专题13操作性问题
一、选择题
1.（2017贵州遵义第3题）把一张长方形纸片按如图，图的方式从右向左连续对折两次后得到图，再在图中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（）
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】
试题分析：重新展开后得到的图形是C，
故选C．
考点：剪纸问题．
已知ABC的三边长分别为4、4、6，在ABC所在平面内画一条直线，将ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
故选B．三角形的性质中，用直尺和圆规作的平分线，若，则的长是（）
A．B．C.D．
【答案】B.
考点：作图—基本作图；平行四边形的性质，在矩形，在上，在上，把这个矩形沿，点落在上的矩形面积为，则折的长为（）
B．C.D．
【答案】C.
考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
5.（2017青海西宁第10题）如图，在正方形中，，动点自点出发沿方向以每秒的速度运动自点出发沿折线以每秒的速度运动，到达点时运动同时停止，设的面积为，运动时间为（秒），则下列图象中能大致反映与之间的函数关系的是
A．B．C.D．
【答案】A
考点：动点问题的函数图象．，点在双曲线，点是，的动点则四边形的最小值为）
B．C.D．
【答案】B．中，平分交边于，平分交边于.若，，则.
【答案】8或3
根据平行线的性质得到ADF=∠DFC，由DF平分ADC，得到ADF=∠CDF，等量代换得到DFC=∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，得出AB=BE=CF=CD，分两种情况：如图1，在?ABCD中，BC=AD=11，BCAD，CD=AB，CDAB，
DAE=∠AEB，ADF=∠DFC，
AE平分BAD交BC于点E，DF平分ADC交BC于点F，
在?ABCD中，BC=AD=11，BCAD，CD=AB，CDAB，
DAE=∠AEB，ADF=∠DFC，
AE平分BAD交BC于点E，DF平分ADC交BC于点F，
BAE=∠DAE，ADF=∠CDF，
BAE=∠AEB，CFD=∠CDF，
AB=BE，CF=CD，
AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11，
AB=3；
综上所述：AB的长为8或3．
故答案为：．
平行四边形的性质如图，有一条折线A1B1A2B2A3B3A4B4…，它是由过A1（0，0），B1（2，2），A2（4，0）组成的折线依次平移4，8，12，…个单位得到的，直线y=kx2与此折线恰有2n（n1，且为整数）个交点，则k的值为．
【答案】．
考点：中，，，沿底边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是．
【答案】10cm或2cm或4cm．如图：，
过点A作ADBC于点D，
ABC边AB=AC=10cm，BC=12cm，BD=DC=6cm，AD=8cm，
如图所示：可得四边形ACBD是矩形，则其对角线长为：10cm，
如图所示：AD=8cm，
连接BC，过点C作CEBD于点E，则EC=8cm，BE=2BD=12cm，则BC=4cm，
如图所示：BD=6cm，
由题意可得：AE=6cm，EC=2BE=16cm，
故AC==2cm，
故答案为：10cm或2cm或4cm．图形的剪拼．
是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则的度数为．
【答案】113°或92°．相似三角形的性质；等腰三角形的性质．的一边在轴的负半轴上，是坐标原点，，反比例函数的图像经过点，与交于点，若的面积为20，则的值等于．
【答案】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；解直角三角形．
的直角边在轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，则点的坐标为．
【答案】（0，（）2016）或（0，21008）．规律型：点的坐标．
中，交直线于点，若，则的顶角的度数为．
【答案】30°或150°或90°．BC为腰，
AD⊥BC于点D，AD=BC，ACD=30°，
如图1，AD在ABC内部时，顶角C=30°，
如图2，AD在ABC外部时，顶角ACB=180°﹣30°=150°，
BC为底，如图3，
AD⊥BC于点D，AD=BC，AD=BD=CD，B=∠BAD，C=∠CAD，BAD+∠CAD=×180°=90°，
顶角BAC=90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成（如图所示），建造前工程师用以下方式做了测量；无人机在A处正上方97m处的P点，测得B处的俯角为30°（当时C处被小山体阻挡无法观测），无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处俯角为80°36′．
（1）求主桥AB的长度；
（2）若两观察点P、D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长．
（长度均精确到1m，参考数据：≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06）
【答案】(1).168m；(2).32m．
（2）∵∠ABP=30°、AP=97，∴PB=2PA=194，
又∵∠DBC=∠DBA=90°、∠PBA=30°，∴∠DBP=∠DPB=60°，
∴△PBD是等边三角形，∴DB=PB=194，
在Rt△BCD中，∵∠C=80°36′，
∴BC=≈32，
答：引桥BC的长约为32m．
考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F．
（1）连接CQ，证明：CQ=AP；
（2）设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE=BC；
（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）当x=3或1时，CE=BC；（3）.结论：PF=EQ，理由见解析.
