专题09三角形
一、选择题
1.（2017贵州遵义第6题）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果1=30°，则2的度数为（）
A．45° B．30° C．20° D．15°
【答案】D.
考点：平行线的性质．
如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
【答案】A.
考点：三角形中位线定理；三角形的面积．
如图，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F．若AB=11，AC=15，则FC的长为（）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C.
【解析】
试题分析：∵AD是∠BAC的平分线，AB=11，AC=15，
∴,
∵E是BC中点，
∴,
∵EF∥AD，
∴，
∴CF=CA=13．
故选C．
考点：平行线的性质；角平分线的性质．
如图，在ABC中，BAC=x°，B=2x°，C=3x°，则BAD=（）
A．145° B．150° C．155° D．160°
考点：三角形内角和定理．
如图示，若ABC内一点P满足PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，EDF=90°，若点Q为DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQFQ=（）
A．5 B．4 C．D．
【答案】D.
【解析】
试题分析：如图，在等腰直角三角形DEF中，EDF=90°，DE=DF，1=∠2=∠3，
1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，QEF=∠DFQ，2=∠3，
DQF∽△FQE，，
DQ=1，FQ=，EQ=2，EQ+FQ=2+，
故选D
考点：旋转的性质；平行线的判定与性质；等腰直角三角形．的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（）
A．540元B．1080元C.1620元D．1800元
【答案】C
考点：相似三角形的应用的直角三角板如图摆放，其中，则等于（）
A．B．C．D．
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵∠α=∠1+∠D，∠β=∠4+∠F，∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F=∠2+∠D+∠3+∠F=∠2+∠3+30°+90°=210°，故选B．
考点：三角形的外角的性质.
8.（2017广西百色第10题）如图，在距离铁轨200米处的处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，10秒钟后，动车车头到达处，恰好位于处西北方向上，则这时段动车的平均速度是（）米/秒.
A．B．C.200D．300
【答案】A
考点：1.解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
（2017哈尔滨第题）在，，，则值为()
A. B. C. D.
【答案】在RtABC中，C=90°，AB=4，AC=1，BC==，则cosB==，
故选A锐角三角函数的定义．
（2017哈尔滨第题）如图，在，为上的点，点边上一点，连接于点则下列结论中一定正确的是()
A. B C. D.
【答案】相似三角形的判定与性质．
是在点为位似中心经过位似变换得到的，若的面积与的面积比是，则为（）
A．B．C．D．
【答案】A
考点：位似变换．的长约为3.5米，约为，则该楼梯的高度可表示为（）
A．米B．米C．米D．米
【答案】A
【解析】
试题分析：在RtABC中，sin∠ACB=，AB=BCsin∠ACB=3.5sin29°，
故选A．解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．如图，D，E分别是ABC的边AB，AC上的中点，如果ADE的周长是6，则ABC的周长是（）
A．6B．12C．18D．24
【答案】．
【解析】
试题分析：D、E分别是AB、AC的中点，AD=AB，AE=AC，DE=BC，ABC的周长=ABAC+BC=2AD+2AE+2DE=2（ADAE+DE）=26=12．故选B．
考点：中，，，垂足为，点是的中点，，则的长为（）
A．B．C.D．
【答案】B.
考点：直角三角形斜边上的中线已知ABC的三边长分别为4、4、6，在ABC所在平面内画一条直线，将ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
考点：等腰三角形的性质
【解析】
试题分析：根据等底等高的三角形的面积相等解答．
三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，
三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．
故选A．
三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高的边长为，是上的动点，过作于点，过作于点，过作于点.当与重合时，的长是（）
A．B．C.D．
【答案】B.
