专题10四边形
一、选择题
1.（2017贵州遵义第10题）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
【答案】A.
考点：三角形中位线定理；三角形的面积．
如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（）
A．一定不是平行四边形 B．一定不是中心对称图形
C．可能是轴对称图形 D．当AC=BD时它是矩形
考点：中点四边形；平行四边形的判定；矩形的判定；轴对称图形．多边形的外角和是360°，故选B．
多边形内角与外角．
中，相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，已知，则下列结论：
①，②，③，④∽，其中正确的是（）
A．①②③④B．①④C．②③④D．①②③
【答案】D
考点：1.相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．，六边形内角都相等，下列的个数
①；②；③；④四边形是平行四边形；⑤六边形中心，又是图形
A．B．C.D．
【答案】D
考点：平行四边形的判定和性质；平行线的判定和性质；轴对称图形中心对称图形是边长为1的正方形，，为所在直线上的两点，若，，则以下结论正确的是（）
A．B．C．D．四边形的面积为
【答案】C
考点：1.正方形的性质；解直角三角形．是矩形的对角线的中点，交于点，若，则的长为
A．5B．4C.D．
【答案】D
考点：矩形的性质．
（2017上海第题）已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）
A．BAC=∠DCA B．BAC=∠DAC C．BAC=∠ABD D．BAC=∠ADB
【答案】C
【解析】
试题分析：A、BAC=∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形；
B、BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；
C、BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；
D、BAC=∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；
故选C．矩形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则ABC的周长是（）
A．14 B．16 C．18 D．20
考点：菱形的性质，勾股定理中，用直尺和圆规作的平分线，若，则的长是（）
A．B．C.D．
【答案】B.
【解析】
试题分析：连接EG，由作图可知AD=AE，根据等腰三角形的性质可知AG是DE的垂直平分线，由平行四边形的性质可得出CDAB，故可得出2=∠3，据此可知AD=DG，由等腰三角形的性质可知OA=AG，利用勾股定理求出OA的长即可．
连接EG，
由作图可知AD=AE，AG是BAD的平分线，1=∠2，AG⊥DE，OD=DE=3．
四边形ABCD是平行四边形，CD∥AB，2=∠3，1=∠3，AD=DG．
AG⊥DE，OA=AG．
在RtAOD中，OA==4，AG=2AO=8．
故选B．
作图—基本作图；平行四边形的性质如图，梯形，()
A. B. C. D.
【答案】B.
试题分析：已知AB∥CD，∠=45°，由两直线平行，同可得∠=180°-∠A=135°，故选．平行线的性质．矩形的两边长分别为下列数据能构成黄金矩形的是()
A. B. C. D.
．．边形每一个内角等于与它外角的，则是B．C.D．
【答案】C．设外角为x，则相邻的内角为2x，
由题意得，2xx=180°，
解得，x=60°，
36060°=6，
故选C．
，在矩形，在上，在上，把这个矩形沿，点落在上的矩形面积为，则折的长为（）
B．C.D．
【答案】C.
考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
二、填空题
1.（2017贵州遵义第14题）一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为．
【答案】1800°.
【解析】
试题分析：这个正多边形的边数为=12，
所以这个正多边形的内角和为（12﹣2）×180°=1800°．
故答案为1800°．
考点：多边形内角与外角．
中，平分交边于，平分交边于.若，，则.
【答案】8或3在?ABCD中，BC=AD=11，BCAD，CD=AB，CDAB，
DAE=∠AEB，ADF=∠DFC，
AE平分BAD交BC于点E，DF平分ADC交BC于点F，
BAE=∠DAE，ADF=∠CDF，
BAE=∠AEB，CFD=∠CDF，
AB=BE，CF=CD，
AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11，
AB=3；
综上所述：AB的长为8或3．
故答案为：．
平行四边形的性质，点矩形纸片中心，上一点，将纸片沿后，点与点，则折痕长为如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE=x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为．
【答案】（0x＜2）．
考点：（2017哈尔滨第1题）四边形菱形，，对角线相交于点点上，若则长为 .
【答案】4或2四边形ABCD是菱形，AB=AD=6，ACBD，OB=OD，OA=OC，
BAD=60°，ABD是等边三角形，BD=AB=6，OB=BD=3，OC=OA==3，
AC=2OA=6，
点E在AC上，OE=，CE=OC+或CE=OC﹣，CE=4或CE=2．
菱形的性质．
（2017哈尔滨第题）如图，在矩形，边上一点，连接点，垂足为若，则长为 .