∵AP=x，∴PC=4﹣x，
∵△PBQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，
∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°，∴∠CPQ=∠ABP，
∵∠BAC=∠ACB=45°，∴△APB∽△CEP，∴，
∴，∴y=x（4﹣x）=﹣（0＜x＜4），
由CE=BC=，∴y=﹣，
x2﹣4x=3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x=3或1，
∴当x=3或1时，CE=BC；
（3）解：结论：PF=EQ，理由是：
如图3，当F在边AD上时，过P作PG⊥FQ，交AB于G，则∠GPF=90°，
∵∠BPQ=45°，∴∠GPB=45°，∴∠GPB=∠PQB=45°，
∵PB=BQ，∠ABP=∠CBQ，∴△PGB≌△QEB，∴EQ=PG，
∵∠BAD=90°，∴F、A、G、P四点共圆，
连接FG，∴∠FGP=∠FAP=45°，
考点：四边形综合题．如图所示，RtPAB的直角顶点P（3，4）在函数y=（x0）的图象上，顶点A、B在函数y=（x0，0t＜k）的图象上，PAx轴，连接OP，OA，记OPA的面积为SOPA，PAB的面积为SPAB，设w=SOPA﹣SPAB．
求k的值以及w关于t的表达式；
若用wmax和wmin分别表示函数w的最大值和最小值，令T=wmaxa2﹣a，其中a为实数，求Tmin．
求k的值以及w关于t的表达式；Tmin=．
反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特
4.（2017内蒙古通辽第22题）如图，物理老师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在的位置时俯角，在的位置时俯角.若，点比点高.
求（1）单摆的长度（）；
（2）从点摆动到点经过的路径长（）.
【答案】（1）单摆的长度约为18.9cm从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm
考点：1、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2轨迹次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为阶准菱形，如图1，□为1阶准菱形.
（1）猜想与计算
邻边长分别为3和5的平行四边形是阶准菱形；已知□的邻边长分别为（），满足，，请写出□是阶准菱形.
（2）操作与推理
小明为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把□沿折叠（点在上），使点落在边上的点处，得到四边形.请证明四边形是菱形.
【答案】（1）3，12（1）利用平行四边形准菱形的意义即可得出结论；
（2）先判断出AEB=∠ABE，进而判断出AE=BF，即可得出结论．（1）如图1，
利用邻边长分别为3和5的平行四边形进行3次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，
故邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形：
如图2，
b=5r，
a=8b+r=40r+r=8×5r+r，
利用邻边长分别为41r和5r的平行四边形进行84=12次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，
故邻边长分别为41r和5r的平行四边形是12阶准菱形：
故答案为：3，12
四边形综合题城市在城市正东方向，现计划在两城市间修建一条高速铁路（即线段），经测量，森林保护区的中心在城市的北偏东方向上，在线段上距城市的处测得在北偏东方向上，已知森林保护区是以点为圆心，为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？
（参考数据：）
【答案】这条高速公路不会穿越保护区与轴交于两点，与轴交于点，且，直线与轴交于点，点是抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点.
