专题12探索性问题
一、选择题
1．（2017年贵州省黔东南州第10题）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（）
A．2017 B．2016 C．191 D．190
【答案】D
【解析】
考点：完全平方公式
2.（2017年内蒙古通辽市第10题）如图，点在直线上方，且，于，若线段，，，则与的函数关系图象大致是（）
A． B．C．D．动点问题的函数图象如图，过点A（2，0）作直线l：的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：AA1，A1A2，A2A3，…，则线段A2016A2107的长为（）
B．C．D．
【答案】．
考点：
4．2017年山东省日照市如图，BAC=60°，点O从A点出发，以2m/s的速度沿BAC的角平分线向右运动，在运动过程中，以O为圆心的圆始终保持与BAC的两边相切，设O的面积为S（cm2），则O的面积S与圆心O运动的时间t（s）的函数图象大致为（）
A． B． C． D．
【答案】D．
试题分析：∵∠BAC=60°，AO是∠BAC的角平分线，
∴∠BAO=30°，
设⊙O的半径为r，AB是⊙O的切线，
∵AO=2t，
∴r=t，
∴S=πt2，
∴S是圆心O运动的时间t的二次函数，
∵π＞0，
∴抛物线的开口向上，
故选D．
考点：动点问题的函数图象．
5．2017年山东省日照市观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）
A．23 B．75 C．77 D．139，，，，，，，根据这个规律，则的末尾数字是
A．B．C.D．
【答案】B．∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，
∴2017÷4=506…1，
∵（2+4+8+6）×506+2=10122，
∴21+22+23+24+…+22017的末位数字是2，
故选B．．2017年贵州省毕节地区观察下列运算过程：
计算：12+22+…+210．
解：设S=12+22+…+210，
①×2得
2S=222+23+…+211，?
②﹣得
S=211﹣1．
所以，12+22+…+210=211﹣1
运用上面的计算方法计算：13+32+…+32017=．
.
考点：规律型：数字的变化类．
【答案】（0，﹣）规律型：点的坐标
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有______个点.
【答案】135
【解析】
试题分析：仔细观察图形：第一个图形有3=31=3个点，
第二个图形有36=3×（12）=9个点；
第三个图形有36+9=3×（12+3）=18个点；
…
第n个图形有36+9+…+3n=3×（12+3+…+n）=个点；
当n=9时，=135个点，
故答案为：135．
规律型：图形的变化类次拼成的图案用地砖块.
【答案】2n2+2n
考点：规律题目.（2017年山东省潍坊市第17题）如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成按照此规律，第个图中正方形和等边三角形的个数之和为?
【答案】9n+3
考点：规律型：图形的变化类，则．
【答案】.
【解析】
试题分析：由题意给出的5个数可知：an=当n=8时，a8=
考点：数字规律问题.
7．（2017年四川省内江市第26题）观察下列等式：
；
第二个等式：；
第三个等式：；
第四个等式：；
按上述规律，回答下列问题：
（1）请写出第六个等式：a6==；
（2）用含n的代数式表示第n个等式：an==；
（3）a1a2+a3+a4+a5+a6=（得出最简结果）；
（4）计算：a1a2+…+an．
【答案】，，；（4）．
【解析】
考点：
（1）求证：△ACD≌△EDC;
（2）请探究△BDE的形状，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析（2）△BDE是等腰三角形矩形的性质；2全等三角形的判定与性质；3平移的性质为一个矩形纸片，，，动点自点出发沿方向运动至点后停止.以直线为轴翻折，点落到点的位置.设，与原纸片重叠部分的面积为.
（1）当为何值时，直线过点？
（2）当为何值时，直线过的中点？
（3）求出与的函数关系式.
【答案】（1）当x=时，直线AD1过点C当x=时，直线AD1过BC的中点E当0x≤2时，y=x；当2x≤3时，y=
（1）
如图1，由题意得：ADP≌△AD1P，
AD=AD1=2，PD=PD1=x，D=∠AD1P=90°，
直线AD1过C，
PD1⊥AC，
在RtABC中，AC=，CD1=﹣2，
在RtPCD1中，PC2=PD12CD12，
即（3﹣x）2=x2（﹣2）2，
解得：x=，
当x=时，直线AD1过点C；
（2）如图2，
（3）如图3，
当0x≤2时，y=x，
如图4，
综合上述，当0x≤2时，y=x；当2x≤3时，y=．
勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，分类推理思想是边长为4的正方形，点在边所在的直线上，连接，以为边，作正方形（点，点在直线的同侧），连接
（1）如图1，当点与点重合时，请直接写出的长；
（2）如图2，当点在线段上时，
①求点到的距离
②求的长
（3）若，请直接写出此时的长
【答案】(1)BF=4;(2)①点到的距离为3；②BF=；(3)AE=2+或AE=1.
【解析】
试题解析：
(1)BF=4;
(2)如图，
①过点F作FHAD交AD的延长线于点H，
∵四边形CEFG是正方形
即点到的距离为3.
②延长FH交BC的延长线于点K，
∴∠DHK=∠HDC=∠DCK=90°，
∴四边形CDHK为矩形，
∴HK=CD=4,
∴FK=FH+HK=3+4=7
∵
∴EH=CD=AD=4
∴AE=DH=CK=1
∴BK=BC+CK=4+1=5,
在Rt△BFK中，BF=
(3)AE=2+或AE=1.
考点：四边形综合题.
4.（2017年湖南省岳阳市第23题）（本题满分10分）
问题背景：已知的顶点在的边所在直线上（不与，重合）．交所在直线于点，交所在直线于点．记的面积为，的面积为．
（1）初步尝试：如图①，当是等边三角形，，，且，时，则；
（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点沿平移，使，再将绕点旋转至如图②所示位置，求的值；
（3）延伸拓展：当是等腰三角形时，设．
（I）如图③，当点在线段上运动时，设，，求的表达式（结果用，和的三角函数表示）．
（II）如图④，当点在的延长线上运动时，设，，直接写出的表达式，不必写出解答过程．
【答案】(1)12;(2)12；（3）（ab）2sin2α．（ab）2sin2α．（2）如图2中，设AM=x，BN=y．
∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A，
∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B，
∴△AMD∽△BDN，
∴，
∴，
∴xy=8，
∵S1=?AD?AM?sin60°=x，S2=DB?sin60°=y，
∴S1?S2=x?y=xy=12．
同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，
∵S1=?AD?AM?sinα=axsinα，S2=DB?BN?sinα=bysinα，
∴S1?S2=（ab）2sin2α．
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