第十章材料3
三大数学流派简介-----对数学基础的反思
集合论在19世纪末由康托建立后,集合概念成为最基本、应用最广的一个概念，人们曾
经相信，全部数学的基础理论可用集合概念统一起来。1900年，在巴黎召开的国际数学家
大会上，庞加莱曾满怀信心的说：“现在我们可以说，完全的严格化已经达到了。”可是这话
说出后还不到3年，英国数学家罗素于1902年给德国数学家弗雷格的信中提出一个集合悖
论，使数学基础发生动摇，用弗雷格的话说：“突然它的一块基石崩塌下来了。”
集合论中为什么会产生矛盾这个非常根本的问题，涉及数学逻辑推理的可信性和数学命
题的真理性问题，属于数学哲学的范畴。
从1900年到1930年的30年间，许多数学家卷入了一场关于数学哲学基础的讨论，并逐
渐形成不同的数学基础学派的争论，主要有逻辑主义、形式主义和直觉主义三个学派。
一、逻辑主义
1.逻辑主义的历史渊源
逻辑主义的形成究其本原可以追溯到莱布尼兹时代，他把逻辑学想象成一种普遍的科
学，这种科学包括构成其它所有科学的基础的一些原则，这种逻辑学先于一切科学的观点，
即是逻辑主义思想原则的萌芽。但他并未能开展这一方面的工作。到了19世纪，戴德金、
弗雷格和皮亚诺等人继承莱氏先志，逐步发挥，并且都取得了不小的成就。
2逻辑主义的基本思想
逻辑主义的主要代表人物是英国著名的数学家、哲学家和逻辑学家罗素，他与怀特海于
1913年完成了逻辑主义的经典代表作---《数学原理》。作者企图在这3卷本的数学巨著中向
人们说明：全部数学可以以一个逻辑公理系统严格推导出来，也就是说可以从逻辑概念出发
用明显的定义得出数学概念；由逻辑命题开始用纯逻辑的演绎推得数学定理。从而，使全部
数学都可以从基本的逻辑概念和逻辑规则而推导出来。这样，就可以把数学看成是逻辑学延
伸或分支。所以，罗素说：“逻辑学是数学的青年时代，而数学是逻辑学的壮年时代。”“数
学即逻辑。”
要从逻辑推出全部数学，就必须发展集合论，而集合论是自相矛盾的，没有相容性的，
但是，在逻辑系统中是不允许有矛盾的，因此，必须排除悖论。
可后来罗素与怀特海所做的工作并没有很好的解决这个问题，进而遭遇了不少困难。
数学基础学家一般都不接受“数学就是逻辑”的观点；同样也不能接受“一切数学思维
都是逻辑思维”的说法。但是，尽管如此。罗素与怀特海和著的《数学原理》一书在20世
纪的科学技术发展中影响很大。它以当时最严格的形式化的符号语言来陈述作者建立的逻辑
体系、定义和定理，从而标志符号逻辑方法的成功。并显示了数学的逻辑基础研究的意义，
因而进一步的显示了现代逻辑的科学意义。
《数学原理》一书成为名著。尽管逻辑主义的主张不能实现，逻辑主义的数学观不能为
数学基础学者所广泛接受，但此书在方法论上的意义是不可忽视的。他们相当成功的把古典
数学纳入了一个统一的公理系统，使之能从几个逻辑概念和公理出发，再加上集合论的无穷
公理就能推出康托集合论、一般算术和大部分数学来。这把逻辑推理发展到前所未有的高度，
使人们看到，在数理逻辑演算的基础上能够推演出许多数学内容来，形成了集合论公理系统
的逻辑体系，这在逻辑史上是一件大事，对数理逻辑后来的发展起了决定作用，是近代公理
方法的一个重要起点。
二、形式主义
一般认为，形式主义的奠基人是希尔伯特。
1.形式主义的基本思想
希尔伯特计划的主要思想就是：奠定一门数学的基础，应该严格的、数学的证明这门数学
的协调性（即无矛盾性或一致性、相容性）；希尔伯特计划的数学内容就是数理逻辑中的证
明论。
希尔伯特与贝尔奈斯合著的两卷《数学基础》是希尔伯特计划的代表作。
2希尔伯特计划，将各门数学形式化，构成形式系统，然后用一种初等方法证明各个形式系
统的相容性，即无矛盾性，从而导出全部数学的无矛盾性。
希尔伯特原来设想，数学的相容性证明可以限于有穷的构造性方法范围之内。但是研究
表现，这个范围应当加以扩充。哥德尔的不完备性定理说，证明一门数学的无矛盾性不可能
在本门数学内做出，必须在一门较之更强的数学中才可能做出。这定理说明希尔伯特的原计
划是不可能成功的。但是希尔伯特的数学基础思想却发展了元数学，这就把形式心理学向前
推进了一步，促进了数学的发展。现在，元数学（证明论）已发展为数理逻辑的四大分支之
一。
形式主义的代表人物有美国数学家鲁滨逊和柯恩等人。他们认为：数学应该被看作一种
纯粹的纸上符号游戏，对这种形式的唯一要求是不会导致矛盾。
但是，这种形式主义思想显然与希尔伯特的主张是不同的。
3“哥德尔不完全性定理”：形式系统的相容性在本系统内不能证明。
4“哥德尔不完全性定理”是希尔伯特的纲领受到沉重的打击。
三、直觉主义
1.直觉主义的数学观思想
直觉主义的奠基人和代表人物是荷兰数学家布劳威尔。
他的数学观包括以下几个方面：
(1)他对数学对象的观点。他提出一个著名的口号：“存在即是被构造。”他认为，人们
对数学的认识不依赖于逻辑和语言经验，而是“原始直觉”（即人皆有的一种能力），纯粹数
学是“心智的数学构造自身”、是“反身的构造”，它“开始于自然数”，而不是集合论。这
种数学构造之成为构造，与这种构造物的性质无关，与其本身是否独立于人们的知识无关，
与人们所持的哲学观点也无关。构造物应该怎样就怎样，数学判断应该是永恒的真理。
(2)对数学所用的逻辑的观点。布劳威尔对数学对象的观点直接导出了他对数学所用的逻
辑观点；认为“逻辑不是发现真理的绝对可靠的工具”，并认为，在真正的数学证明中不能
使用排中律，因为排中律和其他经典逻辑规律是从有穷集抽象出来的规律，因此不能无限制
的使用到无穷集上去。同样不能使用反证法。
直觉主义对20世纪数学的发展产生很大的影响。本世纪30年代以后，由于歌德尔的工
作，许多数学家开始重视直觉主义。数学家们纷纷尝试用构造法建立实数理论、数学分析以
至全部数学，得出不少重要结果。
构造性数学已经成为数学科学中一个重要的数学学科群体，与计算机科学密切相关。
1967年，美国数学家毕肖普出版《构造性分析》，开始了直觉主义学派的构造主义时期。
|
|