（1）试求该抛物线的表达式；
（2）如图（1），若点在第三象限，四边形是平行四边形，求点的坐标；
（3）如图（2），过点作轴，垂足为，连接，
①求证：是直角三角形；
②试问当点横坐标为何值时，使得以点为顶点的三角形与相似？
【答案】（1）y=x2+x﹣4点P的坐标为（﹣，﹣）或（﹣8，﹣4），点P的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与ACD相似．由两点间的距离公式可知：AC2=2242=20，DC2=8242=80，AD2=100，
AC2+CD2=AD2．
ACD是直角三角形，且ACD=90°．
由得ACD=90°．
当ACD∽△CHP时，，即或，
解得：n=0（舍去）或n=﹣5.5或n=﹣10.5．
当ACD∽△PHC时，，即或．
解得：n=0（舍去）或n=2或n=﹣18．
综上所述，点P的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与ACD相似．是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，沿的方向以的速度运动，当不与点重合是，将绕点逆时针方向旋转得到，连接.
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长；
若不存在，请说明理由.
（3）当点在射线上运动时，是否存在以为顶点的三角形是直角三角形？
若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）详见解析；（2）存在，24；当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．（3）存在，当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，
当点D与点B重合时，不符合题意，
当0t＜6时，由旋转可知，ABE=60°，BDE＜60°，
BED=90°，
由（1）可知，CDE是等边三角形，
DEB=60°，
CEB=30°，
CEB=∠CDA，
CDA=30°，
CAB=60°，
ACD=∠ADC=30°，
DA=CA=4，
OD=OA﹣DA=6﹣4=2，
t=2÷1=2s；
当6t＜10s时，由DBE=120°＞90°，
此时不存在；
当t10s时，由旋转的性质可知，DBE=60°，
又由（1）知CDE=60°，
的图象与性质进行了研究，下面是小慧的研究过程，请补充完成：
⑴函数的自变量的取值范围是；
⑵列表，找出与的几组对应值.
其中，；
⑶在平面直角坐标系中，描出以上表中各队对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
⑷写出该函数的一条性质：.
【答案】（1）任意实数；（2）2；（3）详见解析；（4）函数的最小值为0（答案不唯一）．
考点：一次函数的性质；一次函数的图象．
10.（2017湖北咸宁第23题）定义：
数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”.
理解：
⑴如图，已知是⊙上两点，请在圆上找出满足条件的点，使为“智慧三角形”（画出点的位置，保留作图痕迹）；
⑵如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由；
运用：
⑶如图，在平面直角坐标系中，⊙的半径为，点是直线上的一点，若在⊙上存在一点，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点的坐标.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）P的坐标（﹣，），（，）．考点：圆的综合题．
11.（2017湖北咸宁第24题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其对称轴交抛物线于点，交轴于点，已知.
⑴求抛物线的解析式及点的坐标；
⑵连接为抛物线上一动点，当时，求点的坐标；
⑶平行于轴的直线交抛物线于两点，以线段为对角线作菱形，当点在轴上，且时，求菱形对角线的长.
【答案】（1）y=x2﹣2x﹣6D（2，﹣8）；F点的坐标为（7，）或（5，﹣）；菱形对角线MN的长为1或﹣1．
∴，即=，
当点F在x轴上方时，则有，解得x=﹣2（舍去）或x=7，此进F点坐标为（7，）；
当点F在x轴上方时，则有得x=﹣2（舍去）或x=5，此进F点坐标为（5，﹣）；
综上可知F点的坐标为（7，）或（5，﹣）；
（3）点P在x轴上，
由菱形的对称性可知P（2，0），
如图2，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点，
【答案】（1）ABC为等腰三角形，证明见解析；（2）AM=．三角形的内切圆与内心．以菱形的函数关系式；
当为直角三角形，求点的坐标.
【答案】（1）直线BC的解析式为y=x﹣2；
（2）当点P在边BC上时，y=10a224a+48；
当点P在边CD上时，y=10a2﹣40a48；
（3）点P的坐标为（，2﹣），（4，0）．POM是直角三角形，
Ⅰ、当POM=90°时，
OP2+OM2=PM2，
5a2﹣16a16+16=5a2﹣24a32，
a=0，
P（4，0），
Ⅱ、当MPO=90°时，OP2PM2=5a2﹣16a16+5a2﹣24a32=10a2﹣40a48=OM2=16，
a=2+（舍）或a=2﹣，
P（，2﹣），
即：当OPM为直角三角形时，点P的坐标为（，2﹣），（4，0）．四边形综合题．
（2017哈尔滨第题）如图，在平面直角坐标系中，点坐标原点，抛物线轴于两点，交于点直线过两点.