【解析】
试题分析：设AD=x，根据等边三角形的性质得到A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到ADF=∠DEB=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到结论．
设AD=x，ABC是等边三角形，A=∠B=∠C=60°，
DE⊥AC于点E，EFBC于点F，FGAB，
ADF=∠DEB=∠EFC=90°，AF=2x，CF=12﹣2x，
CE=2CF=24﹣4x，BE=12﹣CE=4x﹣12，BD=2BE=8x﹣24，
AD+BD=AB，x+8x﹣24=12，x=4，AD=4．
故选B．
等边三角形的性质；含30度角的直角三角形三角形的两边夹角为满足方程则第三边长的长是()
A. B. C. D.如图示在ABC中B=．
【解析】
试题分析：∵∠C=90°，B=90°﹣A=90°﹣65°=25°；
故答案为：25°．
直角三角形的性质．
，在，斜边两个端点分别在相互垂直的射线，下列结论：
①若两点关于，；
②两点距离的最大值为
③若平分，则
④斜边的中点运动路径的长为
其中正确的是．如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的，则：=π．所以不正确；
综上所述，本题正确的有：；如图，已知RtABE中A=90°，B=60°，BE=10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得CDE=30°，则CD长度的取值范围是．
【答案】0CD≤5．
【解析】
试题分析：当点D与点E重合时，CD=0，当点D与点A重合时，A=90°，B=60°，E=30°，CDE=∠E，CDB=∠B，CE=CD，CD=CB，CD=BE=5，0≤CD≤5，故答案为：0CD≤5．
考点：30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则的度数为．
【答案】113°或92°．相似三角形的性质；等腰三角形的性质．的直角边在轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，则点的坐标为．
【答案】（0，（）2016）或（0，21008）．规律型：点的坐标．中，交直线于点，若，则的顶角的度数为．
【答案】30°或150°或90°．BC为腰，
AD⊥BC于点D，AD=BC，ACD=30°，
如图1，AD在ABC内部时，顶角C=30°，
如图2，AD在ABC外部时，顶角ACB=180°﹣30°=150°，
BC为底，如图3，
AD⊥BC于点D，AD=BC，AD=BD=CD，B=∠BAD，C=∠CAD，BAD+∠CAD=×180°=90°，
顶角BAC=90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．个小三角形的面积为．
【答案】
考点：1.三角形中位线定理；等腰直角三角形．
（2017上海第1题）如图，已知ABCD，CD=2AB，AD、BC相交于点E，设，，那么向量用向量、表示为．
考点：1.平面向量；2.平行线的性质
9.（2017辽宁大连第15题）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处.此时，处与灯塔的距离约为.（结果取整数，参考数据：）
【答案】102.
【解析】
试题分析：根据题意得出MPA=∠PAD=60°，从而知PD=AP?sinPAD=43，由BPD=∠PBD=45°根据BP=，即可求出即可．
解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．
求证：DAE≌△DCF；
求证：ABG∽△CFG．
【解析】
试题分析：①由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；
考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的
俯角为α其中tanα=2，无人机的飞行高度AH为500米，桥的长度为1255米．
求点H到桥左端点P的距离；
若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB．
求点H到桥左端点P的距离为250米；无人机的长度AB为5米．解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．中，，点分别为边的中点，求证：.
【答案】详见解析.
【解析】
试题分析：由∠ABC=∠ACB可得AB=AC，又点D、E分别是AB、AC的中点．得到AD=AE，通过△ABE≌△ACD，即可得到结果．
考点：全等三角形的判定及性质.
4.（2017郴州第22题）如图所示，城市在城市正东方向，现计划在两城市间修建一条高速铁路（即线段），经测量，森林保护区的中心在城市的北偏东方向上，在线段上距城市的处测得在北偏东方向上，已知森林保护区是以点为圆心，为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？
（参考数据：）
【答案】这条高速公路不会穿越保护区结论；不会．理由如下：
作PHAC于H．
是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，沿的方向以的速度运动，当不与点重合是，将绕点逆时针方向旋转得到，连接.
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长；
若不存在，请说明理由.
（3）当点在射线上运动时，是否存在以为顶点的三角形是直角三角形？
若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）详见解析；（2）存在，24；当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．（2）存在，当6t＜10时，
由旋转的性质得，BE=AD，
C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，
由（1）知，CDE是等边三角形，
DE=CD，
C△DBE=CD+4，
由垂线段最短可知，当CDAB时，BDE的周长最小，
此时，CD=2cm，
BDE的最小周长=CD4=2+4；
（3）存在，当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，
当6t＜10s时，由DBE=120°＞90°，
此时不存在；
当t10s时，由旋转的性质可知，DBE=60°，
又由（1）知CDE=60°，
BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，
而BDC＞0°，
BDE＞60°，
只能BDE=90°，
从而BCD=30°，
BD=BC=4，
OD=14cm，
t=14÷1=14s，
综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．在一条直线上，.
⑴求证：；
⑵连接，求证：四边形是平行四边形.
【答案】详见解析.
考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．
7.（2017湖南常德第24题）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC与支架AC所成的角ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°0.2588，sin75°0.9659，tan75°3.732，1.732，1.414）
【答案】．
考点：如图，直角ABC中，BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BFAD分别交AD于E，AC于F．
（1）如图1，若BD=BA，求证：ABE≌△DBE；
（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：GM=2MC；AG2=AF?AC．
【答案】．
考点：（2017哈尔滨第题）已知：都是等腰直角三角形，连接交于点与交于点与交于点.