【答案】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
的对角线，相交于点，请你添加一个适当的条件，使其成为正方形（只填一个即可）．
【答案】AB=BC（答案不唯一）正方形的判定；矩形的性质．中，，，沿底边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是．
【答案】10cm或2cm或4cm．如图：，
过点A作ADBC于点D，
ABC边AB=AC=10cm，BC=12cm，BD=DC=6cm，AD=8cm，
如图所示：可得四边形ACBD是矩形，则其对角线长为：10cm，
如图所示：AD=8cm，
连接BC，过点C作CEBD于点E，则EC=8cm，BE=2BD=12cm，则BC=4cm，
如图所示：BD=6cm，
由题意可得：AE=6cm，EC=2BE=16cm，
故AC==2cm，
故答案为：10cm或2cm或4cm．图形的剪拼．
，则这个多边形是边形．
【答案】七
考点：多边形内角与外角．，是菱形，点则线段长为
【答案】
【解析】
试题分析：∵四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，
AO=12，OD=5，ACBD，
AD=AB==13，
DH⊥AB，
AO×BD=DH×AB，
12×10=13×DH，
DH=，
BH==．
考点：菱形的性质；勾股定理中，，，是两条对角线的交点，过点作的垂线分别交边，于点，，点是边的一个三等分点，则与的面积比为．
【答案】3：4．相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得=40，解得n=9．多边形内角与外角．
沿对折，使点落在点处，若，则的长为
考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.平行四边形的性质．
14.（2017湖南张家界第14题）如图，在正方形ABCD中，AD=，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为．
【答案】．
考点：540°.
【解析】
试题分析：根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°计算即可．
（5﹣2）?180°=540°．故答案为540°．多边形内角与外角如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cosEFC的值是．
.
考点：轴对称的性质，矩形的性质，的概念中，，是的中点，于点，则的长是．
【答案】.
【解析】
试题分析：根据四边形ABCD是矩形，得到ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE=，BD=，根据三角形的面积公式得到BF=，过F作FGBC于G，根据相似三角形的性质得到CG=，根据勾股定理即可得到结论．
四边形ABCD是矩形，ABE=∠BAD=90°，
AE⊥BD，AFB=90°，BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，
；矩形的性质，相似三角形的判定与性质，在正方形，等边三角形顶点分别在边上，则
【答案】75°.
试题分析：∵正方形等边三角形正方形等边三角形如图，在平行四边形，角线相交于点在延长线上取一点连接于点若，，则 .
．，在中，，则菱形面积
【答案】2
【解析】
考点：菱形的性质．边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F．
（1）连接CQ，证明：CQ=AP；
（2）设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE=BC；
（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）当x=3或1时，CE=BC；（3）.结论：PF=EQ，理由见解析.
（2）解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠BAD=45°，∠BCA=∠BCD=45°，
∴∠APB+∠ABP=180°﹣45°=135°，
∵DC=AD=2，
由勾股定理得：AC=，
∵AP=x，∴PC=4﹣x，
∵△PBQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，
∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°，∴∠CPQ=∠ABP，
∵∠BAC=∠ACB=45°，∴△APB∽△CEP，∴，
考点：四边形综合题．
如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．
求证：DAE≌△DCF；
求证：ABG∽△CFG．
∵∠MAD=∠BCD=90°，EAM=∠BCF，EAM=∠BAG，BAG=∠BCF，
AGB=∠CGF，ABG∽△CFG．
相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为阶准菱形，如图1，□为1阶准菱形.
（1）猜想与计算
邻边长分别为3和5的平行四边形是阶准菱形；已知□的邻边长分别为（），满足，，请写出□是阶准菱形.
（2）操作与推理
小明为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把□沿折叠（点在上），使点落在边上的点处，得到四边形.请证明四边形是菱形.
【答案】（1）3，12
（2）由折叠知：ABE=∠FBE，AB=BF，
四边形ABCD是平行四边形，
AE∥BF，
AEB=∠FBE，
AEB=∠ABE，
AE=AB，
AE=BF，
四边形ABFE是平行四边形，
四边形ABFE是菱形四边形综合题在一条直线上，.
⑴求证：；
⑵连接，求证：四边形是平行四边形.
【答案】详见解析.
考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．
5.（2017广西百色第22题）矩形中，分别是的中点，分别交于两点.