(1)求抛物线的解析式；
2)过点直线交抛物线于另一点点直线方抛物线上的一个动点，在抛物线对称轴的右侧，过点轴于点交于点交点连接点于点设点横坐标为线段长为求之间的函数关系式(不要求写出自变量取值范围)；
(3)在(2)的条件下，连接过点于点(点线段)，于点连接于点当求线段长.
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）d=t；（3）MN=．
（3）如图2，
y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，对称轴为x=1，由抛物线对称性可得D（2，﹣3），CD=2，
过点B作BKCD交直线CD于点K，四边形OCKB为正方形，OBK=90°，CK=OB=BK=3，DK=1，
BQ⊥CP，CQB=90°，
过点O作OHPC交PC延长线于点H，ORBQ交BQ于点I交BK于点R，OHC=∠OIQ=∠OIB=90°，
四边形OHQI为矩形，
OCQ+∠OBQ=180°，OBQ=∠OCH，OBQ≌△OCH，QG=OS，GOB=∠SOC，SOG=90°，
ROG=45°，
OR=OR，OSR≌△OGR，SR=GR，SR=CS+BR，
BOR+∠OBI=90°，IBO+∠TBK=90°，BOR=∠TBK，tan∠BOR=tan∠TBK，=，
BR=TK，
CTQ=∠BTK，QCT=∠TBK，tan∠QCT=tan∠TBK，
设ST=TD=m，SK=2m+1，CS=2﹣2m，TK=m1=BR，SR=3﹣m，RK=2﹣m，
在RtSKR中，SK2+RK2=SR2，（2m1）2（2﹣m）2=（3﹣m）2，解得m1=﹣2（舍去），m2=；
ST=TD=，TK=，tan∠TBK==÷3=，tan∠PCD=，
过点P作PE′x轴于E′交CD于点F′，
CF′=OE′=t，PF′=t，PE′=t+3，P（t，﹣t﹣3），﹣t﹣3=t2﹣2t﹣3，
二次函数综合题．
沿对角线所在的直线折叠，点落在点处，与轴相交于点．矩形的边，的长是关于的一元二次方程的两个根，且．
（1）求线段，的长；
（2）求证：，并求出线段的长；
（3）直接写出点的坐标；
（4）若是直线上一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（2）四边形ABCO是矩形，AB=OC，ABC=∠AOC=90°，
把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠，点B落在点D处，AD=AB，ADE=∠ABC=90°，
AD=OC，ADE=∠COE，在ADE与COE中，，ADE≌△COE；
CE2=OE2+OC2，即（8﹣OE）2=OE242，OE=3；
（3）过D作DMx轴于M，则OEDM，
OCE∽△MCD，，CM=，DM=，OM=，
D（﹣，）；
（4）存在；OE=3，OC=4，CE=5，过P1作P1HAO于H，四边形P1ECF1是菱形，P1E=CE=5，P1EAC，
P1EH=∠OAC，=，设P1H=k，HE=2k，P1E=k=5，P1H=，HE=2，
OH=2+3，P1（﹣，23），同理P3（，3﹣2），
当A与F重合时，四边形F2ECP2是菱形，EF2∥CP2，EF2，=CP2=5，P2（4，5）；
当CE是菱形EP4CF4的对角线时，四边形EP4CF4是菱形，EP4=5，EP4AC，
如图2，过P4作P4Gx轴于G，过P4作P4NOE于N，则P4N=OG，P4G=ON，EP4AC，=，
设P4N=x，EN=2x，P4E=CP4=x，P4G=ON=3﹣2x，CG=4﹣x，（3﹣2x）2（4﹣x）2=（x）2，
x=，3﹣2x=，P4（，），
综上所述：存在以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形，P（﹣，23），（，3﹣2），（4，5），（，）．
四边形综合题．为某公园的三个景点，景点和景点之间有一条笔直的小路，现要在小路上建一个凉亭，使景点、景点到凉亭的距离之和等于景点到景点的距离．请用直尺和圆规在所给的图中作出点．(不写作法和证明，只保留作图痕迹)
【答案】作图见解析.