(1)1，求证：
(2)如图若在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图四对全等的直角三角形.
【答案】（）证明见解析；（）ACB≌△DCE（SAS），EMC≌△BCN（ASA），AON≌△DOM（AAS），AOB≌△DOE（HL）全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．中，于，，，，分别是，的中点．
（1）求证：，；
（2）连接，若，求的长．
【答案】（）证明见解析；（）EF=5．全等三角形的判定与性质；勾股定理．
，已知垂足为..
【答案】证明见解析
【解析】
试题分析：根据全等三角形的判定与性质，可得B=∠D，根据平行线的判定，可得答案．
：AE⊥BD，CFBD，AEB=∠CFD=90°，
BF=DE，BF+EF=DE+EF，BE=DF．
在RtAFB和RtCFD中，，Rt△AFB≌Rt△CFD（HL），B=∠D，AB∥CD．
全等三角形的判定与性质中，，分别是两腰上的中线．
（1）求证：；
（2）设与相交于点，点，分别为线段和的中点．当的重心到顶点的距离与底边长相等时，判断四边形的形状，无需说明理由．
【答案（1）证明见解析；（2）四边形DEMN是正方形（2）四边形DEMN是正方形，
E、D分别是AB、AC的中点，AE=AB，AD=AC，ED是ABC的中位线，ED∥BC，ED=BC，
点M、N分别为线段BO和CO中点，OM=BM，ON=CN，MN是OBC的中位线，MN∥BC，MN=BC，ED∥MN，ED=MN，四边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，
又OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，DM=EN，四边形EDNM是矩形，
在BDC与CEB中，，BDC≌△CEB，BCE=∠CBD，OB=OC，
ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等，O到BC的距离=BC，BD⊥CE，四边形DEMN是正方形．
全等三角形的判定与性质；三角形的重心；等腰三角形的性质．
，两地，为了测量，两地的距离，让一热气球从小山西侧地出发沿与成角的方向，以每分钟的速度直线飞行，分钟后到达处，此时热气球上的人测得与成角，请你用测得的数据求，两地的距离长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）
【答案】A，B两地的距离AB长为200（﹣tan20°）米．在直角BCM中，tan20°=，BM=200tan20°，AB=AM﹣BM=200﹣200tan20°=200（﹣tan20°），
因此A，B两地的距离AB长为200（﹣tan20°）米．
解直角三角形的应用．
上的两点分别对南岸的体育中心进行测量，分别没得米，求体育中心到湟水河北岸的距离约为多少米（精确到）？
【答案】体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为173米．
在直角△BHD中，sin60°=,∴DH=100≈100×1.732≈173．
答：体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为173米．
考点：解直角三角形的应用．
15.（2017上海第1题）如图，一座钢结构桥梁的框架是ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且ADBC．
（1）求sinB的值；
（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE=2AE，且EFBC，垂足为点F，求支架DE的长．
（1）sinB=；（2）DE=5．位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在RtABC中，ABC=70.5°，在RtDBC中，DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°0.943，cos70.5°0.334，tan70.5°2.824）
【答案】4.2m．
考点：中，，，点分别在上（点与点不重合），且.将绕点逆时针旋转得到.当的斜边、直角边与分别相交于点（点与点不重合）时，设.
（1）求证：；
（2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围.
【答案】（1）；（）
（2）解：如图1中，当C′E′与AB相交于Q时，即时，过P作MNDC′，设B=α
∴MN⊥AC，四边形DC′MN是矩形，
PM=PQ?cosα=y，PN=（3﹣x），
（3﹣x）y=x，，
旋转的性质；函数关系式；矩形的判定与性质；解直角三角形的对角线相交于点，，，，.
（1）填空：与的数量关系为；
（2）求的值；
（3）将沿翻折，得到（如图2），连接，与相交于点.若，求的长.
【答案】（1）BAD+∠ACB=180°；（）（）
考点：相似三角形的判定和性质一元二次方程三角形的内角和定理为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，EAC=130°，求水坝原来的高度BC．
（参考数据：sin50°0.77，cos50°0.64，tan50°1.2）
水坝原来的高度为12米．
考点：解直角三角形的应用坡渔船位于的北偏东海里沿偏方向航行至在救援，距离海里，救援从港口分钟到达处，求救援的速度，结果取整数）
救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．cos37°=，
EB=BC?cos37°≈0.8×10=8海里，
EF=AD=17.32海里，
FC=EF﹣CE=11.32海里，
AF=ED=EBBD=18海里，
在RtAFC中，
AC=21.26海里，
21.263≈64海里/小时．
答：救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．
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