中年级·11.2
1.甲、乙、丙、丁、戊围坐在圆形桌子边玩扑克,甲有自己的固定座位.如果乙和丁的座
位不能相邻,那么共有种不同的围坐方法.
【答案】12
【解析】先排甲、丙、戊，甲有固定位置，所以有2种方法；再将乙和丁插空排入，有
3×2=6种方法，一共是2×6=12种。如果没学过插空法，其实可以枚举一下。
2.用8个3和1个0组成的九位数有若干个,其中除以4余1的有（）个.（第19届华
杯赛初赛）
【答案】6
【解析】除以4的余数看末两位。末两位除以4余1整个数就除以4余1，所以末两位
只能是33,；前面有7的数位，由3和0组成，首位不能为0,0有6个位子可以选，其
余都是3，所以有6个这样的数
3.用1，2，3，4，5五个数字组成没有重复数字的五位数，若按从小到大的顺序排列，
则32154是第几个数？
【答案】56
【解析】首位是1和2的各有4×3×2个，首位数（指：将前两位捆绑在一起看成一位）
是31的有3×2个，再下来就是32145，32154，故为第56个。
4.有甲、乙、丙、丁四个人过河，河上有一条小船，每次能装2个人，这样就要求每次
必须有一个人划船回来接其他人过河，请问共有多少种过河的方式？
【答案】108
【解析】第一次过河的人选有6种可能，回来的时候有2种可能，第二次过河的两个人
选又有3种可能，回来的时候有3种可能，第三次过河只有1种可能，所以共有108种
过河的方式。6×2×3×3=108
高年级·11.2
1.满足下列两个条件的四位数共有个（第17届华杯赛初赛网络）
任意相邻两位数字之和均不大于2；
任意相邻三位数字之和均不小于3.
【答案】1
【解析】根据题意可知每位数字均不小于1且均不大于1，所以满足条件的只有1111.
2.一个四位数，各位数字互不相同，所有数字之和等于6，并且这个数是11的倍数，则
满足这种要求的四位数共有个（第18届华杯赛初赛B卷）
【答案】6
【解析】根据题意，这类四位数只能由0，1，2，3组成.由于这类四位数是11的倍数，
则奇数位上的数字和等于偶数位上的数字和.偶数位上的数字为{3,0}，奇数位上的数
字为{1,2}；或者偶数位上的数字为{1,2}，奇数位上的数字{3,0}.因此只有下面的六种
情况：3102，3201，2310，2013，1023，1320.
3.以平面上4个点为端点连接线段，形成的图形中最多可以有个三角形（第17
届华杯赛初赛笔试）
【答案】8
【解析】平面上4个点只有下述四种情况：
4.以平面上任意4个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多
有个（第20届华杯赛初赛）
【答案】4
【解析】因为以4个点为顶点最多有4个三角形，作一个以4个点为顶点，且4个三
角形均为钝角三角形的例子即可：
如右图，作三角形ABD，∠DAB=91°，∠BDA=2°，则∠ABD=87°.再以BD为边，作三
角形BCD，∠CDB=91°，∠DBC=32°，所以，∠ABC=119°，则三角形ABC，三角形
BCD，三角形CDA和三角形DAB都是钝角三角形.
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