理由：MN垂直平分线段AC，PA=PC，PC+PB=PA+PB=AB．作图—应用与设计作图．
交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，横坐标为的点在直线上方的抛物线上，过点作轴交直线于点，以为直径的圆交直线于另一点．当点在轴上时，求的周长；
（3）将绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转，得到，点的对应点分别是．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为：y=﹣x2x+1；
（2）DEM的周长=；
（3）点A1（，）或（﹣，）．（2）如图1，直线y=﹣x1交x轴于点A，
当y=0时，﹣x1=0，x=，A（，0），OA=，
在RtAOB中，OB=1，AB=，sin∠ABO=，cosABO=，
ME∥x轴，
DEM=∠ABO，
以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，
EDM=90°，
DE=ME?cos∠DEM=ME，DM=ME?sinDEM=ME，
当点E在x轴上时，E和A重合，则m=OA=，
当x=时，y=﹣）2+×+1=；ME=，
DE==，DM==，
DEM的周长=DEDM+ME==；
（3）由旋转可知：O1A1x轴，O1B1y轴，设点A1的横坐标为x，则点B1的横坐标为x1，
O1A1⊥x轴，
点O1，A1不可能同时落在抛物线上，分以下两种情况：
如图2，当点O1，B1同时落在抛物线上时，
点O1，B1的纵坐标相等，
﹣x2x+1=﹣（x1）2（x1）1，
二次函数综合题．
，已知矩形.用尺和圆下列作图，图痕迹：
点圆心，以长为半径画弧交边点连接
②作的平分交；
③连接;
（2）在（1）作出的图形中，若的值为.
【答案】（1）画图见解析；（2）.
【解析】
考点：作图﹣基本作图；全等三角形的判定与性质；解直角三角形，，，是直径为的上的四个点，是劣弧的中点，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求证：是正三角形；
（3）在（2）的条件下，过点作的切线，交的延长线于点，求的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）△ACH的面积（1）由圆周角定理得出DAC=∠CDB，证明ACD∽△DCE，得出对应边成比例，即可得出结论；
（2）AE=2，EC=1，AC=3，DC2=CE?AC=1×3=3，DC=，
连接OC、OD，如图所示：
C是劣弧的中点，OC平分DOB，BC=DC=，
AB是O的直径，ACB=90°，AB==2，
OB=OC=OD=DC=BC=，OCD、OBC是正三角形，COD=∠BOC=∠OBC=60°，AOD=180°﹣260°=60°，
OA=OD，AOD是正三角形；
（3）CH是O的切线，OC⊥CH，COH=60°，H=30°，
BAC=90°﹣60°=30°，H=∠BAC，AC=CH=3，
AH=3，AH上的高为BC?sin60°=，ACH的面积=3×=．
圆的综合题．
中，抛物线与轴交于点，其顶点记为，自变量和对应的函数值相等．若点在直线：上，点在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设对称轴右侧轴上方的图象上任一点为，在轴上有一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出相应的点横坐标的取值范围；
（3）直线与抛物线另一点记为，为线段上一动点（点不与重合）．设点坐标为，过作轴于点，将以点，，，为顶点的四边形的面积表示为的函数，标出自变量的取值范围，并求出可能取得的最大值．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=4x2﹣16x8；（2）当x=时，PCO=∠ACO，当2＜x＜时，PCO＜∠ACO，当x＜4时，PCO＞∠ACO；（3）（3）解方程组，解得：，D（﹣1，28），
Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合），Q（t，﹣12t16）（﹣1t＜2），
当﹣1t＜0时，S=（﹣t）（﹣12t16﹣8）8（﹣t）=6t2﹣12t=6（t﹣1）2﹣6，
﹣1t＜0，当t=-1时，S最大=18；
当0t＜时，S=t?8t（﹣12t16）=﹣6t212t=﹣6（t﹣1）26，0＜t＜，当t=1时，S最大=6；
当t＜2时，S=t?8（12t﹣16）=6t2﹣4t=6（t﹣）2﹣，
＜t＜2，此时S=为最大值．
二次函数综合题．的顶点分别在轴，.若抛物线经过两点，且顶点在边上，对称轴交于点，点的坐标分别为
（1）求抛物线的解析式；
（2）猜想的形状并加以证明；在对称轴右侧的抛物线上，点在轴上，请问是否存在以点的坐标；若不存在，请说明理由x2+3x；（2）△EDB为等腰直角三角形，证明见解析；（3）存在．点M坐标为（，2）或（，﹣2）．
①当AF为平行四边形的一边时，则M到x轴的距离与F到x轴的距离相等，即M到x轴的距离为2，
∴点M的纵坐标为2或﹣2，
