x=1，即点A（1，0），
当x=0时，y=2，即点B（0，2），
（3）如图，直线l2即为所求，
直线l绕点A顺时针旋转90°得到l2，由图可知，点B（0，2）的对应点坐标为（3，1），
设直线l2解析式为y=kxb，
将点A（1，0）、（3，1）代入，得：，解得：，
直线l2的解析式为y=x﹣，当x=0时，y=﹣，
直线l2与y轴的交点E（0，﹣），tan∠CAD=tan∠EAO===，
故答案为一次函数图象与几何变换；一次函数的图象与轴交于点（在的左侧），与轴交于点.
⑴求直线的解析式；
⑵抛物线的对称轴上存在点，使，利用图求点的坐标；
⑶点在轴右侧的抛物线上，利用图比较与的大小，并说明理由.
【答案】（1）y=﹣x3；（）（1，22）或（1，﹣2﹣2）（）当Q点横坐标为5时，OCA=∠OCQ；当Q点横坐标大于5时，则OCQ逐渐变小，故OCA＞∠OCQ；当Q点横坐标小于5且大于0时，则OCQ逐渐变大，故OCA＜∠OCQ．
（2）OB=OC，ABC=45°，
y=﹣x22x+3=﹣（x﹣1）24，抛物线对称轴为x=1，
设抛物线对称轴交直线BC于点D，交x轴于点E，当点P在x轴上方时，如图1，
APB=∠ABC=45°，且PA=PB，
当OCA=∠OCQ时，则QEC∽△AOC，
，即，解得x=0（舍去）或x=5，
当Q点横坐标为5时，OCA=∠OCQ；
当Q点横坐标大于5时，则OCQ逐渐变小，故OCA＞∠OCQ；
当Q点横坐标小于5且大于0时，则OCQ逐渐变大，故OCA＜∠OCQ．二次函数综合题解一元二次方程三角形的判定与性质；勾股定理知函数，k、b为整数且.
(1)讨论取值.
(2)分别出两种函数的所有图象.(需列表)
(3)求的交点个数.
【答案】(1);(2)详见解析；（3）4.
考点：一次函数，反比例函数，分类讨论思想，图形结合思想．慢地至乙地，一辆车同时从乙出发至地，两车之间距离米）行驶时间）对应所示：
地相距多远？车和慢车的速度分别是多少？车相遇后之间的函数关系式；时两车相距600千米；快车速度为90千米/小时，慢车速度为60千米/小时；；（4）两车2小时或6小时时，两车相距300千米．
（4）设出发x小时后，两车相距300千米．
当两车没有相遇时，
由题意得：60x90x=600﹣300，解得：x=2；
当两车相遇后，
由题意得：60x90x=600+300，解得：x=6；
即两车2小时或6小时时，两车相距300千米．一次函数的应用．，与直线于.
（1）求抛物线解析式；是抛物线上的一个动点与、点合），过点直线于点交直线点.
时，点坐标；存在使为等腰三角形，若存在请直接写出的坐标，若不存在，请说明y=﹣x24x+5；P点坐标为（2，9）或（6，﹣7）；（，）或（4，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）或（0，5）．
②设P（x，﹣x24x+5），则E（x，x1），且B（4，5），C（5，0），
BE=|x﹣4，CE=，BC=，
当BEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，
当BE=CE时，则x﹣4=，解得x=，此时P点坐标为（，）；
当BE=BC时，则x﹣4=，解得x=4或x=4﹣，此时P点坐标为（4，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）；
当CE=BC时，则=，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为（0，5）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（4，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）或（0，5）．
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