求证：（1）四边形是平行四边形；
（2）
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
考点：1.矩形的性质；平行四边形的判定与性质．以菱形
【答案】（1）直线BC的解析式为y=x﹣2；
（2）当点P在边BC上时，y=10a224a+48；
当点P在边CD上时，y=10a2﹣40a48；
（3）点P的坐标为（，2﹣），（4，0）．Ⅰ、当POM=90°时，
OP2+OM2=PM2，
5a2﹣16a16+16=5a2﹣24a32，
a=0，
P（4，0），
Ⅱ、当MPO=90°时，OP2PM2=5a2﹣16a16+5a2﹣24a32=10a2﹣40a48=OM2=16，
a=2+（舍）或a=2﹣，
P（，2﹣），
即：当OPM为直角三角形时，点P的坐标为（，2﹣），（4，0）．四边形综合题．
沿对角线所在的直线折叠，点落在点处，与轴相交于点．矩形的边，的长是关于的一元二次方程的两个根，且．
（1）求线段，的长；
（2）求证：，并求出线段的长；
（3）直接写出点的坐标；
（4）若是直线上一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）OA=8，OC=4；（2）OE=3；（3）D（﹣，）；（4）存在；P（﹣，23），（，3﹣2），（4，5），（，）．
考点：四边形综合题．
中，为边上一点，平分，为的中点，连接，过点作分别交于，两点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当时，请直接写出的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4.
理由如下：AF⊥BF，BAF+∠ABF=90°，
EH∥BC，ABC=90°，BEH=90°，FEH+∠CEB=90°，
ABF=∠CEB，BAF=∠FEH，
EFG=∠AFE，EFG∽△AFE，，即EF2=AF?GF，
AF?GF=28，EF=2，CE=2EF=4．相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．，已知矩形.用尺和圆下列作图，图痕迹：
点圆心，以长为半径画弧交边点连接
②作的平分交；
③连接;
（2）在（1）作出的图形中，若的值为.
【答案】（1）画图见解析；（2）.
考点：作图﹣基本作图；全等三角形的判定与性质；解直角三角形中，，分别是两腰上的中线．
（1）求证：；
（2）设与相交于点，点，分别为线段和的中点．当的重心到顶点的距离与底边长相等时，判断四边形的形状，无需说明理由．
【答案（1）证明见解析；（2）四边形DEMN是正方形（2）四边形DEMN是正方形，
E、D分别是AB、AC的中点，AE=AB，AD=AC，ED是ABC的中位线，ED∥BC，ED=BC，
点M、N分别为线段BO和CO中点，OM=BM，ON=CN，MN是OBC的中位线，MN∥BC，MN=BC，ED∥MN，ED=MN，四边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，
又OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，DM=EN，四边形EDNM是矩形，
在BDC与CEB中，，BDC≌△CEB，BCE=∠CBD，OB=OC，
ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等，O到BC的距离=BC，BD⊥CE，四边形DEMN是正方形．
全等三角形的判定与性质；三角形的重心；等腰三角形的性质．
中，相交于点，是的中点，
（1）求证：四边形是平行四边形；，求的面积
考点：1.平行四边形的判定与性质；2.菱形的判定.
12.（2017上海第题）已知：如图，四边形ABCD中，ADBC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE=BC，且CBE：BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．
（1）求证：AGE≌△BGF；
（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
【答案】四边形AFBE是菱形．
考点：中，，垂足在的延长线上，，垂足在的延长线上.求证：.
【答案】见解析
【解析】
试题分析：由平行四边形的性质得出ABCD，AB=CD，由平行线的性质得出得出BAC=∠DCA，证出EAB=∠FAD，BEA=∠DFC=90°，由AAS证明BEA≌△DFC，即可得出结论．
解析：四边形ABCD是平行四边形，
AB∥CD，AB=CD，BAC=∠DCA，
180°﹣BAC=180°﹣DCA，EAB=∠FAD，
BE⊥AC，DFAC，BEA=∠DFC=90°，
在BEA和DFC中，，
BEA≌△DFC（AAS），AE=CF．平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质中，，，点分别在上（点与点不重合），且.将绕点逆时针旋转得到.当的斜边、直角边与分别相交于点（点与点不重合）时，设.
（1）求证：；
（2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围.
【答案】（1）；（）
∴PN=DM，
DM=（3﹣x），PN=PQ?sinα=y，
（3﹣x）=y，．
综上所述，
旋转的性质；函数关系式；矩形的判定与性质；解直角三角形如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连结CE，过点C作CFCE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．
（1）求证：CDE≌△CBF；
（2）当DE=时，求CG的长；
（3）连结AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．
）解析；（）（）能
考点：正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定，在正方形中，点分别在上，于点，求证；
⑵如图，将⑴中的正方形改为矩形，于点，探究与的数量关系，并证明你的结论.
【答案】(1)见解析；（）AB=BC见解析
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质，是平行四边形是对角线两点，且.
【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析：连接AC，交BD于点O，由“平行四边形ABCD的对角线互相平分”得到OA=OC，OB=OD；然后结
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
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