在y=﹣x2+3x中，令y=2可得2=﹣x2+3x，解得x=，
∵点M在抛物线对称轴右侧，
∴x＞2，
∴x=，
∴M点坐标为（，2）；
在y=﹣x2+3x中，令y=﹣2可得﹣2=﹣x2+3x，解得x=，
∵点M在抛物线对称轴右侧，
∴x＞2，
∴x=，
考点：二次函数综合题．
22.（2017湖南张家界第23题）已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．
（1）求c1的解析式；
（2）若直线l1：y=xm与c1仅有唯一的交点，求m的值；
（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：两个交点；三个交点；四个交点；
（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使PAB为等腰三角形．
【答案】；（2）；（3）①4；②3；③3＜n＜4或n3；（4）（﹣5，0）或（3﹣，0）或（3，0）或（﹣1，0）．
（2）解得，直线l1：y=xm与c1仅有唯一的交点，=9﹣4m12=0，m=；
（3）抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，抛物线c2的顶点坐标为（1，4），与y轴的交点为（0，3），抛物线c2的解析式为：，当直线l2过抛物线c1的顶点（﹣1，4）和抛物线记作c2的顶点（1，4）时，即n=4时，l2与c1和c2共有两个交点；
当直线l2过D（0，3）时，即n=3时，l2与c1和c2共有三个交点；
当3n＜4或n3时，l2与c1和c2共有四个交点；
（4）如图，若c2与x轴正半轴交于B，B（3，0），OB=3，AB==：
①当AP=AB=时，PB=8，P1（﹣5，0）当AB=BP=时，P2（3﹣，0）或P3（3，0）当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，PA=PB=4，P4（﹣1，0）综上所述，点P的坐标为（﹣5，0）或（3﹣，0）或（3，0）或（﹣1，0）时，PAB为等腰三角形．
考点：中，抛物线的开口向上，且经过点.
（1）若此抛物线经过点，且与轴相交于点.
①填空：（用含的代数式表示）；
②当的值最小时，求抛物线的解析式；
（2）若，当，抛物线上的点到轴距离的最大值为3时，求的值.
【答案】（1）﹣2a﹣1，②抛物线解析式为y=x2﹣3x；（）1或﹣5
（2）当a=时，抛物线解析式为y=x2bx+，
抛物线对称轴为x=﹣b，
只有当x=0、x=1或x=﹣b时，抛物线上的点才有可能离x轴最远，
当x=0时，y=，当x=1时，y=b+=2+b，当x=﹣b时，y=（﹣b）2b（﹣b）=﹣b2，
当2+b|=3时，b=1或b=﹣5，且顶点不在0x＜1范围内，满足条件；
当﹣b2|=3时，b=3，对称轴为直线x=3，不在0x＜1范围内，故不符合题意，
综上可知b的值为1或﹣5．二次函数综合题一元二次方程根的判别式如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连结CE，过点C作CFCE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．
（1）求证：CDE≌△CBF；
（2）当DE=时，求CG的长；
（3）连结AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．
）解析；（）（）能
（2）在正方形ABCD中，ADBC，
GBF∽△EAF，，
由（1）知，CDE≌△CBF，
BF=DE=，
正方形的边长为1，AF=AB+BF=，AE=AD﹣DE=，
，BG=，CG=BC﹣BG=；
（3）不能，
理由：若四边形CEAG是平行四边形，则必须满足AECG，AE=CG，
正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定抛物线y=ax2bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）该抛物线与直线相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PMy轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．
连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；
连结PB，过点C作CQPM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得CNQ与PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
）（）①；②存在，（2，）或（，）
【解析】
（2）点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，
可设P（t，）（1t＜5），
直线PMy轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，
M（t，0），N（t，），
PN=.
联立直线CD与抛物线解析式可得，解得或，
C（0，3），D（7，），
分别过C、D作直线PN的直线，垂足分别为E、F，如图1，
②存在．
CQN=∠PMB=90°，
当CNQ与PBM相似时，有或两种情况，
CQ⊥PM，垂足为Q，
Q（t，3），且C（0，3），N（t，），
CQ=t，NQ=﹣3=，
，
P（t，），M（t，0），B（5，0），
BM=5﹣t，PM=0﹣（）=，
当时，则PM=BM，即，解得t=2或t=5（舍去），此时P（2，）；
当时，则BM=PM，即5﹣t=（），解得t=或t=5（舍去），此时P（，）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为P（2，）或（，）．二次函数的综合应用，待定系数法函数图象的交点二次函数的性质相似三角形的判定和性质方程思想分类讨论思想．为⊙的直径，分别切⊙于点交的延长线于点，的延长线交⊙于点于点.
⑴求证；
⑵若，求的长.
【答案】(1)；(2).
考点：切线的性质；勾股定理；垂径定理相似三角形的判定与性质与轴交于点（在的左侧），与轴交于点.
⑴求直线的解析式；
⑵抛物线的对称轴上存在点，使，利用图求点的坐标；
⑶点在轴右侧的抛物线上，利用图比较与的大小，并说明理由.
【答案】（1）y=﹣x3；（）（1，22）或（1，﹣2﹣2）（）当Q点横坐标为5时，OCA=∠OCQ；当Q点横坐标大于5时，则OCQ逐渐变小，故OCA＞∠OCQ；当Q点横坐标小于5且大于0时，则OCQ逐渐变大，故OCA＜∠OCQ．
（2）OB=OC，ABC=45°，
y=﹣x22x+3=﹣（x﹣1）24，抛物线对称轴为x=1，
设抛物线对称轴交直线BC于点D，交x轴于点E，当点P在x轴上方时，如图1，
APB=∠ABC=45°，且PA=PB，
PBA=，DPB=∠APB=22.5°，
PBD=67.5°﹣45°=22.5°，DPB=∠DBP，DP=DB，
在RtBDE中，BE=DE=2，由勾股定理可求得BD=2，
PE=2+2，P（1，22）；
当点P在x轴下方时，由对称性可知P点坐标为（1，﹣2﹣2）；
综上可知P点坐标为（1，22）或（1，﹣2﹣2）；
（3）设Q（x，﹣x22x+3），当点Q在x轴下方时，如图2，过Q作QFy轴于点F，
考点：二次函数综合题解一元二次方程三角形的判定与性质；勾股定理如图，的直径，点上，为的中点，直径一动点.
(1)利用尺规作图，确定当时的位置(不写作法，但要保留作图痕迹).
(2)求最小值.
【答案】（1）详见解析；(2)2.
试题分析：(1)画出A点关于MN的称点,连接B,就可以得到P点;(2)利用得∠AON=∠=60°，又为弧AN的中点．
在Rt△中，
即的最小值为2.
考点：圆，最短路线问题．知函数，k、b为整数且.
(1)讨论取值.
(2)分别出两种函数的所有图象.(需列表)
(3)求的交点个数.
【答案】(1);(2)详见解析；（3）4.
综上所述，函数的交点个数为4个.
考点：一次函数，反比例函数，分类讨论思想，图形结合思想．，与直线于.
（1）求抛物线解析式；是抛物线上的一个动点与、点合），过点直线于点交直线点.
时，点坐标；存在使为等腰三角形，若存在请直接写出的坐标，若不存在，请说明y=﹣x24x+5；P点坐标为（2，9）或（6，﹣7）；（，）或（4，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）或（0，5）．当BE=CE时，则x﹣4=，解得x=，此时P点坐标为（，）；
当BE=BC时，则x﹣4=，解得x=4或x=4﹣，此时P点坐标为（4，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）；
当CE=BC时，则=，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为（0，5）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（4，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）或（0，5）．
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